belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 80
Текст из файла (страница 80)
4.1 мы уже проводили оценку таких флуктуаций. За характерное время т = 1/Ьи через первичную цепь протекает заряд 1т, т. е. проходит число электронов., равное 4У = 1т1е (е заряд электрона). Дисперсию этой величины можно оцепить как (дХ)~ — Х, и тогда для шумового тока получаем (4',„) е~(5Я))~т = е1(т = «1Ьо. Более подробный расчет приводит к формуле Шотатки: (4~„) = 2е1Ьм (4.49) Заметим, что в полупроводниковых приборах имеется дополнительный источник шума. В металле число носителей заряда (свободных электронов) фиксировано. В полупроводнике же среднее число носителей поддерживается в результате действия механизма динамического равновесия. Носители заряда, а в полупроводнике это могут быть как электроны, так и «дырки» (см. равд.
о«.9), непрерывно рождаются (генерируются) и рекомбинирук>т. Возникает дополнительный, так называемый гснсрационно-рекомбинационний шум, и в результате величина (4Ш) возрастает вдвое. О гипотпезе «тпепловой смерти Вселенной». Вселенная, по-видимому, объект макроскопический, поэтому можно предположить, что к ней применимы законы термодинамики. С другой стороны это система изолированная, т. к.
ей просто не с чем взаимодействовать. Исходя из этого, Клаузиус пришел к выводу, что в конце концов повсюду должны установиться одинаковые условия химический состав вещества, температура, давление. Всякие макроскопические процессы прекратятся. Такой исход событий он назвал «тепловой смертью Вселенной». Представления о наличии флуктуаций снимают эту проблему. В рамках доэйнштейновских представлений о строении Вселенной наиболее последовательное решение дает флукгауационна гллпогаеза Больцмана. Если Вселенная бесконечна в пространстве, то имеется конечная, пусть весьма малая, вероятность сколь угодно обширной, но все же пространственно ограниченной, и сколь угодно энергичной флуктуации.
Если к тому же Вселенная «живет» бесконечное время., то, .хотя в целом она уже давно достигла равновесного состояния, время от времени ничтожная вероятность гигантской флуктации осуществляется. И нам просто «повезло» родиться в тот промежуток времени, когда в объеме, содержащем около 10ш элементарных 4.7.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОЕМКОСТИ частиц, параметры заметно отличаются от средних по Вселенной. Впрочем, если бы не было такой флуктуации, не было бы не только нас, по и звезд, планет, галактик. Таким образом, неверно утверждение Клаузиуса о стремлении энтропии Вселенной к максимуму. Опа уже достигла состояния с максимальной энтропией, но в ходе флуктуаций отклоняется от пего. Отметим еще., что второе начало получено в предположении аддитивности таких термодинамических параметров, как энтропия, энергия.
Но в космических масштабах важнейшую роль играет гравитация. Неаддитивность гравитационной энергии ставит под сомнение применение второго начала термодинамики ко всей Вселенной, как к бесконечной во времени и пространстве, однородной в больших масштабах и стационарной «ньютоновской» Вселенной, так и к конечной в пространстве и времени Вселенной общей теории относительности. 4.7.
Основы теории теплоемкости Мы уже неоднократно использовали полученное па основе газокинетических представлений соотношение, согласно которому на одну степень свободы поступательного движения молекулы приходится энергия, равная й Т/2. В предыдущем параграфе мы показали, что и на тепловое движение макроскопического тела приходится такая же энергия, и обобщили это положение па другие степени свободы крутильпые колебания и лаже на электромагнитные волны. Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее.
Закон равнораспределения. Поступательное дни»кение. Вернемся к рис. 4.12. Если по разные стороны поршня находятся разные газы, средние энергии молекул каждого из них должны быть равны энергии теплового движения порпшя. То же можно сказать о случае, когда в сосуде находится смесь газов. Значит, средние энергии различных молекул должны быть равны между собой, как и следует из условия теплового равновесия. Поршень состоит из каких-то молекул, и его импульс в каждый момент времени сумма импульсов молекул; Ми = 2 т,77Ь Средний квадрат импульса поршня равен ЯМи) ) = Я2, т,и,) ) = Д, т,т17~,.п7). Скорости теплового движения различных молекул нескоррелированы и поэтому (оев1) = О, если г ~ 7'.
В сумме остаются только члены с г = 71 Таким образом М2(из) = = МЛвТ = Я7пп(п~). Но Л1т = М, и значит т(ь~) = й Т: средняя кинетическая энергия молекул поршня тоже равна Л Т/2. Колебания. Пусть по одну сторону от поршня вакуум, а поршень удерживается в положении равновесия пружиной. Тогда тепловое движение поршня это колебания, вызванные ударами молекул. Период колебания поршня,конечно, гораздо больше времени соударения с молекулой, воздействие пружины на поршень за время взаимодействия можно не учитывать, и все соотношения для соударения остаются в силе. Средняя кинетическая энергия поршня на пружине также получится равной ЙвТ/2. Более подробный расчет показываег, что в действительности этот результат не зависит от соотношения между характерными временами, в среднем передача энергии из поступательного движения в колебания будет такой же и при соударениях молекул между собой.
Это означает, что и кинетическая энергия внутримолекулярных колебаний также должна быть равной ГЛ. 4. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 'квТ12. Полная энергия колебаний, однако, вдвое больше, так как надо еще учесть потенциальную энергию, в среднем равную кинетической энергии колебаний. Вран1птельное дви:жение. Пусть тело состоит из хаотически движущихся, по связанных между собой молекул. Очевидно., движение молекул может быть только колебательным, и связанная с ним кинетическая энергия в среднем равна ИвТ12. Рассмотрим момент импульса тела относительно некоторой оси. Под скоростью в мы теперь будем понимать составляющую, перпендикулярную оси и радиусу-вектору, проведенному от оси к месту расположения молекулы. Момент импульса тела относительно выбранной оси Ь = 1П, где П угловая скорость вращения вокруг этой оси, а 1 = 2 гаг, соответствующий момент инерции (г, -- расстояние от оси до ьсй молекулы).
Для среднего квадрата момента импульса получаем |лэ=([лц')=((~';.р,) )=~';.к р,")=г( ')=п.т, и для средней кинетической энергии вращательного движения снова имеем (1Пз/2) = й Т12. Если молекулы пе связаны, например., в газовой фазе, такая энергия приходится на каждую степень свободы вращательного движения отдельной молекулы. Опираясь на закон равнораспределения, мы можем понять закономерности, определяющие теплоемкость различных веществ. Напомним, что теплоемкостью называется величина С = БЯ14)Т количество теплоты, которое надо подвести к телу для повышения его температуры на 1 К.
В данном параграфе мы будем считать, что рассматриваемое тело не совершает работы (положительной или отрицательной), вся теплота идет па изменение его внутренней энергии, то есть иметь в виду теплоемкость при постоянном объеме С . Теплое икосьчь щеердыя тел. Внутри твердого тела атомы имеют три степени свободы колебания по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Так как на колебательную степень свободы приходится энергия квТ, энергия моля равна ЗХ4 к Т = ЗЛТ, и теплоемкость твердого тела в расчете на моль равна ЗЛ.
Этот так называемый закон Дюлонва и Пгпи при комнатных и более высоких температурах хорошо выпо,ппяется для громадного большинства твердых тел. Заметим, что в эксперименте для твердых тел обычно измеряется тепло- емкость при постоянном давлении С, но из-за крайне малого коэффициента теплового расширения она почти неотличима от С, Теплое44кости газов. Молекулы одноагомньях газов обладают только тремя поступательными степенями свободы, вся их энергия ЗИвТ12, и тепло- емкость моля ЗЛ/2.
Для двухатомных газов появляются еще две степени свободы вращение вокруг двух осей, перпендикулярных друг другу и оси молекулы. Соответственно, теплоемкость двухатомного газа . 5Л/2. Для многоатомных газов возможны два варианта: линейные молекулы, как и двухатомные, имеют пять степеней свободы и соответственно теплоемкость при постоянном обьеме 5Л/2, остальные шесть, и их теплоемкость равна ЗЛ.
«7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОЕМКОСТИ Броуновское движение. По разным причинам одинаково трудно наблюдать тепловое движение как отдельных молекул, так и макроскопических тел. Это, однако, удается в промежуточном случае объектов микронных размеров (т. е. порядка 1 мкм). Первым заметил хаотическое движение взвешенных микрочастиц пыльцы растений — английский ботаник Р. Браун (1827), по слегка искаженному имени которого это движение и названо броуновским. Масса броуцовских частиц обычно составляет около 10 7з г, и скорость их теплового движения достигает величины порядка 1 см/с. Это пе означает, однако, что за секунду частица сместится на такое расстояние. Траектория броуновской частицы -- сложная путаная линия.
Если фиксировать положение частицы через какието не слишком малые промежутки времени, то получается картина типа приведенной на рис. 4.15. На нем воспроизведены результаты, полученные Перреном (1909 г.) в его классических опьпах. Перрен наблюдал броуновское движение шариков гуммигута диаметром около 1 мкм. Положение центра частицы фиксировалось через каждые 30 с. При этом надо иметь в виду, что каждая «прямая» па ри- 1 мкм сунке в действительности сама представляет собой ломаную., состоящую из множества звеньев. Мы видим, что частица за 10 мин удалилась от первоначального положения всего на расстояние порядка 10 мкм, и это при сродпей скорости движения 1 см/с.