belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Вопрос же о том, является ли данная величина случайной, можно ли ее в определенных условиях рассматривать как случайную, может быть далеко не простым. Например, если поведение некоторой величины описываются достаточно сложной функцией, а мы имеем возможность провести наблюдения лишь в течение сравнительно небольшого времени, вполне возможно, что закономерность не успеет выявиться, и изменения этой величины покажутся нам случайными, не поддающимися динамическому описанию.
Так, появление комет считалось чисто случайным явлением, пока Галлей не обнаружил периодичность возвращения к Солнцу кометы, носящей его имя, после чего была установлена периодичность множества других комет. Это, впрочем, не исключает как непредсказуемого появления непериодических комет, так и непредсказанного появления комет, периодичность которых еще не ВЫЯВЛЕНа.
В классической статистике полагается, что случайный характер поведения изучаемых ею объектов молекул, атомов следствие того, что 4.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦХ4АНА каждый из них принимает участие в громадном множестве разнообразных взаимодействий с другими составляющими термодинамической системы, с посторонними телами (взаимодействие молекул газа со стенками сосуда, в котором оп находится). Принципиально вероятностный характер вносит в поведение микрочастиц квантовая механика.
Главным же свидетельством правомерности статистического анализа поведения термодинамических систем является огромный массив экспериментальных данных, подтверждающих верность выводов теории. 4.2. Распределение Больцмана Равенство температур и давлений во всех частях системы является условием равновесия только в отсутствие внешних полей. Если, например, сосуд с газом находится в поле тяжести, нижние слои газа должны поддерживать верхние, давление с высотой должно падать.
Барометрическая формула. Рассмотрим слой газа некоторой толщины ЬЬ (рис. 4.4). Толщину выберем, с одной стороны, достаточно малую., чтобы находящомуся в ее пределах газу можно было приписать определенную 64-АЬ вЂ”.— —..—.—.— . плотность р, но с другой стороны, достаточно большую, заметно превышающую длину свободного пробега молекул, чтобы газ можно было считать сплош- гг пой средой.
При таких предположениях можно применять формулы гидростатики, полученные в механике. Условие гидростатического равновесия в поле с ускорением силы тяжести д запишотся в виде ЬР = — рдЬгг. Отсюда для идеального газа получим дифференциальное уравнение БТ Если д и Т считать постоянными, уравнение интегрируется: Р е — воь.йнт) (4.13) где Рв давление на уровне, для которого мы приняли гг = О.
Это выражение, называемое барометрической формулой, показывает распределение давления или проще зависимость давления от высоты в изотермической атмосфере. 1'сальная атмосфера, конечно, не изотермична, а если говорить об очень больших высотах, то и ускорение силы тяжести пе постоянно. Однако в небольших пределах, для высот в сотни метров, иногда в несколько километров, вариации температуры не очень велики, тем более не изменяется заметно д. На этом обстоятельстве, в частности, основывается применение простейших гидростатических альтиметров (высотомеров) фактически они замеряют изменения давления, а шкала грэдуируется в значениях высоты.
Точность таких приборов, конечно, невелика. При постоянной температуре давление пропорционально концентрации молекул п (Р = 12к Т). Поэтому формулу (4.13) можно представить в виде 274 ГЛ. «ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ зависимости концентрации молекул от высоты: п=ме "~д и = 7ЮЕ где пв концентрация на высоте 6 = О. Мы видим, что скорость изменения концентрации молекул с высотой зависит от молярпой массы газа. Т1ем легче молекулы, тем медленнее меняется их концентрация. И действительно, атмосфера Земли с высотой обогащается более легкими газами (см.
гл. 4 задачи 3, 4). Обратим внимание на одно важное обстоятельство. При любой температуре концентрация молекул падает до нуля лишь на бесконечном расстоянии от поверхности. Если же учесть зависимость д от высоты, то даже для бесконечности получается конечное (не равное нулю) значение концентрации.
Это, конечно, означает одно: атмосфера не может быть равновесной, молекулы входящих в ее состав газов непрерывно «убегак>т» от Земли, и этот вывод пе изменится, если учесть, что атмосфера не изотермична. Почему же Земля все-таки имеет атмосферу? Атмосферу могут покинуть молекулы, которые, попав на достаточно большую высоту, где уже практически невозможны соударения с другими молекулами, имеют скорость не меньше «скорости убегания» (второй космической скорости).
Количество таких молекул, а значит, и скорость потери атмосферы зависит от двух величин. С одной стороны это масса планеты, определяющая «скорость убегания». С другой —. температура атмосферы, определяющая долю молекул, имеющих достаточно большую скорость. Оказывается, что, например, для Земли время, за которое может существенно измениться плотность атмосферы, составляет многие миллиарды лет. Средняя температура на Луне практически такая же, как на Земле., а на Марсе опа даже несколько меньше. Но массы этих небесных тел заметно меньше массы Земли. Меньше и «скорость убегания». В результате время рассеяния атмосферы для них составляет «всего» несколько сот миллионов лет, и в настоящее время они практически лишены атмосферы.
С другой стороны, на спутнике Сатурна Титане «скорость убегания» практически такая же, как на Лупе. Однако он гораздо дальше от Солнца, и температура там составляет всего лишь около 100 К. Поэтому Титану удается удерживать атмосферу из метана СН4 и аммиака ХНЗ, газов более легких, чем азот и кислород, а значит, более склонных к рассеянию. Использовав соотношения р, = 7пХ и Л = йА7А .. преобразуем барометричс" скую формулу в зависимость концентрации от потенциальной энергии одной молекулы и: — ту7Ц(ввТ) — и?(Ь Т) (4.14) Хотя мы получили распределение молекул в поле тяжести, ясно, что аналогичное распределение должно возникнуть в любом потенциальном силовом поле.
Если вместо гпй на молекулу действует некая сила ~, а противостоять ей может только изменение давления вдоль направления действия силы. при переходе к макроскопическому описанию мы должны принять, что 6Р = — ~я 416, и точно так же, как при вьшоде барометрической формулы, мы придем к соотношению (4.14). Рассмотрим выражение (4.14) с несколько иной точки зрения. В цилиндрическом сосуде высоты О находится газ.
Выберем наугад одну молекулу этого газа. Какая у псе будет потенциальная энергия? Коне шо, возможно любое 4.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦХ4АНА значение от нуля до тджх. Но вероятности того, что молекула имеет то или иное значение энергии, различны. Молекул с малой энергией побольше, и если мы действительно совершенно случайно выбираем молекулу, вероятность го(и) того, что пам попадется молекула с энергией и, тем больше, чем меныпе значение и. В данном случае формула (4.14) показывает отношение вероятностей того, что молекула имеет то или иное значение энергии, т. е. можно записать: ит(,и2) = гг>(,иг)е (4.15) Потенциальная энергия является одной из характеристик состояния молекулы, или шире — состояния подсистемы.
Если подойти к формуле (4.15) с этой точки зрения, ее можно трактовать как выражение для вероятностей нахождения подсистемы, в частности, молекулы в состоянии с той или иной энергией. Опыты Перрена. Наблюдать непосредственно распределение молекул ио высоте практически ноггозможгго. О гн м мы судим ио косвенным признакам давлению и температуре. Но барометрическая формула должна быть справедливой по отношению к любым частицам. Первым прямую проверку этого соотношения произвел Ж.
Перрен (1908). Эти опыты, а также его эксперименты по изучению броуновского движения сыграли большую роль в утверждении атомистических представлений, которые в то время разделяли далеко не все ученые. Перрен наблюдал в микроскоп распределение ио высоте взвешенных в воде частиц гуммигута диаметром около 0,5 мкм., масса которых составляла примерно 10 гв кг. Если учесть архимедову силу (плотггость гуммигута болыие плотности воды всего в 1,2 раза), эффективная масса, которую надо подставлять в формулу (4.14), в 6 раз меньше реальной массы частицы. Тогда получаем, что концентрация таких частиц падает вдвое через каждые 10 20 мкм. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
