goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Но оно чаще всего таковым не является. Приходящее от Солнца излучение по спектральному составу олизко к равновесному излучению при температуре фотосферы Солнца. При температуре Земли оно отнюдь не равновесно: часть излучения, лежащая в оптическом диапазоне, почти нацело является «лишней». Неравцовеспый спектр излучения «переделывается» освещенными телами в другие неравновесные спектры. Индивидуальность тел сказывается при этом в полной мере. Но если заклкшить наблк»дателя в замкнутый, лишенный внешнего освещения ящик с равномерно нагретыми степками и следить за электромагнитным излучением, исходящим от стенок и от всех тел, находящихся в ящике, то все они будут светиться с одинаковой яркостью и будут одного цвета, из каких бы материалов они ни были изготовлены! 942.
ФОРМУЛА 11лхнкх 223 В 42, Формула Планка В предыдущем параграфе ряд важных свойств равновесного излучения был установлен с помощью термодинамических методов. Мы перейдем теперь к статистическому рассмотрению, которое позволяет вывести основную формулу равновесного излучения — формулу Планка. Из этой формулы будет затем получен ряд других важных соотношений. Воспользуемся для расчетов формулами, полученными в предыдущей главе.
Рассчитаем энергию излучения, заполняющего полость тела, нагретого до некоторой температуры Т. Эта энергия складывается из энергий отдельных фотонов. Рассмотрим фотоны, энергия которых лежит в интервале от Е до Е + г)Е. Из этих фотонов состоит излучение, заполняющее спектральный интервал между частотами щ —.. Е,Гй и щ — г(ш —— .=.
(Е -> г(Е)/1ь Их число равно пд(Е) г(Е, где д(Е) г(Š— число разрешенных фотонных состояний в рассматриваемой полости, а и — число фотонов в каждом таком состоянии. Поскольку энергия каждого фотона равна Е, их суммарная энергия равна пд(Е)Ег(Е. Выразим теперь эту энергию через о б ъ е м н у ю с и е к т р а л ь— ную плотность излучения и,т.е.черезэнергиюизлучения, отнесенную к единице объема и к единичному интервалу изменения частоты. Эта энергия равна и„.,рйэ, где И вЂ” объем полости. Имеем, следовательно, и, 'г'Йа = пд(Е)Ег(Е. (9Л 2) Подставляя в это выражение значение д(Е) из (8.!0) и значение и из (8.16), найдем ИЕз Е йЕ язсзйз ехр(Е(1:.Т) — 1 Сокращая обе части равенства на И, заменяя Е на йш и г(Е на йпш, найдем окончательно (9.13) Полученное соотношение называется ф о р м у л о й П л а н к а.
Формулу Планка часто записывают через спектральную плотность излучения, отнесенную не к единичному изменению частоты, а к единичному интервалу длин волн. Подставляя (9.9) в (9.13), и опуская знак минус, найдем (9, 13) Эта формула также носит название ф о р м у л ы П л а н к а. Глльл 9 224 С Д о о 8 10 ьл10' с 2 4 б Д, им 5ОООП5001ООО 500 100 ЗОО 30 20 . 10 0 500 1000 1500 2000 Л, нм Рис.
88. Зависимость спектральной плотности излучения от частоты (а) и длины волны (6). 943. Кллссичгс«нг фоямялы для глвноввсного излгчвния 225 Функции и для разных температур изображены на рис. 86 а. Они представляют собой кривые с максимумами. Спад кривых в сторону малых ш (больших длин волн) объясняется уменьшением статистического веса д(Е), а спад в сторону больших ш (малых длин волн) — увеличением экспоненциального члена в знаменателе (9.13).
При увеличении Т плотность излучения возрастает на всех частотах, а максимум и„смешается в сторону больших частот (коротких длин волн). На рис. 86 б для тех же температур изображены функции их. Спектральные плотности их возрастают с температурой так же, как и и,„. Однако их и и„— разные функции. Они имеют разную размерность и различаются по форме. Максимумы этих функпий — при одной и той же температуре — сдвинуты друг относительно друга (мы вернемся к этому вопросу в следующем параграфе), 943. Классические формулы для равновесного излучения Из формулы Планка (9.13) легко может быть получено несколько важных формул. Найдем прежде всего полную (проинтсгрированную по ш) плотность энергии равновесного излучения при температуре Т Преобразуя интеграл к переменной т †...)хэ(йТ, найдем ,(Т) ллтл / хз дх пзсзйз / е* — 1' о Входящий в это выражение интеграл равен п~,г15. Поэтому (9,15) К тому же результату, конечно, приводит вычисление и(Т) путем интегрирования (9.14).
В формуле (9.!5) комбинация констант, стоящая перед Тз, заменена одной константой и'. Утверждение о том, что полная энергия равновесного излучения пропорциональна четвертой степени температуры, может быть получено без статистического рассмотрения задачи на основе термодинамических соображений. Эта формула ГЛАВА 9 226 Рис. 87. К выводу формулы Стефа- на — Больцмана. Рис. 88. К выводу закона Лааббррт. Обратимся к структуре формулы (9.15).
Вывод о том, что плотность энергии излучения пропорциональна четвертой степени температуры, является физическим утверждением, которое следует запомнить. Постоянная о' с точностью до малосущественного коэффициента згз!15 легко может быть получена из соображений размерности. Эту задачу в качестве полезного упражнения мы предоставляем читателям. С помощью (9.15) нетрудно вычислить энергию, излучаемую поверхностью абсолютно черного тела. Рассмотрим для этого сферическую полость большого радиуса Л с абсолютно черными стенками (рис.
87). Найдем прежде всего 1А — отнесенную к единице телесного угла энергию, излучаемую в единицу времени единицей площади по направлению нормали к поверхности. Выделим в центре полости неболыцой шаровой объем радиуса г. Телесный угол, под которым виден этот объем из каждой точки поверхности шаровой полости, равен П ягв ~Дз С единицы площади полости в единицу времени на рассматриваемый объем падает излучение, переносящее энергию 1АЙ.
Это излучение про- ходит через сечение пг~ и движется со скоростью с. Плотность его энер- гии равна поэтому 1, й 1А я гзс сЛв была получена Стефа пои и Вол ь ц м а н о м задолго до формулы Планка и носит их имя. Формула Планка позволяет, однако, вычислить постоянную и', которая до этого бралась из опыта. У 43. КлАссические ФОРмулы для РАвновесного излучения 22? а полная плотность энергии в 4ЛЛЯ больше указанной, так что (9.16) ' СЛЗ с Найдем теперь, как энергия, излучаемая поверхностью абсолютно черного тела, зависит от угла излучения. На рис. 88 изображены два нагретых до одной и той же температуры равных участка поверхности (площадь каждого участка равна 8); один из них повернут к другому под углом д. Из термодинамических соображений следует, что потоки энергии, которыми они обмениваются, должны быть равны друг другу.
Первый участок виден из второго под углом (5?ЛЯ), а второй из первого — под уголом (8,?ЛЯ) сов д. Приравнивая потоки, найдем 1в — = 1з —, сов д. Л Л Лз Лэ Индекс д при 1 указывает Еугол, под которым испускается излучение. Сокращая равенство на О',?Л, найдем (9. ! 7) 1п — -- 1А сов д. Формула (9.!7) носит название з а ко н а Л а м б е р т а.
Для абсолютно черных тел она, как мы видели, является точной, а для большинства других тел — приближенной. Найдем теперь Л; — энергетическую светимость абсолютно черного тела. Она равна Л," = у~1вг?П = ~ 1, созд2яв!Ндг!д = 2я1~ / в!Ндг!(Янзд). Интегрирование следует распространить на всю переднюю полусферу, т.
е. От д = 9 до д = я?2. Произведя интегрирование, получим (9.!8) Л,* =я1з. Подставляя в это выражение значение 1е из (9.!6) и значение и из (9.!5), найдем (9. ! 9) Л,' определяет полную мощность излучения, испускаемого с единины поверхности абсолютно черного тела. Соотношение (9.!9) так же, как Глдвь 9 228 и (9.15), носит название закона С т е ф а н а — Б о л ь ц и а н а, а входящая в него константа о называется по с т о я н н о й С т е фа н а— Больцмана: „я !4 (9.20) 60 йз <г —" — <г с 4 Формула (9.21) очень напоминает формулу для числа ударов молекул о стенку, которая выводится в кинетической теории газов и имеет вид где п — плотность молекул, ь — их скорость, а д! — число ударов в единицу времени, приходящихся на единицу плошади стенки.
Умножая эту форл!улу на среднюю энергию молекул (Е), получим !Ч(Е) =- с. и(Е) (9.22) Сравним эту формулу с (9.21). Для этого умножим (9.21) на Т'! аТ ... с. 4 а 3 4 (9.23) Числители дробей, стоящих в правых частях формул (9.22) и (9.23), определяют энергию молекул и соответственно энергию электромагнитного излучения в единице объема.
Скорость молекул ь заменяется на скорость фотонов с. В левой части формул стоят соответственно полная энергия молекул, ударяющихся о единицу площади стенки в единицу времени, и полная энергия фотонов, испускаемых в единицу времени с каждой единицы площади стенки. Эта энергия, как мы уже знаем, равна энергии оадаюших на стенку фотонов, так что левые части сравниваемых формул имеют один и тот же смысл. Формулы (9.22) и (9.23), таким образом, по сути дела идентичны. Вернемся к формуле (9.18). Если бы излучение испускалось во все стороны равномерно, то полная мощность излучения оказалась бы в 2я раз больше, чем мощность 1ъ, испускаемая в единицу телесного угла в перпендикулярном направлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
