goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Из вывода соотношения !10.6) ясно, что оно справедливо для любых электромагнитных переходов в любых атомах. Его справедливость связана, следовательно, со свойствами не атомов, а электромагнитного поля. Наличие жестких соотношений между вероятностями вынужденных и спонтанных переходов заставляет думать, что эти переходы имеют одну и ту же природу. Исследование вопроса показывает, что это действительно так. Чтобы уяснить суть дела, рассмотрим излучение, «запертое» в зеркальный ящик прял«оугольной формы. Рассмотрим колебания, распространяющиеся вдоль ящика.
Мы уже показали 1см. рис. 81 и следующий за ним текст), что в таком ящике могут возбуждаться не любые электромагнитные колебания, а только колебания, удовлетворяющие соотношению Е =- Л,.12, где Š— длина ящика, Л,„— длина волны излучения, т — произвольное целое число. Каждое из таких колебаний называется и р о д о л ь н о й м о д о й электромагнитных колебаний . Моды, соответствующие разным Л,„независимы. Они "! могут иметь разную интенсивность. Теория показывает, что энергия колебаний, соответствующих каждой моде, описывается формулой для энергия квантового осциллятора: Е, .—.- Боэ»;(и+ 1««2), где ń— энергия, приходящаяся на моду т, «е~ — соответствующая частота, п — любое целое число.
Мы знаем, что излучение состоит из фотонов, каждый из которых имеет энергию Е = Ьш. Ясно, что появление в нашей формуле слагаемого Боэ п эквивалентно утверждению, что в ящике находится и фотонов 'На самом деле указанное соотнонзение определяет дее моды электромагнитных колебаний к соогнегетеяя е деуяя еозяокяымк зкзчекяяяя поляризация, 1 ЛАВА 10 240 Член (1/2)бщ,, соответствующий пулевоьзу их числу, определяет энергию н ул е в ы х кол е б а н и й электромагнитного воля. Спонтанные переходы можно рассматривать как взаиьзодейстаие возбужденных атомов с этими нулевыми колебаниями, в то время как вынужденное излучение происходит из-за их взаимодействия с реальными фотонами. Приведенные рассуждения легко обобщаются на ящики любых размеров и форм, В таком ящике — в резонаторе электромагнитных колебаний — могут возбуждаться не любые колебания, а колебания, принадлежащие р а з р е ш е ни ы м м од а м. Энергия, приходящаяся на каждую такую моду, квантуется так же, как энергия осциллятора.
Рассмотрим теперь полость не с зеркальными, а с черными стенками, находящимися при некоторой температуре Т. Поместим в нее атом (или множество таких атомов). Через некоторое время в полости установится тепловое равновесие между стенками и излучением, причем в состав излучения будут входить кванты самых разных энергий, в том числе и такие кванты, которые могут испускаться и поглощаться рассматриваемыми атомами.
Соотношение между вероятностями спонтанного и вынужденного излучения атомов. как и всегда, характеризуется формулой (10.6). Однако при установившемся тепловом равновесии можно продвинуться дальше, связав число квантов и с температурой стенок (и излучения). Подставляя в (10.6) значение п из (8.16), найдем (10.12) В полученную формулу не входят размеры полости. Г!оэтому она справедлива для полости любых — в том числе и сколь угодно болыпих (бесконечных) — размеров.
Эта формула определяет соотношение между вероятностями вынужденных и спонтанных переходов при т е п л о в о м равновесии. Анализ состояния теплового равновесия между атомами и излучением позволяет сделать еще один важный шаг — установить соотношение между вероятностями поглощения и испускания электромагнитного излучения. Обозначим числа атомов в первом и во втором состояниях Хг и гтэ.
В квантовой электронике Хг и № принято называть н ас е л е н н о с т я м и соответствующих уровнеи'. Число переходов ут'г из первого состояния во второе равно №,я —. И'г эиЮзг, 01 (10.13) 1 Более строго н а с е л е н н о с т ь ю уровня нвзыввется число атомов в е д и н и ц е о б ъ е и в, занимающих данный уровень, т. е. не Ай и Гтсз, в Х~ Угл и !тзуы. У 46. Сион!Аннов и и!!ЛУЦиРОВАиное излУчение 241 где п, — число резонансных квантов, а г — время наблюдения. Индекс в(!)», как и прежде, напоминает, что вероятность перехода рассчитана не только на один атом, но и на один квант.
Переходы из второго состояния в первое делятся на спонтанные и вынужденныс. Их числа равны )~1 — 2 = 142 1 124 зыи ,(1)еь н Х 2 И2--1 №г (10.14) (10.15) При тепловом равновесии число переходов из первого состояния во вто- рое и из второго в первое равны друг другу: !41 2п~1~ "112 — 1 пз'12~ ) И2 1 ~2(. (10.16) И1(0 = 1Ф;(!)»ын 1 2 2 1 Поскольку вероятности И" от температуры пе зависят, это равенство справедливо всегда. Опо было впервые установлено Эйнштейном'.
Замечая, кроме того, что И'2 , ' = И2 ,' (см. п. 3 результатов, сформу- ,(1)вын .(1)сп лированиых после формулы (!0.11)), найдем окончательно (10.17) Полученное равенство позволяет получить соотношение между вероятностями поглощения и вынужденного излучения. Разделив (10.15) !указанное соотношение является частным случаем очень ойшего утверждения квантовой механики о том, что приведенные (рассчитанные на единицу статистического веса) вероятности прямого и обратного процессов равны друг другу. Это утверждение называется принципом детального равновесия. Населенности уровней )т'! и 1»г2 зависят от температуры, а величины И'('), характеризующие взаимодействие атомов с излучением, зависят только от свойств рассматриваемых атомов и с температурой не связаны. Рассмотрим полученное соотношение при высоких температурах.
При повышении температуры различие в населенностях уровней Хт и 1»»2 уменьшается и при больших Т исчезает; число квантов п при этом неограниченно возрастает. Соответственно возрастает величина левой части (10.16) и первого члена правой его части. Поэтому при высоких температурах вторым членом в правой части (!0.16) можно пренебречь. Отбрасывая этот член и приравнивая 1»гз и з»2, получим 242 1лхьл 10 на (10.13) и заметив, что соотношение Хз",' ((Х( в равно искомому отношению вероятностей, получим (10.18) В обычных условиях населенность уровней падает с ростом их энергии, так что Хз ( Х(.
Поэтому вынужденное излучение света оказывается слабее, чем поглощение. Более того, по сравнению с последним оно исчезающе мало. В самом деле, в оптическом диапазоне Е =- lии по порядку величины равно 2 зВ, в то время как ИТ при нормальных температурах составляет 0,025 зВ и даже при 1000 К оказывается менее 0,1 эВ. Определяющий соотношение между Хз и Хт больцмановский множитель ехр( — Ь(з('й!') равен е "" при нормальных температурах и е зо при 1000 К.
Вынужденное излучение света при этом во много раз меныпе поглощения и на опыте не обнаруживается. Если, однако, создать условия, при которых Хэ окажется больше Хм то вынужденное излучение будет преобладать над поглощением, и среда начнет усиливать свет, вместо того чтобы его поглощать. Мы вернемся к этому вопросу в следующем параграфе. Для полноты изложения выразим наши результаты в обозначениях Эйнштейна, которые часто используются в литературе. В этих обозначениях число переходов из первого состояния во второе Л( э записывается не через число квантов, как мы это делали в формуле (10.13), а через спектральную плотность и,: (10.19) Л'( я = Вт зМ(и,д Число переходов из второго состояния в первое записывается аналогичным образом; Ха, = Вз (Хзи !+ Аз (Хг!. (10.20) Коэффициент Вд в называется коэффициентом Эйнштейна для поглощения, а Вз ( и Аз ( — коэффициентами Эйнштейна для вынужденного и спонтанного излучения.
Сравним эти выражения с (10.13), (!О.!4) и (1О.!5). Сравнение дает Вг зи„=У'(,,и, В (и,=И( 'и, Аз (=И~" (. ,(1(вын Формула (10.17) позволяет получить соотношение между коэффициентами Эйнштейна. Связь между и, и п была найдена в (10.10). В результате получаем (10.21) 243 э 47. КБАнтовые успп!!тели и !внеРАтогы Сложный вид соотношения между коэффициентами Эйнштейна Аз и Вз ! связан с тем, что они имеют различные размерности и измеряются в разных единицах: Аз ! в с г, а Вз ! в см/г.
В заключение остановимся на электромагнитных переходах между двумя в ы р о ж д е н н ы м и уровнями. Наиболее важен для применений случай, когда уровни вырождены по магнитному квантовому числу гп с, определяющему ориентацию полного углового момента атома (или любой другой квантовой системы). В отсутствие электрического и магнитного полей энергия атома не зависит от того, какую ориентацию имеет угловой момент, а вместе с ним магнитный и электрический моменты (если они не равны нулю). Поэтому каждый из двух рассматриваемых уровней состоит из 2,1+ 1 подуровней (шз в каждом состоянии свое), имеющих одинаковую энергию. Таким образом, 2,1 — 1 определяет кратность вырождения уровня по квантовому числу т,г, Начнем с поглощения фотонов, имеющих определенную энергию (равную энергии перехода) и поляризацию.
Переход из каждого исходного (в данном случае — каждого нижнего) состояния атома происходит во вполне определенное конечное (верхнее) состояние, которое определяется квантовыми числами исходного состояния (в том числе и их магнитными квантовыми числами) и фотона.
Таким образом, из двух (нижней и верхней) систем слившихся по энергии уровней излучение «выбирает» пары, переходы между которыми разрешены по квантовым числам. Такой «выбор» происходит как при спонтанном, так и'при вынужденном излучении. Таким образом, выведенные в настоящем параграфе формулы остаются справедливыми, если их применять не ко всем подуровням, которые входят в состав рассматриваемых уровней, а к соответствуюсцим парам. Соответственно, во все вьсведенные вьиие формулы нужно подставлять не полные населенности уровней, а населенность той пары подуровней, между которыми происходят исследуемьсе переходы. В тех случаях, когда населенности уровней создаются искусственно, следует, если это возможно, сразу заботиться об увеличении количества атомов на нужных подуровнях, поскольку населенности остальных подуровней роли не играют. При тепловом равновесии больцмановский множитель ехр( — йсссср р) определяет населенность каждого из подуровней, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
