belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Такая доля молекул будет иметь скорости в этих пределах в первом опыте, такая же доля измерений даст соответствукнцие значония скорости молокулы во втором опыте. 4.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ В обоих рассмотренных случаях мы имеем дело с дискретнъ1ми распределениями. Иначе обстоит дело, когда случайная величина может принимать всевозможные значения.
Так, множество возможных значений величины скорости молекулы бесконечно и несчетно., оно, как говорят, имеет мощность континуума. В этом случае ни одному конкретному зпаченик1 скорости нельзя приписать конечной вероятности. Можно только, как мы это уже и делали, говорить о вероятности того, что скорость лежит в неких пределах. Значение вероятности можно указать для любого, сколь угодно малого, диапазона скоростей, но для любого конкретного значения скорости она обращается в пуль. Такие распределения называются непрерывными.
Для описания непрерывных распределений вводится понятие плотнос1пи вероятности. Рассмотрим вероятность того, что значение некоторой случайной величины ( лежит в диапазоне (в —.' (~в + Ь(), то есть удовлетворяет условию Со < ( < Св + ЬС. Плотностью вероятности г" (С) называется предел отношения этой вероятности к величине Ь~, когда диапазон Ь~ стремится к нулю, т. е. (опускаем индекс при () ~и1(г, —: (~+ ьс)) Тогда, если взять малый диапазон Ьг в окрестности значения (, вероятность обнаружить значение случайной величины в этом диапазоне можно считать равной и1(~ —: (С + 1хС)) = ('(С)Ь~ (см.
рис. 4.3). Если диапазон считать малым нельзя, необходимо провести интегрирование плотности вероятности в соответствующих пределах: (4 1) и1Я < ~ < ~в) =и4ф —:~1) = ((~)пс. На рис. 4.3 это заштрихованная площадь под кривой г"(() от значения п 1раметра г равного С1 До зпа*юниЯ (2. В статистической физике зависимость плотности вероятности от значения рассматриваемой величины, т.
е. ((г), чаще всего называют функцией распределения (заметим, что в математике функцией распределения называется иная величина — — интеграл от плотности вероятности). Для непрерывных распределений справедливы, при соответствующих условиях, знакомые нам по дискрет~2 ным распределениям теоремы сложения и умножения вероятностей. Если диапазоны значений величины не перекрываются, то есть зн1п1ения параметра ( в диапазоне от ~1 до с1+ Ьсг несовместимы со значениями в диапазоне от ~1 до ~а + Ь~в, то вероятность нахождения этого параметра в одном или другом диапазоне равна сумме вероятностей: 1оф —: ф + Ь~1) или ~2 — ' (6+ ~6)) = П6)~6 + У(6)~1г. (4 2) ГЛ.
4. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 270 Если вероятности тех или иных значений параметров ~ и 7) независимы, справедлива теорема умножения: го(~ —: (~ + Ь~) и одновременно 7) — . '(7) + Ьг))) = ) ®гр(7))Ь~Ь7), (4 3) или пРосто Р(гг 7)) = ~(~)гР(7)), гпе Р, 7', гР --. соответствУюЩие РаспРецеле- 77ия, в частности ю(~ —. (~ + Ь~) и 7) —. (7) + гз7))) Р" ((, 7)) = 1пп Ь~-~О,ЬО-~О ЬС г.'г7) пгниг % а=(а) = а;ш,; (4.4) а для непрерывного о, = (о) = а(()~(() 71(. (4.5) При этом в первом случае ведется суммирование по всем возможным значениям г, а во втором интегрирование по всем возможным зна гениям Ох Во многих случаях кроме средней величины важно также знать, насколько тесно группируются вокруг среднего различные значения величины а.
Интересно, насколько часто встречаются значения, мало отличающиеся от (а), насколько вероятно, наоборот, появление значений а, заметно отличающихся от (а), в общем, как принято говорить, насколько острым илиг наоборот, размытым является распределеггие величины а. Полный ответ на этот вопрос дает, конечно, распределение в целом. Но 77аиболес важной обобщенной количественной характеристикой остроты или размытости распределения служит дисперсия Па = (ба)2 = (аг (а))2 (4 б) или квадратный корень из дисперсии (4.7) называемый среднеквадратичным отклонением или среднеквадратичной (абсолютной) 77глуктуа7)ией. Соответственно е =о,)(а) называется относительной среднеквадратичной флуктуацией.
Заметим, что в тех случаях, когда это не может вызвать путапицыг и о, и е ггеродко называют просто флуктуациями. Средние значенил. Дисперсил. Флукгпуации. С макроскопической точки зрения наибольший интерес представляют средние значения характеристик микроскопических полсистем — . атомов, молекул. Так, температура, давление определяются средними значениями квадрата скорости молекул. Если некоторая величина может принимать различные значения а,, и на Й7 событий приходится Йгг случаев, когда она принимает г-е значение, среднее значение величины А (для него мы будем использовать два обозначепия — черту сверху или угловые скобки) в случае дискретного распределения равно 4.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ 271 Из определения дисперсии следует, что Р„= ((да)2) = ((а — (и)) ) = а2 — 2а(а) + (а)2 = а2 — 2а2 + а2.
Мы получили полезное соотношение Р„= а2 — и — 2 (4 8) А2 = (~а,) = ~~~ (а,)2+ ~1 а;а, причем во второй сумме индексы 4 и 7 в каждом слагаемом различны. В первой сумме Х слагаемых; во второй каждому значению г соответствует Х вЂ” 1 значений 7', т. е. всего этих слагаемых Х(Х вЂ” 1). Учитывая независимость распределений для отдельных пп применим теорему умножения и получим А = 7Уа + Х(Х вЂ” 1)а . Вычтя из этого выражения квадрат средяего (А)2 = Х2(а)2, имеем Р4 — — М(а2 — а ) = Ж(ба)2 = МРа. (4.з) дисперсия равна разности между средним квадратом и квадратом среднего значения случайной величины. Из основных соотношений пам осталось отметить условие нормировки. Если мы просуммируем вероятности всех возможных исходов или вероятности всех возможных значений случайной величины, мы должны получить в результате единицу какой-то из возможных исходов обязательно получится, какое-то из значений величина примет с достоверностью.
Таким образом, 2; 4г, = 1 при суммировании по всем значениям 4'; для непрерывного распределения ) 1'(С) дС = 1 при интегрировании по всем значениям С. Фактически это распространение формулы (4.1) па весь возможный диапазон значений 4. В заключение получим одно довольно частное.,но важное для статистической физики соотношение. Рассмотрим некоторую адцитивную величину а, например, кинетическую энергию теплового движения молекул газа.
Очевидно, средняя суммарная энергия системы равна сумме средних энергий частиц. Так как молекулы равноценны, равноправны, для каждой из них распределение одно и то же, связь между средним значением величины А, характеризукнцей систему в целом, и средним значением соответствующей величины а, относящейся к одной молекуле, сводится к простому выражению (А) = Х(а). Если средняя энергия молекулы равна (е), средняя энергия моля (Е) = 7УА(е). Сложнее вопрос о флуктуациях. Мы ограничимся случаем, когда распределения величины А, относящиеся к разным частям системы, гпозюдествея; ны и независимы. Например, вероятность обнаружить молекулу в некотором диапазоне скоростей одинакова для всех молекул и в то же время эта вероятность для какой-либо одной выбранной нами молекулы практически не зависит от того, каковы скорости остальных молекул.
В соответствии с формулой (4.8) для вычисления дисперсии надо вычислить средний квадрат величины А: ГЛ. 4. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 272 Отсюда вытекают два важных результата абсолютные флуктуации в системе растут, как корень квадратный из числа составляющих ее подсистем, а относительные флуктуации с той же скоростью убывают: .„=,Гв, =,~п. ГЯ=«. %; (4.10) е 4 = О'4! 4 = на'7А177А76 = еа77 ~ ' А7.
(4.11) По поводу последних формул отметим важное обстоятельство; если измерение можно свести к простому пересчету числа некоторых объектов, соответствующие флуктуации сразу можно оценить, как 47%. Поясним это положение на двух примерах. 1. Выделим в сосуде некоторый обьем, в котором в среднем находится А7 молекул. Флуктуации этого числа равны А77Х, т.
е. мы с большой вероятностью обнаружим при однократном измерении в этом объеме не больше А7+ ъ'Х и не меньше А7 — АУ% молекул. Например, в кубическом сантиметре воздуха при нормальных условиях находится 2,7 10ш молекул. Выделим некоторый объем в 1 см и пересчитаем в нем молекулы скорее всего мы обнаружим там 2,7 10ш ~ 5,2 1() молекул.
2. В цепи течет ток 1 А. Заряд электрона -- 1,6 10 ш Кл, следовательно, каждую секунду, например, через амперметр, проходит 6,25 10'з электронов. Если стрелка амперметра может заметно сместиться за секунду (постоянная времени равна секунде), в разные промежутки времени прибор будет реагировать на 6,25. 10ш ~ 2,5 102 электронов. Относительные флуктуации--- 4 10 4". Конечно, никакой реальный прибор не может провести измерения с точностью в четыре стомиллионных доли процента.
Амперметр все время будет показывать одно и то же значение тока. Если же мы измеряем ток 0,1 мкА = 10 7 А прибором с постоянной времени 10 э с (наносекундным прибором), за время реакции прибора через него пройдет 625 ~ 25 электронов. Показания прибора только по этой причине будут нередко отличаться от среднего на ~4 %. Это уже вполне заметная величина, и она может существенно повлиять на точность измерений, которой можно д<ктигнуть при использовании такого прибора. Представляется важным отметить, что все рассмотренные термины, свойства, формулы относятся именно к случайным величинам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
