goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 42
Текст из файла (страница 42)
и, - 1)! (д4 — Ц! и,! Рассчитаем теперь число способов, которыми можно осуществить распределение, при котором в первой энергетической области находится пг фотонов, во второй — из фотонов, и т.д. Расстановка фотонов в разных энергетических областях нс зависит друг от друга. Поэтому полное число способов Р равно произведению: (8,12) Как было уже указано, «нстинныма распределением является то, которое может быть достигнуто наибольшим числом способов, т. е. распределение, при котором Р имеет максимум, При отыскании максимума следует помнить, что полная энергия излучения определяется температурой стенок и должна считаться заданной. В то же время число фотонов является свободным, так как они непрерывно поглощаются и испускаются стенками'. Обозначая через Ез среднюю энергию фотонов в 1-й 'Идеально зеркальные стенки не поглошают н не испускают фотонов.
Однако лостаточ- 1лдвд 8 2!2 энергетической области, найдем, что максимум выражения (8.12) следу- ет искать при условии, что полная энергия излучения з задана; з = ~~» Е,и, .= сопя(. Итак, наша задача сводится к вычислению максимума функции (8.12) при условии (8.!3). Расчет показывает, что этот максимум достигается цри и» = д» (8Л4) ехр( Е', т»д) — 1 где 0 — некоторое число, смысл которого еще предстоит установить, Выведем формулу (8.14). Находить максимум произведения сложно. Существенно проще вычислять максимум функции В = 1пР, являющейся суммой, а не произведением членов, относящихся к отдельным уровням Применяя формулу Стирлинга 1пп! юп1пп — и, которая справедлива при больших и, и пренебрегая в (8.12) единицей по срав- нению с большими числами дь и пю найдем Я = !пР = ~[1«»(де+ пи)! — 1пдь! — 1п аз 1~ = .— —. ~[(дь+ пь)1п(дь+ пь) — дь 1пдь — пь 1ттпь~.
Задача сводится к тому, чтобы найти максимум этого выражения при условии Р=к — ~ ~Едок =О. Используя метод неопределенных множителей Лагранжа для нахождения услов- ного экстремума функции многих переменных, найдем «И+ (1/д) с(Р— О, где д — некоторый множитель (обозначение !Гд введено здесь вместо обычного лагранжева обозначения Л).
но, чтобы стенки чуть-чуть «потускнели», чтобы такое взаимодействие начало происходить и установилось тепловое равновесие между стенками и излучением. Небольшое «потускнеиие» стенок не сказывается нв расчете числа фотонных состояний. э40. Злполпцнив УРОВпгй Вариация г1Я должна вычисляться при переменных т!ь и постоянных дь, поскольку число уровней задано, а заполнение их может меняться.
Наше уравнение примет при этом вид ~[да.!п(д, -Ра)-Р * г1а„— агг,!па, -. — *г1а, — — Е, Жь) = О, или 1а,(1п д' "' — Е') — 0. Поскольку это равенство должно выполняться при любых !1тг„имеем д .1-'а Е, Из этой формулы следует (8.!4). Выясним смысл постоянной О. Рассмотрим распределение квантов по очень высоким уровням. При больших Е, уровни мало заселены, и при расчете числа возможных распределений становится несушествепным, являются ли кванты различимыми или неразличимыми. Следует поэтому ожидать, что найденные формулы перейдут в классические.
При больших Е, экспоненциальный член в знаменателе (8.14) становится велик, и единицей можно пренебречь по сравнению с ним. Отношение п!,!д, равно вероятности заселения уровней с энергией Е,. Мы видим, что вероятность заселения при больших Е! равна ехр( — Е,/О). Сравнивая это выражение с формулой Максвелла (8.1), находим, что где й — постоянная Больцмана. Подставляя О = ЕТ в (8.!4), найдем окончательно и, .=.
д, ехр(Е, /ЙТ) — 1 (8.15) Исследуем структуру полученной формулы. Первый множитель в правой части равен числу уровней в рассматриваемом интервале. Значит, второй множитель показывает, сколько фотонов — в среднем— находится на каждом уровне. Это число равно (8.16) Формула (8.!6) заменяет формулу Максвелла для электромагнитного излучения. 1лдвд 8 2!4 Приведем формулу для других бозонов.
Если масса частиц отлична от нуля, то в дополнение к условию (8.!3), задающему энергию частиц, появляется еще одно условие — неизменность их числа. Решение задачи об отыскании экстремума приводит в этом случае к формуле (8. 17) Формулы (8,16) и (8,17) определяют распределение Бозе— Эйнштейна. Параметр д носит название химического пот е н ц и а л а. Его величина определяется по числу имеющихся частиц: заменяя второй множитель в (8.15) на (8.17), получим очевидную формулу для определения рп 1 ехр [(Ет — ц) УБТ~ — 1 (8.18) Для фермионов (частиц с полуцелым спином) вместо (8.17) следует пи- сать (8,19) с()у' = А ехр(-- — ) т'с(рм г(рв с(рв =- А ехр(-- — ) т(Г 'В (ЗН) обьем М входит в нормировочную константу Л.
Эта формула выводится аналогично (8.16) и называется р а с пр еделен нем Ферм и — Дира к а. Мы приводим ее здесь без вьвода. Химический потенциал д в (8.19) обычно называется э н е рг и ей Ф е р м и. Как и для бозонов, его величина определяется числом частиц. Заметим, что при распределении Ферми а не может быть большим единицы, так как в знаменателе (8.19) к единице прибавляется существенно положительная величина. Этого, конечно, и следовало ожидать, поскольку принцип Паули не позволяет двум частицам находиться в одном квантовом состоянии.
Каждое состояние может быть либо занято, либо свободно, — в среднем занято меньше чем один раз. Это простое рассуждение позволяет запомнить, что между экспонентой и единицей в знаменателе распределения Ферми стоит знак плюс, а в знаменателе распределения Бозе — знак минус. В системе частиц, занимающей объем 1', распределение частиц, по импульсу в классической физике определяется (8.1)'.
215 440. Зхполпвниа э овпсй или Д?мг = .4 ехр( — —,,) — „г?Е. (2кй) Е 2,7+ 1 дГ (8.20) 22 — 1 КТ (2в!г)з ~(Е Множитель — г(Е равен числу квантовых состояний у(Е) дЕ 2/+ 1 аГ (2яд)з г?Е в интервале энергии с(Е (см. (8.9)). Преобразуем первый множитель формулы (8.20), введя потенциал р по формуле 1пр = — Л 1 (2яй)з (8.21) После этого распределение Максвелла принимает вид дЖ = д(Е) г(Е.
ехр ((Š— р) ~ 'кТ~ Сравнивая эту формулу с (8.15), найдем, что число частиц и, приходящихся па одно квантовое состояние, определяется множителем Больцмана, имеющим вид и. =— (8,22) ехр ' (Š— р) 7 Гьт') Эту формулу н следует сравнивать с (8.1?) и (8.19). Распределения (8.17), (8.19) и (8.22) изображены на рнс. 84. При больших значениях аргумента, когда среднее число частиц, приходящихся на каждый уровень, оказывается много меньше единицы, все три распределения совпадают— квантовые распределения переходят в классическое, Рассмотрим распределение Ферми при низких температурах.
Если энергия состояния хотя бы и не намного (на несколько ЕТ) превосходит энергию Ферми р, то в знаменателе формулы (8.!9) появляется очень большое число, и заполнение оказывается малым: при низких температурах уровни, расположенные выше энергии Ферми, не заполнены. Если, наоборот, энергия уровня меньше энергии Ферми (на несколько ЕТ), то экспоненциальный множитель мал и почти ничего не прибавляет к единице.
Уровни, расгголоженные ниже энергии Ферми, заполненьь Между этими областями имеется область, ширина которой по порядку величины равна нескольким йТ. В этой области происходит переход от заполненных уровней к пустым. При низких температурах этот переход очень резок, так что все нижние уровни, вплоть до некоторого, полностью заняты, а все верхние — совсем пусты. Вопрос о том, какие температуры являются достаточно низкими, зависит от конкретной ситуации, т,е, от плотности уровней и от числа имеющихся частиц 1 ЛАВА 8 216 Рис. 84.
Распределения Бозе, Ферми и Больцмана. !точнее — от их плотности, т,е, от числа частиц в единице объема). Для протонов и нейтронов в ядрах и для электронов в твердых телах «достаточно низкими» оказываются обычные температуры. Обратимся теперь к распределению Бозе. Число частиц, которые могут находиться на одном уровне, при распределении Бозе не ограничено единицей и при малых значениях (Š— д]уП может оказаться очень большим.
Скопление частиц на нижних уровнях характерно и для классического распределения Максвелла- Больцмана. У бозонов это скопление выражено еще сильнее. Более того, при достаточно низких температурах в одном-единственном состоянии с Е = О, несмотря на его равный нулю статистический вес (см. (8.!1)), скапливается конечное, а иногда и большое число частиц. Это явление носит название б о з е - к о н д е н с а ц и и, а совокупность частиц с Е = 0 называется бозе- ко иден с атом или просто конде нс а том. С образованием конденсата связаны явления сверхтекучести и сверхпроводимости, Появление бозе-конденсата при низких температурах легко понять, анализируя (8.18) Запишем эту формулу для инфиинтного движения, когда распределение частиц по энергии является непрерывным, для чего заменим сумму з40. Злполнннип укзвивй 21? интегралом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
