goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Н. Лебедева 11889 гй зто давление было впервые обнаружено и измерено. ГЛАВА 9 234 Полное давление излучения на стенку в два раза больше. Подставляя в полученную формулу значение 1А из (9.16), найдем ЕЕ (9.29) Р'г' = — ™ ЯТ, и (9.30) где Р и г' — давление и объем газа, т — масса газа, и — его молярная масса, Т вЂ” температура,?? — газовая постоянная. Заменяя В на Агля, где Ал — постоянная Авогадро, найдем Выражение, взятое в скобки, равно числу молекул Х. Вводя концентра- цию молекул и .—. Аг/1', найдем (9.31) Заметим теперь, что средняя энергия молекул одноатомного газа рав- на (3?'2)кТ, так что правая часть равенства равна (2/3)и (и — плотность энергии нашего газа).
Итак, для обычного газа Р= ви, 2 3 (9.32) Таким образом, плотность энергии излучения и его давление на стенку равны друг другу с точностью до постоянного коэффициента 1/3. Изменится ли выражение для давления света, если заменить абсолютно черные стенки какими-нибудь другими? Чтобы ответить на этот вопрос, изменим материал, из которого изготовлены стенки полости, не на всей ее поверхности, а только на какой-нибудь части, например на правой.
Если бы давление на «новые» стенки оказалось меньше, чем на абсолютно черные, то сила, действующая на правую часть полости, оказалась бы меньше, чем сила, действующая на левую часть. Под действием внутренних сил — давления излучения — полость начала бы в этом случае перемещаться влево, что невозможно. Мы видим, таким образом, что выражение (9.29) имеет всеобщую применимость. Сопоставим формулу (9.29) для давления фотонного газа с давлением, которое оказывает на стенку обычный газ, Для обычного газа справедливо уравнение Клапейрона 23б з45. ДАвлппив излучения Сравним полученное соотношение с (9.29).
Почему при той же плотности энергии давление фотонного газа оказывается в два раза меньше, чем давление обычного газа? Исследование этого вопроса показывает, что указанное отличие связано с релятивистским в первом случае и нерелятивистским во втором случае законом связи между энергией и импульсом. Соотношение (9.29) характерно для любого, а не только фотонного релятивистского одноатомного газа. Приведем в заключение еще одну формулу.
Пусть на плоскую площадку перпендикулярно падает параллельный пучок света, испускаемого внешним источником. Как нетрудно понять, давление, которое оказывает свет на площадку, равно (9.33) Р = и(1+ г) = — (1+ г), где г — коэффициент отражения материала площадки, а Š— энергия, падающая на единицу площади в единицу времени. ГЛАБА 1О ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ ф 46. Снонтанное и индуцированное излучение Рассмотрим полость с зеркальными стенками. Поместим в нее атом, способный поглощать и испускать электромагнитное излучение. Поглощая излучение, атом переходит из нижнего (первого) состояния во второе — возбужденное. Будем для простоты считать эти состояния невы- рожденными.
Обозначим через Е разность энергий атома в этих состояниях. При переходах с первого на второй уровень поглощаются, а при переходах со второго на первый испускаются кванты с энергией Е. Заполним полость мопохроматическим эзгектромагиитнылт излучением с частотой щ = Е,гй. Число квантов, заполняющих полость, зависит от состояния, в котором находится атом.
Обозначим через и число квантов в те моменты времени, когда атом пребывает в состоянии 2. Когда атом находится в состоянии 1, к ~им прибавляется испущенпый атомом квант, так что их число становится равно и †' 1, Рассмотрим достаточно больпгой промежуток времени б За это время атом много раз успеет побывать и в первом и во втором состояниях. Обозначим через бт суммарное время, в течение которого атом находится в состоянии 1; тогда в течение времени гз = г — гг он находится в состоянии 2. Число переходов атома из первого — нсвозбужденного— состояния во второе у'г...,з пропорционально числу «попаданий» квантов в невозбужденный атом, а значит, времени 1т и числу квантов и + 1: зтз з = Илу~~в(и - 1)ут. (10.1) Здесь Иг .
— вероятность перехода из первого во второе состояние, ,Ж отнесенная к одному атому, одному кванту и единице времени'. Индекс е(1)а над И' напоминает, что вероятность отнесена к одному кванту. ~ю Вели ~яка Щ имеет размерность, обратную времени, в то время как з математике вероятность является безразмерной величиной. Позтамут строго говоря, И', является нт) нс вероятностью, а плотностью вероятностн (по отношению ко врсменн) Для простоты мы н дальнейшем будем пользоваться более коротким термином «вероятностью з46. СпонтАнное и инДУЦиРОВАнное излУчение 23? Выберем промежуток времени ! достаточно большим, чтобы число переходов между состояниями было очень велико.
В этом случае число переходов из первого состояния во второе можно считать равным числу обратных переходов (на самом деле они могут быть либо равны друг другу, либо отличаться на единицу, но при большом числе переходов это различие становится несущественным). Поэтому число возвратов в первое состояние )уз.,1 равно Хг,з.. 7 а 1 =1!1 — з = И1 а!1+ И'1 а!171 вс Ас 7(11 7(17 (10.2) При написании этой формулы были раскрыты скобки в (!0.1).
Мы выразили, таким образом, число переходов из верхнего состояния в нижнее через вероятность перехода из нижнего состояния в верхнее. Полученное соотношение чрезвычайно важно. Как мы видим, переходы из второго состояния в первое описываются суммой двух слагаемых. Первое из них не зависит от числа квантов п. Оно описывает ЧИСЛО С П О Н та Н Н Ы Х, т.
Е. СаМОПрОИЗВОЛЬНЫХ, ПЕрЕХОдОВ Лгас" 1! дсс Иг 1 , 7Св (10.3) Второе слагаемое пропорционально числу квантов и, имеющихся в полости в те моменты времени, когда атом находится в состоянии 2; значит, эти переходы ст и мул и ру юг с я имеющимися квантами. Такие переходы называются вынужден н ы м и или и нду ци рова е н ы ми. Их число 177звв1 равно вв'З ! = И1 вв171. свв.в, 711 (10.4) Разделив (10.4) на (!0.3), найдем 71'звв1,771!а' 1 — — и.
(10.5) Соотношение (!0.5) справедливо и в том случае, когда в полость помещены не один, а много атомов, если только можно пренебречь взаимодействием между ними. Числа вынужденных и спонтанных переходов, конечно, в этом случае возрастут в Х раз (Х вЂ” число атомов), но соотношение (10.5) не изменится.
Входящее в (!0.5) отношение числа вынужденных (в присутствии и квантов) и спонтанных переходов из второго в первое состояние равно, конечно, отношению вероятностей этих переходов. Обозначая эти вероятности через И"""", и Иес" 1 найдем (10.6) И'~"'; 77Исз' 1 =- п, 1лАЬА 10 238 Полученная формула связывает вероятности вынужденного и спонтанного излучения при реально имеющемся числе квантов и, Отношение вероятностей вынужденных и спонтанных переходов можно выразить не только через число квантов п, но и через спектральную плотность энергии электромагнитного излучения. При этом, конечно, предполагается, что в зеркальном ящике представлены кванты не одной, как мы до сих пор предполагали, а самых разных частот, в том числе и той резонансной частоты ш=Е/Ь, которая стимулирует рассматриваемый переход. Согласно (9.!2), и )гпгз = од(Е)Ег1Е, (10.7) где и — спектральная плотность энергии излучения, отнесенная к единице изменения ш, 1' — объем ящика, Š— энергия квантов, а д(Е)— статистический вес.
Подставляя в эту формулу д(Е) из (8.10) и заменяя ИЕ на йоичу, найдем тгзсз п = и„ и з' (10.8) Подставляя это значение в (10.6), можно выразить искомое отношение вероятностей через и„,. Следуя Эйнштейну, введем в (10.8) вместо и„ спектральную плотность энергии излучения и„отнесенную к единице изменения и. Количество энергии, заключеьшой в некотором интервале, не зависит от того, как его выражать, через г1и или г! ~; и„г1гз = и„г1ш Поэтому ди 1 и =и,— —..
— и,„ '4 "2х" (10.9) так что лез и .=- и,. 21 3 (10, 10) Из (10.6) при этом найдем ~д ВЫН 3 ° 'з-г тгс 11'г — "г 2Ь,Р (10.11) Полученное выражение применимо во всех случаях, когда взаимодействующие с электромагнитным излучением атомы находятся в поле излучения. Присутствие или отсутствие зеркального ящика в этом случае не играет никакой роли. Формула (10.1!) очень удобна для применений, но имеет существенно более сложный вид, чем (10.6), и ее физический смысл менее ясен з46.
СИОнтАннОе и индуциРОВАныое излучение 239 Сформулируем полученные результаты. 1. При возвращения атомов из более высоких в более низкие состояния происходят не только спонтанные 1самопроизвольные), но и вынужденные переходы. 2. Вероятность вынужденных переходов в зеркальном ящике пропорциональна числу имеющихся в нем резонансных квантов, которое может быть выражено через спектральную плотность энергии излучения. 3. Рассчитанная на один квант вероятность вынужденного излучения равна вероятности спонтанного излучения. В заключение отметим, что при вынужденном излучении испускаются кванты, имеющие не только ту же энергию, но и ту же поляризацию, что и кванты, стимулирующие вынужденное излучение 1этот вывод следует из более подробного рассмотрения). Можно показать, что справедливо и более сильное утверждение: вынужденное излучение когерентно с излучением, ега вызвавизим: Оно имеет ту же частоту, та же направление распространения, ту же поляризацию и ту жв фазу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
