belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Изменение ее внутренней энергии равно Л~ — ВТг/и. Затем водяной пар нагревается до температуры Тг, и приращение внутренней энергии равно Сн (Тг — Тг)(1л. Всего гЛСг = = Л, — ВТл)р+Сг(Тг — Тг))р. б) Вода нагревается до температуры Тг, прв этом можно считать, что все тецчо е(Тг — Тг) идет на увеличение ее внутренней энергии. Затем вода испвряется,и прирост внутренней энергии Лг — ВТг!!л. Всего гЛСг = Лг — ВТг)!л Ч- с(Тг — Тг). Внутренняя энергия является функцией состояния, следовательно гЛСл = гЛСгг. Отсюда Лг = Лг -!- ~с — (Сг -1- и)/рЯТг — Тг) 2,38 10з Дж/г. 6.
Образец парамагнитной соли при температуре Т = 1 К находится в магнитном поле с ицдукцией В = 0,1 Тл. Какой будет температура образца после его адиабатического размагничивания, если в соответствующем диапазоне параметров гвободную энергию соли можно принять равной Р = — Т Да+ В)г, где А и а — — постоянные, причем а = 10 ~ Тл? Указание. Из формулы 13.32) следует: Я = — (дГ)дТ)в = 4АТ Да + Ь)'. г/е Ответ: Т„= Т ~ ) 10 К.
л,а+ В ГЛАВА 4 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Макроскопические параметры термодинамической системы по большей части определяются средними значениями параметров микроскопических подсистем -- атомов, молекул. Температура тела определяется средней кинетической энергией составляющих его молекул, давление газа связано еще и с концентрацией молекул.
В то же время характеристики системы могут зависеть не только от среднего значения энергии молекул, но и от того, как эта энергия распределена между отдельными молекулами, какая часть молекул имеет то или иное значение энергии. Например, давление насыщенного пара зависит от того, какая часть молекул жидкости имеет энергию, достаточную для того, чтобы вылететь наружу.
Температура пламени обычной газовой горелки не превышает 10з К, т. е. средняя энергия молекул — около 0,1 эВ. Между тем пламя светится, а значит там имеется немало возбужденных молекул, при том, что энергия возбуждения обычно составляет около 1 эВ. Какую энергию в определенный момент времени будет иметь та или иная молекула — . вопрос случая, предсказать это невозможно. С другой стороны, какое количество молекул должно иметь энергию, в десять раз превышающую среднее значение, насколько вероятно наличие молекул с энергией,в сто раз преи.ппающей средшою, вопросы подобного типа вполне правомерны, и ответы па них дает статистичсск я физика или просто статистика. Статистическая физика дает возможность обосновать законы термодинамики, уточняет их, очерчивает пределы их применимости. Ответы свои статистика дает на языке вероятностей: она предсказывает статаштичсские распределения.
В куби зеском миллиметре газа при нормальных условиях, как это следует из ратрсделения Максвелла, имеется 10ы молекул со скоростями от 500 до 503 м/с. Это не означает, что в любом объеме в 1 ммз ровно 10ы таких молекул. Это лишь наиболее вероятное число. Статистика только говорит, что скорее всего в случайно выбранном обьеме будет число молекул, равное 10ы ~ 10з, почти наверное 10ы ~ 3 10з ит. п. Математический аппарат статистической физики теория вероятности. Поэтому, прежде чем перейти к собственно статистической физике, напомним некоторые положения этой теории. 4.1. Элементарные сведения из теории вероятности Однотипные испытания, т. е. события, с точки зрения доступной нам информации неотличимые друг от друга, могут иметь по случайным причинам, по неуловимым для нас обстоятельствам различный исход. Если па Х «Ь ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ 267 испытаний приходится А7, событий с 4-ым исходом, отношение ю; = А7,,7А7 называется вероятноспгью г-го исхода.
Говоря более строго, если при бесконечном увеличении А7 отношение А74,7А7 стремится к определенному пределу ш„то этот продел называется соответствующей вероятностью. Подобного рода уточнения надо все время иметь в виду. Мы жс в дальнейшем будем допускать ради сокращения текста некоторую «вольность» в формулировках, надеясь, что это не вызовет недоразумений. Начнем с традиционного примера бросания игральной кости. Вероятность выпадения кахой-либо грани, например, шестерки, определяется относительной частотой именно такого исхода бросания.
Если кость «нормальная», шестерка должна выпадать с частотой 176, т. е. вероятность выпадения шестерки ю(6) = 1/6. Это частный случай общего соотношения для раоновероятных событий. Если число таких вариантов равно М, вероятность каждого из них составляет ш, = 1/М. Нас может интересовать вероятность того, что осуществится хотя бы один из нескольких устраивающих нас исходов. Пусть для выигрыша пам необходимо, чтобы вьшала пятерка или шестерка. Вероятность события «5 или 6» равна сумме вероятностей этих двух событий, т. е. ю (5 или 6) = и~(5)+ю(6). Вообще и~(г или 7) = ю(1) + ю(7)., если только события 4 и у несовместимы.
Действительно, если выпала пятерка, значит, шестерка не выпала, и наоборот. А вот если завтра с вероятностью 50 % будет дождь и с той же вероятностью град, это еще не означает что либо дождь, либо град выпадет. Возможно такое распределение вероятностей: по 25 % приходится на дождь без града, грод без дождя, дождь с градом и тогда 25 % остается на погоду без осадков. Дождь и град совместимы, и потому гоеоремо елооюения вероятностей в данном случае неприменима. Для независимыл еобы7пии 1 и й справедлива теорема умнолсения вероятностей; ю(4 и 7е) = ш(7,)4о(к). Например, вероятн4к;ть того, что при бросании двух костей на одной из них выпадет шестерка, а на другой тройка, равна произведению соответствующих вероятностей, т. е. и~(6 и 3) = ю(6)тв(3.
Заметим, что точно такой же будет вероятность вьшадения шестерки и тройки при двух последовательных бросаниях одной кости. Это совпадение вероятностей является отражением особого свойства систем или процессов . — оргодичностпи. Применительно к термодинамическим системам это важнейшее свойство можно сформулировать следующим образом: среднее по времеья4 равно среднему по лнеамблю. Поясним эту формулировку на примере, более относяпгемся к термодинамике, чем бросание игральных костей. Проведем две серии опытов.
1. Определим в сосуде с газом в некоторый момент времени состояния всех молекул, т. е. их положения и скорости. 2. Выберем в этом сосуде одну молекулу и будем регулярно определять ес состояние; произведем много таких измерений в течение достаточно ГЛ. 4. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 268 Распределен44я. Плотность вероятности. При бросании кости возможны 6 равновероятных исходов, каждый из которых можно описать числом --. количеством выпавших очков.
Это число очков является случайной величиной, а набор возможных значений с вероятностями их выпадения представляет собой распределение этой случайной величины. В данном случае распределение выглядит так: ю(1) = ю(2) = ю(3) = ю(4) = ю(5) = ю(6) = ю(Х) = 1/6. Графически это распределение представлено па рис.
4.1. Положение каждой «палочки» определяется значением параметра п у нас это количество очков. Длина палочки характеризует вероятность данного значения параметра. Но подобным образом распределение выглядит только тогда, когда каждому конкретному значению случайной величины можно приписать конечную вероятность. В нашем примере это обеспечено конечностью числа возможных значений рассматриваемой случайной величины (количества точек на обращенной кверху стороне кости). Множество исходов, множество возможных значений вели типы может быть и бесконечным, но оно в этом случае должно быть счетным.
Так, вероятность выпадения подряд двух одинаковых количеств очков равно 1/Зб„трех подряд 1/216 и т. д. Рассмотрим в качестве случайной величины число одинаковых результатов, полученных подряд. Эта новая случайная величина имеет бесконечное коРис. 4.2 личество возможных значений, по это только целочисленные значения. Каждому из этих значений можно приписать конечную вероятность. В этом случае распределение можно записать в виде формулы: Од 6 Рис.
4.1 Ой 6 ю(подряд Х одинаковых исходов) = (1/6) Графически это распределение представлено на рис. 4.2. длительного времени. Длительность нужна, чтобы «наша» молекула в результате многочисленных соударений с другими молекулами, в результате долгих блужданий по сосуду полностью «забыла» свое исходное состояние, чтобы стерлась информация о ее скорости и положении в начале опыта. Так вот, средние по времени характеристики одной молекулы, полученные во втором опыте, должны совпасть с получе1шыми в первом опыте средними характеристиками по ансамблю молекул. Например, если в верхней половине сосуда находится 49 % молекул, то и наша молекула в тех же 49 % случаев должна быть обнаружена именно в верхней половине сосуда.
Если среднее значение скоростей молекул . 500 м/с, то и у нашей молекулы окажется такое же среднее значение скорости. Более того, если мы, например, интересуемся вопросом, какова вероятность того, что молекула имеет скорость от 500 до 505 м/с, мы в обоих случаях должны получить одну и ту же величину 0,83 %, если это воздух при комнатной температуре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
