goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 40
Текст из файла (страница 40)
С помощью магнитного резонанса был наиболее точно измерен магнитный момент протона. Значения магнитных моментов протона и нейтрона, полученные описанными выше методами, приведены в гл. 14, 972, Как уже отмечалось, аппаратура для наблюдения ЯМР работает в хорошо освоенной области частот. Это позволяет использовать ядер- $ 38 Магнитный назонхнс ный резонанс для измерения и стабилизации магнитных полей, причем с помошью сравнительно простой аппаратуры удается достичь погрешности 10 Укажем на еще одно важное применение метода ЯМР. В последние годы этот метод все шире используется в медицинской интроскопии («внутривиденииэ) подобно рентгеновским лучам и радиоактивным нуклидам, в отличие от которых он совершенно безвреден.
При ЯМР-диагностике используется сигнал резонанса от протонов, концентрация которых особенно велика в мягких тканях. При опухолях и других нарушениях структуры тканей концентрация водорода меняется и сигнал резонанса усиливается или ослабляется. Метод ядерного магнитного резонанса является важным дополнением к рентгеновской диагностике, при которой мягкие ткани видны плохо и которая более пригодна для исследования скелета.
(При рентгеновской диагностике сосудов и мягких тканей в кровь или во внутренние полости организма приходится вводить контрастные вешества.) Разновидностями электронного магнитного резонанса являются ферромагнитный и антиферромагнитный резонансы, связанные с изменением ориентации электронных моментов а ферромагнетиках и антиферромагнетиках, а также д и а м а г н и т н ы й резонанс на свободных носителях в полупроводниках и ц и к л о т р о и и ы й резонанс иа свободных электронах в металлах.
Г,ллвА 8 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ с(»Ум = Лехр( — Ек~йТ) с1расЦ~. Й~», (распределение Максвелла), с(Л~; =. 1'ехр( — Ен„,)1сТ) ймс(У~Ь (распределение Больцмана)., (8.1) где Е, — кинетическая, а Еа„, — потенциальная энергия, Т вЂ” температура газа, й — постоянная Больцмана, А и А' — нормировочные константы, зависящие от числа частиц. Оба, эти распределения' содержат идентичный множитель ехр( — Е/1сТ), который мы будем называть множителем Больцмана. Квантовая теория показывает, что формула (8.1) нуждается в уточнениях. При выводе формулы Максвелла отыскивается наиболее вероятное распределение частиц, т.е, распределение, которое может быть достигнуто наибольшим числом способов. Это распределение находится с помощью обычных методов комбинаторики.
При подсчете числа комбинаций предполагается, что частицы одного и того же сорта можно отличить друг от друга. Это означает, например, что распределение, при котором первая частица находится в состоянии А, а вторая — в состоянии В, и распределение, при котором в состоянии А находится вторая частица, а в состоянии  — первая, являются двумя разными распределениями. Мы знаем теперь, что это не так: частицы одного сорта ничем не отличаются друг от друга, и установить, какая из них является первой, а какая второй, невозможно.
Указанные распределения должны 'В классической статистике исаольауется также распределение Максвелла по скоростяи, но оно наи не понадобится. Из курса молекулярной физики читатель уже знаком с основными формулами классической статистики. В кинетической теории газов распределения частиц описываются формулами й39. Число квлнтовых состояний. Стхгистичвский вас 205 считаться поэтому за одно, а не за два разных состояния. Таким образом, квантовая физика и классическая физика приводят к различным формулам для расчета числа возможных состояний (к разным правилам комбинаторики) и соответственно к разным формулам для расчета вероятностей или, как обычно говорят, к разным статистикам.
Правила квантовой комбинаторики различаются для частиц с целыми (О, 1,2 и т.д.) и полуцслыми (1/2, 3/2 и т.д.) значениями спина. Частицы с полуцелым спином подчиняются принципу Паули: никакие две частицы одного сорта не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. Комбинаторика, учитывающая неразличимость частиц и принцип Паули, приводит к замене классической статистики с тат исти кой Ф е р м и — Дира к а (или просто статистикой Ферми) и распределения Максвелла — р а с п р е д е л е н и е м Ф е р м и— Д и р а к а. Частицы, подчиняющиеся статистике Ферми — Дирака, называются ф е р м и о н а м и.
Статистика Ферми описывает поведение электронов в твердых телах и нуклонов в атомных ядрах и понадобится нам при изучении многих свойств твердых тел и для понимания важнейших особенностей ядер. Частицы с целым спином (например, фотоны) принципу Паули не подчиняются; любое их количество может находиться в одном и том же квантовом состоянии. В этом случае квантовая комбинаторика приводит к статистике и распределению Бозе — Эй н шт ей на. Частицы, подчиняющиеся статистике Бозе- Эйшптейна (или просто статистике Бозе), называются б о з о н а м и, Статистика Бозе потребуется нам для вывода формулы Планка, описывающей спектр равновесного теплового излучения, а также для расчета теплоемкости твердых тел.
9 39. Число квантовых состояний. Статистический вес Как уже отмечалось, основной постулат статистической физики утверждает, что равновесным является наиболее вероятное распределение, т.е. распределение, которое может быть получено наибольшим числом способов.
(При расчете будем считать, что частицы не взаимодействуют друг с другом и что все распределения, приводящие к данной суммарной энергии частиц, равновероятны.) Чтобы найти такое распределение, нужно прежде всего знать число состояний, по которым могут распределяться исследуемые частицы. Рассчитаем это число для электромагнитного излучения, т.е. для фотонов. Полученные формулы нетрудно будет затем обобщить на любые другис частицы.
Заключим излучение в зеркальный ящик. Запертые в ящике фотоны не могут уходить на бесконечность. Их энергетические уровни, йоб 1ЛАВА 8 следовательно, квантуются. Найдем соответствующие формулы. Пусть зеркальный ящик имеет форму параллелепипеда, как это изображено на рис. 81. Обозначим длины его сторон через А, В, С'. Пси-функцией фотонов являются световые волны . Стационарные состояния, соответствующие определенным уровням энергии фотона, описываются стоячими волнами.
Стоячие волны в прямоугольном ящике могут быть представлены в виде разложения по волнам, зависящим от каждой координаты: эй(ш, у, в) = ~~~ Ап.пь1 з1п()схпш')в1ВЯу,пу) з1п()сх1д). (8.2) плод Зависимость от времени в (8.2) опущена. (Она входит в волновую функцию в виде обычных множителей ехр(-.1со,й) и сейчас не будет для нас представлять интереса.) Частота света связана с волновым числом известным соотношением пэ йг с Ила 1 1су 1 1» Выберем в качестве светового вектора Рис. 8!.
Зеркальный электрический вектор волны Е„. На гранях ящик, в который эзапер- зеркального ящика вектор Е,а должен обра- то» излучение. щаться в нуль. Выбор в качестве тригонометрической функции синуса (а не косинуса) в разложении (8.2) обеспечивает обращение Е„, в нуль на гранях ш = О, у = О и = = О. Чтобы Е"„„обращалось в нуль на остальных гранях параллелепипеда, должны быть выполнены условия й А — пя, йуВ =.- тп, 1с,С = 1п, или )си = пяуА, 1су — — тя/В, 1с, = 1п/С, где а, пи 1 — произвольные целые положительные числа'. Эти формулы определяют квантование энергии фотонов, поскольку Чр~ ь~ь гь 4' л уь э ь'.
(8А) Рассчитаем число фотонных квантовых уровней в области, где энергия фотонов меньше некоторого Еп. Для этого следует рассчитать число нхак мы уже отмечали, световая волна и ш-функцня фотонов на самоьэ деле различаются коэффициентом пропорциональности, что для дальнейших рассуждений несушественно При целых отрицательных числах пп еч 1 не возникает новых решений, поэтому их рассматривать не следует, з39. Число квлнтовых сОстОЯний. Стлтистически«! Вес 2ОТ 8 3 о И 3 * о (8 5) В этой формуле»»г(Ео) определяет число различных возможных фотон- ных состояний с энергией, меньшей Ео.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
