goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Статистический вес состояния возьмем из (8.11) з?з г Я,у ъ'2 лайз / ехр[(Š— д)(йТ) — 1 о (8.23) (8.24) и (О. Теперь нетрудно показать, что при достаточно низких температурах формула (8.23) не может выполняться, так как правая часть оказывается меньше левой. Исследуем входящий в пее интеграл. При выполнении условия (8.24) т?Е г)Е 1" т?Е4Е ехр[(Š— и)/йТ~ — 1,/ ехр(Е)йТ) -. 1 Введем вместо Е переменную л = Е?'к71 (8.25) Входящий в эту формулу интеграл является некоторым числом (можно показать, что он равен 2 3). При уменьшении температуры (8.25), а вместе с ннм н правая часть (8.23), уменьшается как Тз' и становится меньше любого наперед заданного числа.
Вследствие этого формула (8.23) при низких температурах не может выполняться. Это означает, что часть входящих в й? частиц должна находиться в состоянии, ничего не вносящем в интеграл 1'. Им является состояние с Е е— в О, хотя оно и обладает нулевым статистическим весом. Частицы, находящиеся в этом состоянии, и образуют бозе-конденсат.
Исследуем эту формулу. Знаменатель подынтегрального выражения определяет среднее число частиц в состоянии с энергией Е и должен быть положительной величиной. Для этого необходилзо, чтобы ехр[(Š— и)/?сТ~ было больше единицы, а значит, чтобы Š— и не принимало отрицательных значений ни при каких Е, включая Е = О. Из этого требования следует, что ГЛАВА 9 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Ватой главе будут рассмотрены свойства р а в новос ного т е яловово го и з луче н и я, т.е. электромагнитного излучения, находящегося в тепловом равновесии со стенками полости, в которой оно заключено.
Исследование свойств такого излучения долгое время являлось одним из центральных вопросов физики. Развивая теорию равновесного излучения, Планк ввел в науку квант действия 6'. При изложении свойств теплового излучения, мы, как и в предыдущих главах, откажемся от следования по историческому пути ради ясности и краткости изложения. ф 41. Равновесное излучение. Закон Кирхгофа Рассмотрим два непрозрачных тела, обменивающихся электромагнитным излучением и имеющих одинаковую температуру.
Заключим эти тела в зеркальную оболочку, полностью отражающую излучение. Такая оболочка играет в нашем случае роль обычной в термодинамике адиабатической оболочки, изолирующей тела от окружающего мира. По второму принципу термодинамики ни одно из этих тел не может нагревать другое. Это требование приводит к важным следствиям. Пусть, для простоты, оболочка имеет вид эллипсоида, а тела помещены в его фокусы 1рис. 85). По известной из оптики Рнс. 85. Источники све- теореме все излучение, уходяшее от перга в зеркальной оболочке вщ,о тела, попадает в этом случае на втоэллнпсоидальноя Формы рое, а все излучение, уходящее от второ- го тела, — на первое.
Отметим индексом 1 величины, относящиеся к первому телу, и индексом 2 — ко второму. 'Квант веавтввв 6 = Вга = 6,626 зо" зт звг-с 219 з 41. РАвновеснОе излучение ЗАХОн КНРКЕОФА Обозначим через ьгг и 512 потоки энергии, излучаемые этими телами. Эти потоки не равны потокам И'1 и И'2, уходящим от тел, поскольку уходящая от каждого из них энергия складывается из излучаемой и отражаемой. Запишем это утверждение в виде формулы. Введем для этого коэффициент поглощения О, равный отношению интенсивностей поглощенного и падающего на тело излучения.
Так как излучение, падающее на тело, может либо отражаться, либо поглощаться, то коэффициент отражения равен (1 — О).~ Поток энергии, отраженной первым телом, равен поэтому (1 — от)ИА2 (энергия падающего на первое тело излучения равна уходящей от второго тела энергии Иез). Таким образом, И'1 =- сгг .'- (1 - - Оз) И'з. (9.1) Аналогичная формула может быть записана и для второго тела, но она нам не потребуется. Заметим теперь, что при равновесии поток энергии гзт, испускаемой первым телом, равен поглощаемому им потоку энергий О1Игз; (9.2) егт = О1И'2, Подставляя (9.2) в (9.1), получим (9.3) И 1 = 112.
Эта формула показывает, что ари тепловом равновесии уходягцая от тел электромагнитная энергия не зависит от конкретньгх свойств этих тел. Не зависящее от свойств испускающих тел тепловое излучение представляет само по себе физический объект, изучению которого и посвящена настоящая глава. Аналогично (9.2) можно записать (9 4) ьг2 =" О2И'1. Деля (9.2) на (9з1) и замечая, что И'1 = И'з, найдем (9.5) Таким образом, коли гество энергии, излучаемой телом, пропорцио- нально его коэффициенту ггоглогцения. 'Козффипиент поглощения о н козффипиент отражения 1 — о назьгвакзтся также и оглонгательной и отражательной способностью тела и являвзтся безразмерными величинами.
22О Глдьд 9 Установим во второй фокус тело, поглощающее все падающее на него излучение. Такие тела называются а б с о л ю т н о ч е р н ы м и . По определению, в этом слу.чае оя — -- 1. Формула (9.5) показывает, что из>гучение абсолютно черных тел является максимаггьно возможным ари данной температуре. Энергия, излучаемая любым другим телом, может быть найдена путем умножения энергии, излучаемой абсолютно черным телом, на коэффициент поглощения рассматриваемого тела. Сформулированное правило справедливо, конечно, не только для полной излучаемой телом энергии, но и для энергии тг„излучаемой телом в единицу времени с единицы поверхности. Физическая величина тг„ггазывается энергетической светимостыо или интегральной излучательной способностью тела и являетсяфункцией температуры.
Обозначим через й," энергетическую светимость абсолютно черного тела. Тогда энергетическая светимость тела, имеющего коэффициент поглощения о, равна (9.6) Соотношение (9.6) называется законом излучения Кирхгоф а. Формулы (9.5) и (9.6) часто вначале вызывают удивление. В их справедливости, однако, убеждает нас повседневный опыт. Горячее, но прозрачное для излучения пламя спиртовой горелки почти не испускает света. Зато ярко светится более холодное пламя керосиновой лампы, содержащее частицы черной сажи, сгорающие лишь в самой верхней части пламени (или не сгорающие вовсе, когда лампа коптит). Окружим теперь изображенные на рис. 85 тела г и 2 зеркальными сферами, пропускающими излучение в узком диапазоне частот и отражающими всякое другое излучение, Поскольку такие сферы не поглощают излучения, они не могут его и испускать.
Тепловое равновесие тел поддерживается теперь только той спектральной частью излучения, которая пропускается сферами. Все рассуждения, которые были приведены выше, остаются при этом в силе. Мы видим, таким образом, что второй закон термодинамики требует выполнения равенств (9.5) и (9.6) для каждой длины волны.
Введем понятие спектральной плотности энергетической светимости. Обозначим НУ количество энергии, излучаемой за время дг участком тела с поверхностью ИЯ в выбранном спектральном интервале ггг или дЛ. ' Оченьь черные реальные тела (сажа, платиновая чернь и дрд при частотах, соответствующих видимому свету, имеют оь близкие к единипе. з 41.
РАвновесное излучение ЗАкон КнгхгОФА 221 Очевидно, что г(1? пропорционально г1Я, г?Е и Аг или г?Л: (9.7 а) г10 =. Елг?5г?Ег?Л, или г1О' = Еы гЫЕ11до~. (9.7 б) Л, =- / Е г1.У вЂ” -- / Ел г1Л. о о (9.8) Найдем связь между Е.. и ЕА. Для этого заметим, что излучательпая способность тела не зависит от того, как она выражена — через частоту или через длину волны. Поэтому (9.8') г(.й, = Е 4~ = Елг(Л. Приращения гко и г1Л нетрудно связать, продифференцировав выражение Л вЂ” — 2яе/ьс (9 9) Подставляя это выражение в (9.8') (и опуская знак минус, указывающий на то, что длина волны убывает с возрастанием частоты), найдем Е =,, ЕЛ =,ЕА. 2тгс Лв 2яс (9.10) Выше мы уже пришли к выводу, что закон Кирхгофа справедлив не только для интегральных, но и для спектральных излучательных способностей.
Следовательно, Ел = олЕА, Е.„=- О„Е', (9.П а) (9.1! б) где ЕА и Е„" описывают спектральную излучательную способность абсолютно черного тела. Входящие в эти формулы ОА и а называются спектральными коэффициентами поглощения. Входящие в (9.? а) и (9.76) функции ЕА и Е„, носят название с ив к— тральных плотностей энергетической светимости или спектральных из луч ател ьн ых способностей тела. Спектральные и интегральная излучательные способности тела связаны очевидными соотношениями 222 ГЛАВА 9 Физические величины Л», ЕА, Е„,ах.оы зависят от температуры. Поэтому в обозначения этих величин часто вводят индекс Т: )т»т, ДА т и т.д.
Излучательная способность абсолютно черного тела не зависит от материала, из которого изготовлено это тело. Она может оыть определена теоретически. Эта излучательная способность связана простой формулой с плотностью энергии равновесного излучения, и мы вернемся к ней после того, как получим формулы для расчета этой плотности. В рассуждениях этой главы мы несколько раз прибегали к абстракциям — стенки изготовлялись из абсолютно отражающих материалов, рассматривались абсолютно черные тела и т.д.
В этих абстракциях нет ничего физически и логически неприемлемого, так же как и в идеальных адиабатических оболочках, которые рассматриваются в учении о теплоте. В частности, существуют очень хорошие зеркала с коэффициентом отражения, близким к единице. Что же касается абсолютно черных тел, то такие тела могут быть изготовлены простыми средствами.
Почти идеальным абсолютно черным телом является небольшое отверстие, проделанное в полом теле. Если размер отверстия очень мал по сравнению с размером полости, то подавляющая часть входящего через отверстие излучения «запутывается» в полости и не выходит обратно. Разберем еще один вопрос. !-!аблюдая окружающие предметы, мы видим, что одни из них кажутся цам зелеными, другие — красными и т.д. Не находится ли этот факт в противоречии с нашим утверждением, что в каждом спектральном интервале потоки энергии, уходящие от тел (в результате лучеиспускания и отражения), определяются только их температурой и не зависят от сорта и материала этих тело Небольшое размышление показывает, что это не так. Все тела были бы одного цвета, если бы идущее от них излучение было равновесным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
