goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 45
Текст из файла (страница 45)
На самом деле она оказывается всего в я раз больше. Это показывает, что мощность, излучаемая в едина!(у телесного угла перпендикулярно к стенке, в два раза больше, Числовое значение а в системе СГС равно 5.,67. 10 ' эрг!г(с.см'-'.Кл). Сравним формулы (9.15) и (9.19). Они имеют один и тот же вид и различаются только величиной входящих в них констант а и а'. Как нетрудно найти, (9.21) 943. Кт!Ассические ФОРмулы для РАвновесного излучж!ия 229 с й !и гии 4 4язсз ехр((ки()СТ) — 1' (9.24 а) (9.24 б) с г 1 дЛ ЕА — —. — ил = 4п йс 4 ехр(2л.гю,гЛ!ЕТ) — 1 Лз Обратимся снова к формуле (9.19).
Мы видим, что энергетическая светимость пропорциональна очень высокой (четвертой) степени температуры. При обычных (комнатных) условиях и температурах основные тепловые потери связаны с конвекцией и теплопроводностью. Эти потери, однако, пропорциональны первой, а не четвертой степени температуры. Поэтому при достаточно высоких температурах основную роль начинают играть именно потери на излучение. С излучением связана и теплопроводность сильно нагретых тел, например горячей плазмы (как в лабораторных, так и в астрофизических условиях): электроны, находящиеся в более горячих участках плазмы, испускают излучение, которое поглощается электронами в более холодных ее участках. В некоторых специальных условиях (сосуды Дьюара, колбы термосов), когда потери на конвекцию и теплопроводность искусственным образом снижены, потери на излучение становятся существенными уже при нормальной температуре.
Поэтому стенки таких сосудов делают зеркальными. Выведем еще один важный закон, так называемый за кон с м ещ е н и я В и н а, Найдем частоту, при которой (для данной температуры) излучательная способность абсолютно черного тела максимальна. Приравнивая нулю ди,ггиг, найдем из (9.13) й д ( д / -„Ясз г( ! 1 ехр(йи(йТ) —. 1) Вычисления приводят к трансцендентному уравнению, решение которого чем средняя могг1носп!и, излумаемая е единицу телесного угла. Этот результат тоже полезно запомнить.
Формула (9.21) связывает плотность энергии равновесного излучения (которая характеризуется константой а') с энергетической светимостью абсолютно черного тела (константа о). Возвращаясь к рис. 87 и к рассуждениям, которые привели нас к (9.21), нетрудно установить, что плотность энергии излучения и излучательная способность абсолютно черного тела связаны между собой множителем с/4 в каждом спектральном интервале. Это замечание позволяет использовать формулы (9.13) и (9.14) для расчета спектральных излучательных способностей с:„' и ЕА: 230 ГЛАВА 9 дает йТ ш„„,=2,8— д ' (9.25) где ш,,„— частота, при которой спектр излучения имеет максимум.
Аналогичным образом, дифференцируя (9.14), нетрудно найти длину волны Л „, при которой достигает максимума спектральная плотность излучения ию Вычисление даст Лмэх = О, 29 Т' (9.26) Л = 483 нм, а спектральная плотность и. при этой температуре максимальна при = 2.20 10гз с Этой частоте соответствует длина волны 2ясуш = 856 нм.
Зависимость Л„„Т г, выражаемая законом Вина (9.26), хорошо известна из повседневного опыта. При комнатных температурах излучение тел сконцентрировано в далекой инфракрасной области и не регистрируется человеческим глазом. Это излучение мы воспринимаем как тепло, испускаемое нагретыми предметами. Исходящий от них световой поток — это только перерассеянное солнечное излучение. При комнатной температуре в оптической области обычные тела света не испускают. Г!ри повышении температуры появляется видимое свечение — сначала вишнево-красное, затем розовое, потом желтое и'наконец белое (очень горячие тела имеют голубоватый оттенок).
Определение температуры по цвету широка используется не только в бьлу, но и в науке. Так, в частности, была определена температура фотосферы Солнца. Определение температуры по цвету производится путелг спектрального исследования испускаемого телом излучения. Точность измерений оказывается невысокой из-за того, что исследуемое излучение редко является равновесным. Неравновесное излучение плохо В (9.26) температура выражена в градусах Кельвина, а длина волны— в сантиметрах. Выражения (9.25) и (9.26) носят название за кона Ви на. Как уже отмечалось в конце предыдущего параграфа, и„и их имеют максимумы при разных частотах (и соответственно при разных длинах волн).
Так, при Т = 6000 К, приблизительно соответствующей температуре фотосферы Солнца, спектральная плотность излучения ил имеет максимум при 291 з44. ФормзлгА Рэлвя — ДжинсА Рис. 89. Схема оптического пирометра. описывается формулами Планка, законами Стефана — Больцмана и Вина. На составе и интенсивности излучения при этом сильно сказывается то обстоятельство, что излучающие тела отнюдь не являются абсолютно черными. Степень енечерноты» этих тел, как правило, неизвестна и зависит от частоты.
Поэтому различают «цветовую» температуру тела— температуру, определяемую по формуле (9.25) нли (9.26), его еяркостную» температуру, определяемую по формуле (9.19), и его истинную температуру. При определении температуры оптическими методами пользуются разного рода пирометрами. В оптических пирометрах, измеряющих яркостную температуру (рис. 89), изображение исследуемого тела', создаваемое объективом Оы накладывается на подогреваемую током нить Л, температура которой может быть определена по величине идущего через нее тока. Ток в нити меняют до тех пор, пока она не перестанет быть видна в окуляре Оз на фоне исследуемого тела. Оптическая пирометрия — почти единственный способ определения температуры сильно нагретых и, особенно, удаленных тел. 944. Формула Рэлея — Джинса Исследуем спектр излучения абсолютно черного тела в области низких частот, т.е. при Ьш « ЕТ.
Сделаем это сначала с помощью (9.12). Заменив и„г(пз на им с(Е и подставив значение п из (8.16), найдем '»гииг1Е = д(Е)Е с(Е 1 ехр(Е(йТ) —. 1 гкагт известно, в хороших оптических приборах яркость изображсиия практически рав«а яркости изображаемого яредмета. 232 ГЛАВА 9 Разлагая экспоненту в ряд и ограничиваясь первым членом разложения, найдем г' ип г(Š— АТд(Е) г)Е. (9.27) Эта формула имеет простой физический смысл. В левой части равенства стоит энергия электромагнитного излучения, заключенная в интервале г)Е. Множитель д(Е)г)Е определяет число уровней в этом интервале, а значит, кТ равно средней энергии, приходящейся на один уровень.
К этой формуле можно было сразу прийти из соображений, развиваемых в кинетической теории. В самом деле, в классической физике доказывается, что кинетическая энергия, приходящаяся на каждую степень свободы частицы, равна (!/2)ЙТ. Полная энергия, приходящаяся на каждую степень свободы, зависит от соотношения между кинетической и потенциальной энергиями. Можно показать, что для квантов электромагнитного излучения эти энергии следует считать равными (роль кинетической и потенциальной энергии играют в этом случае энергии электрического и магнитного полей электромагнитной волны), так что на каждую степень свободы должна приходиться энергия, равная йТ.
Формула (9.27) после этого становится очевидной. Формула (9.2?) была получена задолго до появления квантовых представлений. Она записывалась, однако, не через энергию, а через частоту. Используя для д(Е)г)Е формулу (8.!0) и возвращаясь от энергии к частоте, получим (9.28) я~с Это выражение носит название ф о р м у л ы Р э л е я — Д ж и н с а и, как мы теперь понимаем, неизбежно возникает при распространении закона равнораспределения энергии по степеням свободы на электромагнитные колебания.
Если бы формула (9.28) была применима не только к малым, но и ко всем частотам, то полная энергия электромагнитного излучения оказалась бы бесконечной, так как интеграл 2" ь»айэ при больших частотах расходится. Но бесконечной энергии быть не может. Полученный результат, таким образом, означает, что тепловое излучение не может находиться в тепловом равновесии со стенками. Этот парадокс, конечно, сразу был отмечен, но в рамках классической физики не мог бьль объяснен. Он получил название «у л ь т р а ф и о л е т о в о й к ат а с т р о ф ы» («катастрофы» при больших частотах). В квантовой физике никаких «катастроф» не возникает. Формула (9.28) получается из формулы Планка лишь при й»»з « йТ. При больших частотах формула (9.28), так же как и закон равнораспределения энергии, оказывается несправедливой.
$ 45. ДАВЛЕНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 233 Сделаем одно замечание терминологического характера. В оптике число уровней принято называть ч и с л о м о с ц и л л я т о р о в, а вместо того, чтобы говорить о том, что количества энергии, приходящиеся на разные уровни, не равны друг другу, говорят о том, что осцилляторы имеют р а з н у ю с и л у. Указанные названия не соответствуют терминологии, принятой в квантовой механике, и с современных позиций крайне неудачны, но до сих пор встречаются в научной литературе. ф 45. Давление излучения Вычислим давление, которое оказывает на тела электромагнитное излучение'.
Рассмотрим сначала тепловое излучение, заключенное в полости, стенки которой абсолютно черные. Давление этого излучения на стенки складывается из двух составляющих — из давления фотонов, поглощаемых стенками, и из отдачи, которую испытывают стенки при испускании фотонов. При тепловом равновесии эти группы вносят в давление одинаковый вклад. Рассчитаем давление, которое испытывает стенка от испускаемых ею фотонов. Обозначим это давление через Рг. Давление равно импульсу, передаваемолту излучением в секунду каждому квадратному сантиметру стенки.
Импульс фотонов связан с их энергией соотношением )Р! —. Еу'с. Для давления существенна только нормальная составляющая импульса, т.е. не )р~, а )р~ созд. Мощность, которая уносится с единицы поверхности излучением, испускаемым под углом д, равна 1а дй, где дй— элемент телесного угла. Имеем поэтому с О с 1 с При написании этого равенства мы воспользовались законом Ламберта и формулой гтП =- 2яицгддд.
Обозначение Рз напоминает, что мы рассматривали только ту часть давления, которая связана с и с п у ск а н и е м ф о т о н о в. После интегрирования получим аув Рт = — 1, ~ сов д згп д г)д = = — 1 . 2тг 1 о . 2тг1 с л/ ' Зс — ' о 'На существование такого давления обратил внимание еще Максвелл. В знаменитых опытах Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
