belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 76
Текст из файла (страница 76)
4.5. Распределения Максвелла Равные фазовые объемы, как мы уже отмечали, содержат одинаковое число состояний. Поэтому соотношение (4.23) в форме Х /Хр = е "~8~~ можно трактовать и как отношение числа частиц в двух состояниях, и как отношение числа частиц в равных фазовых объемах. Тогда, расшифровывая выражение для энергии, в случае идеального газа мы можем записать число молекул в бесконечно малом фазовом объеме: 11Л1 = с е — и1' ад~!Евт) ( ~(2ьвт1)1 д4 ~2, .
у~11 йяг1п 111 1111 (4 26) где с1 - - некоторая константа. Мы записали общую форму распределения Максвелла — Больцмапа. Если во всем объеме температура одна и та же, можно провести интегрирование по составляющим скорости, и получить выражение 11я = С Е 1. ~"вт СИ' (4.27) которое полностью эквивалентно формуле (4.14), и следовательно, может служить одной' из форм записи распределения Больцмана (здесь сз некоторая новая константа, отличная от с1).
С другой стороны, интегрирование (4.26) по объему дает возможность получить сводепия о распределении молекул по скоростям, так называемое распределение Максвелла. Рассмотрим последовательно различные формы этого распределения. 4.а Рлспгеделения млкснеллл Распределение по составляюсчей скорости. Проинтегрируем (4.26) нс только по объему, но и по двум составляющим скорости: с(Х(п ) = сзе т'*~ ь' с1о . (4.
28) Величина с(% должна быть пропорциональна полному числу частиц системы Дсо. Исходя из этого, запишем предыдущую формулу в виде ( ) = с(ас(е ) с(уо с(п ) = Ае "' става (4.29) срункция ф(н ) плотность НРроятности для распрРДРлРния 'састиц пО О Действительно, ЬХ = (с(Хс'сЬ~)Ьп число частиц со скоростями в пределах сто. Поделив эту величину на полное чис,ло частиц Хш получаем долю соответствующих частиц, т.
е. вероятность того, что скорость случайно выбранной частицы находится в соответствующем диапазоне скоростей. Постоянную А найдем из условия нормировки: ч у Ь я ~р(п ) с(в,. = 4е ™..Узьвт с1П,. = 1, (4,30) ~о Выполнив интегрирование, получим А = (т/2хй.Т)'с~., и окончательно ~р(пх) = (т!2якьТ) с е 1 ь (4.31) Возвращаясь к формуле (4.28), отметим, что сз = АХш Конечно, аналоги спыми будут распределения по и, и по е,. Распределение по вектору скорости. Величины составляющих скорости можно считать статистически независимыми. Поэтому вероятность того, что частица одновременно имеет значения составляющих скорости н~, еч и п„равна произведению соответствующих вероятностей для составляющих: с1ш(п, Рю и,) = Йш(п,) с(ш(пк) дш(п,) = р(п ) с(сс,~р(пк) с(пв р(е,) с1П,. С учетом того, что е~ + пч + в~ = п~, мы можем записать распределение по вектору скорости: ~(етьпи,е,) = ~(ч) = сР(п )сР(нз)Р(п,) = (т(24сК Т)ч~е т" с~унт.
(432) Распределение по модулю скоростпи — распределение Максвелла. Мы видим, что плотность вероятности (функция распределения) не зависит от вектора скорости при фиксированном значении ее модуля. Причина различия между распределениями по вектору скорости и по ее модулю одна: для фиксированного с заданной точностью значения вектора скорости бесконечно малый фазовый объем равен с1п с1вц с(п„а для фиксированного значения в это обьем шарового слоя (в пространстве скоросгей) между сферами радиусов е и сс + с1Н.
Эта величина равна 4хее с(е, и мы сразу получаем йш(О) — (пс с24гк Т)3(2е — тч"'~2ьь г 4япт с(п (4.33) Именно это соотношение обычно и называют распределением Максвелла. Для плотности вероятности имеем: Р(ю) — (пс(2яй Т)зс34сс442е--ти-'(2ььт (4.34) ГЛ. 4. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 284 Еще раз поясним смысл полученных соотношений. Пусть рассматриваемая система состоит из А?О молекул. Тогда число молекул, модули скорости которых лежат в пределах от в до в + 41в, определится выражением с12У(ь) = л?О пю(в) = 44?ОГ(е) с1ш Харакгперные скоросгпьь При малых значениях скорости экспоненциальиый сомпожитель изменяется медленно по сравнению с квадратичным, и Г(в) растет. Однако затем влияние экспоненты оказывается решающим, и функция начинает убывать (см.
рис. 4.9). Значение скорости, при котором плотность вероятности максимальна, определяется условием г1Г?'дс = О. В результате для наиболее верюлтной скорости получаем в„р — — (2И Т?ьп)' ". Часто употребляемый термин вредил скорость, вообще говоря, неоднозначен. Если имеется в виду средний вектор скорости, то он, конечно, равен нулю, как и средние значения всех составляющих скорости. Обычно же так для краткости называют средний модуль скорости.
Его можно вычислить в соответствии с формулой (4.5): 8?2 (в) = вГ(в) дв = е '"'?ЕОТ4квз 41в (4 35) ~~-в) О О Отсюда получим (в) = (8й„Т?кгп)~?2 1,128е„в. Аналогично можно найти средний квадрат скорости (в2), а из него среднеквадратичную скорость (в~)~?~. Однако проще эту величину рассчитать иначе. Мы знаем среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекулы идеального газа (8) = т(О~)?'2 = Зй Т?2, и отсюда сразу можем получить е„= (О2)4?2 = (3ИвТ(т)'?2— 1,225вд,р. Если ввести нормированную (безразмерную) скорость ~ = в,?О„р, распределение (4.33) можно о„,„!Т,) ц,,?Т,~ записать в приведенном виде: Рис. 4.9 41ю® = (4,?х/к)~ е ~ с1~, (4. 36) который во многих случаях удобнее анализировать.
Большие скоросгпвь Вернемся к формуле (4.30). Скорость молекулы, по крайней мере, не может быть больше скорости света. Правомерно ли интегрирование распросгранять до бесконечной скорости'? Экспоненциальный множитель приводит к тому, что при заметном превышении параметром С единицы функция ~р(г,) очень быстро убывает. Уже для С = 10 (т. е. для 4ю = 10в,4р) получаем / О ~р(~) с1~ — 10 44. Одна молекула со скоростью больше 10в„,р приходится в среднем примерно на 1028 молей. Е1енамного больше воздуха во всей земной атмосфере! А ведь это всего лишь скорость около 5 км?с. Так что распределение дает неверные значения вероятности только для сех скоростей, которые на практике просто не встречаются.
4Я. РАВНОВЕСИЕ И ФЛУКТУАЦИИ Основная цель интегрирования распределения в бесконечных пределах вычисление нормировочных множителей. Из приведенных оценок ясно, что погрешность, вносимая в эти вычисления «неправомерным» расширением пределов интегрирования до бесконечности, неуловимо мала. Впрочем, пренебрежимо малое число молекул с большими энергиями может вызвать новые сомнения. При выводе распределения Гиббса мы полагали, что в любом состоянии имеется достаточно большое число молекул (подсистем).
Как согласуются эти два положения? Напомним, что мы искали наиболее ве4поятное распределение. Что означает с этой точки зрения вероятность 10 ? Если мы возьмем моль, десять, сто молой газа, с подавляющей вероятностью мы пе обнаружим ци одной молекулы со скоростью п ) 10пв„>. Но представим себе ансамбль, допустим из 104' молекул, и вот там уже должно быть около сотни таких молекул. В ансамбле из 10'" молекул таких должно быть уже около 10 миллионов, и так далее. И, наконец, в бесконечно болыпом ансамбле доля таких молекул станет в точности равной 10 ~з. Справедливость распределения Максвелла доказана как многочисленными косвенными данными, так и прямыми экспериментами. Опытп Штер>4и.
Первые опыты по прямому измерению тепловых скоростей молекул (Штерн, 1920) выглядели следующим образом. Платиновая проволока, покрытая слоем серебра, нагревалась до 1000'С. При такой температуре от проволоки уже идет заметный поток испаряющихся атомов серебра. При г>еподвижном цилин- Л дре прошедшие через щели (см. рис. 4.10) атомы попада- Л > ют на внутреннк>ю поверхность цилиндра возле точки А. Л, 1/ Если устройство заставить вращаться вокруг оси, совпадающей с проволокой, место попадания атомов на Рис, 4.10 цилиндр сместится, и смещение будет зависеть от скорости атомов.
Скорости атомов различны, и в результате получается размытая полоска А1Аз. По смещению полоски относительно исходного положения А можно судить о скоростях атомов. С помощью таких опытов Штерн получил значение средней скорости атомов, а позже, значительно усовершенствовав методику, и распределение молекул по скоростям. Все опыты дали результаты, прекрасно согласующиеся с предсказаниями теории.
4.6. Равновесие и флуктуации В основе статистической физики лежат представления о вероятностном характере законов термодинамики. Так, система, находящаяся в неравновесном состоянии, не обязательно эволюционирует по направлению к равновесию такое развитие событий лишь наиболее вероятно. Существует конечная вероятность самощ>оизвольного перехода системы из равновесного состояния в некоторое неравновеспое, хотя эта вероятность, по-видимому, тем меньше, чем больше новое состояние отличается от равновесного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
