goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

В атоме водорода полная энергия при п .-т оо не возрастает, а стремится к некоторому пределу, который удобно полагать равным нулю. Кинетическая и потенциальная энергии электрона при увеличении и мало меняются. Поэтому утверждение о том, что полная энергия может быть найдена как сумма потенциальной и кинетической энергий, неприменимо к атомам ни при каких квантовых числах.

Это важное исключение следует иметь в виду. Квантовая физика при больших квантовых числах, как правило, переходит в классическую, но прежде, чем это окончательно утверждать, в каждом конкретном случае следует убедиться в том, что основные физические величины, характеризующие движение, при болыцих квантовых числах приобретают неограниченно возрастающие или, по крайней мере, достаточно большие значения. Любопытно, однако, что даже в атоме водорода при увеличении квантовых чисел движение приобретает многие классические черты. Так, с увеличением главного квантового числа п увеличивается среднее расстояние между электроном и ядром унапомним, что это расстояние возрастает как па), а следовательно, уменьшается «неклассическая часть энергии, связанная с неопределенностью импульса, и т.д. Итак, в большинстве случаев (пе относящихся к числу исключений) возрастание квантовых чисел приводит к увеличению числовых значений физических величин. Квантовые соотношения между средними значениями этих величин превращаются в привычные классические формулы.

3. Важнейшим результатом квантовой теории является утверждение о существовании у частиц янулевойа энергии', которая в классической физике не появляется вообще. Поскольку при увеличении энергии частицы вклад нулевой энергии в полную 1см., например, формулу для энергии осциллятора) становится малым, пренебрежение нулевой энергией в классической физике вполне оправдано. 11. Обратимся к еще одному важному различию между классической и квантовой физикой. Классическая физика, как правило, начинает исследование с того, что экспериментатор устанавливает начальное положение и начальную скорость тела.

Квантовая физика, наоборот, чаще всего исследует стационарные состояния частиц 1состояния с постоян- Имеется в вику наименьшая энергия, которую может иметь система, — ее энергия нри нулевых значениях квантовых чисел. з36 Клхссическхя и кзмповхя Физикл 183 ф(х) = ~р(р) ехр(1 — х) г)р. (6.27) Распределение по импульсам р(р) отлично от нуля при всех (или почти всех) значениях импульса, но главным образом сосредоточено в области с шириной Ьр = 2яй/Ьл.

Рассуждая в духе классической физики, можно теперь поставить вопрос о движении частицы с известной начальной координатой, т.е. о движении волнового пакета. Задача о движении такого пакета (или, что то же самое, группы волн) хорошо изучена в классической физике. Волны типа ехр(1рю/А), или при полной записи ехр 1(рх/Ь вЂ” щ1), движутся аналогично классическим. Общеизвестный результат заключается в том, что составляющие пакет волны движутся с фазовой скоростью ~о/)ч в то время как гребень волны перемещается с групповой скоростью А~/г()г. Это и есть скорость движения волнового пакета. Как мы уже знаем, групповая скорость движения волн де Бройля равна скорости частицы: йы/г)й = г)( >)уг1(гяг) = г)Е:(г)р = р/пт = г.

Здесь следует отметить, что волновой пакет «размывается» со временем из-за того, что входящие в его состав волны перемещаются в пространстве с разной скоростью. Скорость, с которой «расплывается» волновой пакет, зависит от массы и для больших тел ничтожно мала. 111.

Приведенные рассуждения можно провести и для вращательного движения, когда одно тело (или частица) обращается в кулоновском ной энергией) и переходы между ними. Состояния микрочастиц (например, электронов) «размазаны» по значительному объему не потому, что не бывает локализованных состояний, а потому, что такие состояния нас до сих пор не интересовали и, вообще, редко представляют физический интерес, так как они не обладают определенным импульсом, опрсделенной энергией и определенным угловым моментом (см.

ниже). Не составляет, однако, большого труда — если в этом возникает необходимость — описать с помощью квантовой механики локализованные состояния электрона (или любой другой частицы). Повторим здесь рассуждения $4. Пусть, например, мы установили, что электрон находится в окрестности точки х и занимает некоторую область Ьл, так что его у-функция имеет вид, изображенный на рис. !3. Такое состояние в квантовой физике называют в о л н о в ы м п а к е т о м.

Это состояние может быть разложено по набору любых собственных функций уравнения Шредингера, например, представлено в виде суммы или интеграла Фурье: Глльл б 184 бб(уэ) = ~ .4 е (6.28) Из этого соотношения следует, что «собранная по азимуту» т'-функция 'Локализовать положение электрона в атоме водопояа невозможно, так как при уточнении координаты электрону неизбежно приходится сообшать такую большую энергию, что он отрывается — или почти отрывается — от ядра. Звты говорим зкесь о заряженном теле потому, что «уточнить» координату электрона в атоме, как мы уже знаем, не удастся.

поле другого (атом водорода и другие подобные системы). Мы уже отмечали, что в квантовой физике наиболее интересны обладающие определенной энергией стационарные состояния, которые сильно «размазаны» в пространстве. Но если начать исследование движения с локализованного состояния, то волновой пакет и в этом случае некоторое время движется почти как классическое тело'. Со временем, однако, сходство пропадает, потому что волновой пакет «расплывается». Рассмотрим квантовые переходы, при которых вращающееся заряженное тело испускает электромагнитное излучение-. Пусть энергия тела на исходном уровне равна Ет, а на конечном — Е .

Соответствующие этим энеРгиам частоты Равны мгт = Ет,гй и шз = Е»Уйг. Возникает вопрос, почему вращающийся заряд излучает свет, характеризующийся частотой пг = огт — пгш а не «своими» частотами шг или озз? Размышление над этим вопросом показывает, что сам вопрос поставлен неправильно. Мы, конечно, вправе ожидать, что частота фотона окажется равной частоте движения заряженного тела или описывающих его волн — но не фазовой частоте, а групповой. Иначе говоря, в соответствии с постановкой задачи в классической физике, мы должны «собрать» волновую функцию в волновой пакет и посмотреть, как этот пакет будет двигаться, При расчетах мы ограничимся случаем больших квантовых чисел, так как только для них можно ожидать согласия между квантовыми и классическими представлениями. Для упрощения рассуждений ограничимся электромагнитными переходами, не затрагивающими радиального движения, и будем считать, что плоскость вращения заряженного тела при излучении сохраняется.

Иначе говоря, будем с гитать, что при излучении не только глг' =. 1 (правила отбора), но и у1т .=- 1 (сохранение плоскости движения). После этих предварительных замечаний попробуем установить, с какой частотой врагцается волновой пакет, представляющий положение вращающегося заряженного тела. Пусть в начальный момент это положение описывается угловой координатой сэ, величина которой установлена с точностью Ьгр.

Это распределение может быть представлено в виде ряда Фурье; 185 з36 Кллссичвскхя н квлгповля Физикх описывает частицу в состоянии, в котором она не имеет определенного углового момента, подобно тому, как <собранная по координате» гьфункция описывает частицу, не имеющую определенного значения импульса. При всяком данном Ь;г распределение по угловому моменту А имеет максимум при некотором т и характеризуется некоторой шириной Ьгп подобно тому, как это происходит с координатой и импульсом. Найдем теперь, с какой угловой скоростью передвигается максимум. Сравнивая (6.28) с (6.27), найдем, что рассматриваемая задача вполне аналогична задаче о движении обычного волнового пакета. Поэтому можно не производить новых расчетов, а заменить переменные в старых: вместо координаты л следует рассматривать угол шь вместо импульса р — угловой момент ЛХ = тЬ, вместо групповой скорости ц,р — соответствующую угловую скорость П,м Угловая скорость П,г находится по формуле, аналогичной формуле тг,я — — Й фФ, которую лучше в этом случае записать в виде н,р —..

Йй~г'ггр. Тогда д„, )(Г ) 6111 г(М М! 6 Йгг В этом выражении появилось дифференцирование по дискретно меняющейся величине пн При большой величине квантового числа пт в этом нет ничего плохого, надо просто от дифференциалов перейти к конечным разностям, т.е. вместо ЙЕ(Йт писать ЬЕ,Ггзт, так что Ез — Ег П'л = 6(та — тг) Замечая, наконец, что при рассматриваемых переходах кпз — гпг = 1, находим, что круговая частота обращения волнового пакета действительно совпадает с частотой излучаемого кванта. При движении крупных тел, рассматриваемых классической физикой, их наолюдаемое движение полностью совпадает с движением волнового пакета и выводы классической физики снова оказываются правильными.

1Ч. Обратимся к соотношениям неопределенностей. Выше уже было показано. что эти соотношения по своему смыслу являются классическими. Они выполняются во всех волновых процессах, в том числе при распространении света. Всякое сужение волнового фронта диафрагмами приводит к размытию направления волны, а всякое ограничение длины волнового цуга сопровождается потерей монохроматичности.

Соотношения, которые описывают эти явления, совпадают с соотношениями неопределенностей. Главное различие между квантовой и классической (волновой) формулировками соотношений неопределенностей со- 186 Глльд 6 стоит в том, что в классических формулах связываются ширина диафрагмы и раствор волнового кон уса (неопределенность направления вектора К), длина цуга и разброс волны п о ч а с т о т е, в то время как в квантовой записи предпочитают говорить о размере щели (или «ямы») и разбросе по и м и ул ь с у, а также о времени жизни состояния и неопределенности его э н е р г и и. Соответственно классическая запись этих соотношений не содержит постоянной Планка, тогда как в квантовую она входит.

Характеристики

Список файлов книги