belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 74
Текст из файла (страница 74)
4.5 воспроизведены результаты наблюдений Перрена Рис 45 за распределением частиц, имевших диаметр 0,6 мкм и эффективную массу 2,17 10 г" кг. Микроскоп при фотографировании располагался пад сосудом, и в каждом случае видны частицы в слое, по толщине равном глубине резкости микроскопа. При переходе от снимка к снимку микроскоп перемещался на 10 мкм, что как раз соответствует для таких частиц уменьшению концентрации вдвос. Барометприческая формула как стпатпистпическое распределение. Вьипе мы говорили о распределении давления, когщентрации. Это макроскопические характеристики, и возможно, последовательнее было бы говорить о поле давлений, о поле концентраций.
Только теперь, когда мы говорим о вероятностях состояний, слово распределение употребляется в том смысле, который в этот термин вкладывает статистическая физика. Мы говорим теперь о етатисти"геском раетгределении. С этой точки зрения формула (4.15) представляет собой распределение молекул по состояниям, отличающимся значением потенциальной энергии, т. е.
распределение Больт4мана. ГЛ. 4. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 276 Чтобы точнее уяснить смысл распределения Больцмана, нам необходимо подробнее разобраться с понятием состояние. 4.3. Микро- и макросостояния. Фазовое пространство Термин «состояние» используется как применительно к термодинамической системе в целом, так и по отношению к отдельной подсистеме. В этих двух случаях в пего вкладывается существенно различный смысл. Разберем это обстоятельство на примере.
Ограничимся простейшим случаем, когда система — . некоторое количество одноатомного идеального газа, а подсистемами являются отдельные молекулы. Состояние системы характеризуется температурой, давлением, плотностью (или концентрацией молекул). Состояние молекулы, которую будем считать материальной точкой, можно считать заданным., если известны ее положение и скорость или импульс. Иначе говоря, состояние молекулы определяется положением изображающей точки в фазовом пространстве. Для материальной точки фазовое пространство пространство шести измерений.
Это могут быть три координаты в обычном, конфигурационном пространстве х, у, г и три координаты в проетранетое импульсов р,„ р, р, или х, у, г и три координаты в пространстве скоростей: — и,, и,, и,. В фазовом пространстве, по аналогии с обычным, трехмерным, естественным образом вводится элемент объема с111 как произведение дифференциалов всех координат с1П = с1хс1усЬ с1р с1рг с1р,. Эта величина может быть представлена в виде произведения элемента объема в конфигурационном пространстве с1Ъ' = с1хс1ус1г и элемента обьема в пространствс. импульсов с1ш = с1р, с1рр с1р,. В качестве еопряосеенньсх координат можно выбратс составляющие скорости.
Тосда мы получим элементы обьема в пространстве скоростей с167к = = с1охс1огс1и, и в фазовом пространстве с1ПТ = с1Гс1ы, От величин с1ш и соответственно с1П они отличаются только масштабом, если, конечно, все частицы имеют одинаковую массу (например, система состоит из одинаковых молекул, молекул одного газа).
Итак, задание состояния молекулы сводится к указании> положения ее изображающей точки в шестимерном фазовом пространстве. Коне шо, и положение частицы, и ее импульс мы можем определить только с какой-то погрешностью. Более того, квантовая механика утверждает, что частица не может одновременно обладать точными значениями некоторой координаты и сопряженной составляющей импульса, должно быть выполнено соотношение неопределенностей: Ь(Ьр» > 6 16 --.
постоянная Планка). Если принятые нами за наиболее достоверные для данных двух частиц значения хм р с и хю ряз отличаются друг от друга слишком мало, а именно, если ~хс — хзЙр»с — р»г~ ( 6, невозможно утверждать, что состояния частиц 1 и 2 различны. Можно сказвсгсь что в случае одномерного движения одно состояние занимает в фазовом пространстве (двумерном) объем ЬхЬр = 6. Когда число степеней свободы равно с".
одному состоянию соответствует фазовый объем 67. Если мы рассматриваем поступательное движение в трехмерном конфигурационном пространстве х, у, г, соответствующее фазовое пространство шестимерно, и тогда объем одной квантовой ячейки равен 66. 4.3. МИКРО- И МАКРОСОСТОЯНИЯ. ЧгАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВ(> 277 ооо Малость величины й = 6,6 10 з4 Дж с 1((з — 3 10 ~во Джз с ) приводит к тому, что в очень малых фазовых обьемах содержится громадное количество ячеек, громадное количество различных состояний подсистем. Поэтому неудивительно, что в подавляющем большинстве случаен классические представления, согласно которым в любом, сколь угодно малом фазовом объеме имеется бесконечное число состояний, приводят к правильным выводам.
Не менее важно другое следствие того, что состоянию (элементарной ячейке) соответствует определенный фиксированный объем. В равных фазовых объемах содержип>ся одинаковое число состояний. Это обстоятельство позволяет нам по желанию, из соображений удобства рассматривать в одних случаях рэсцределение подсистем по состояниям, по ячейкам, в других по некоторым, достаточно произвольно выбранным, но равным между собой фазовым объемам. Если о каждой молекуле известно, в какой квантовой ячейке она находится, мы знаем микросоетояние системы. С достаточной полнотой это состояние можно считать известным, если известно, в каком малом фазовом об> еме, включа(ощем достаточно близкие состояния, находится молекула.
Однако, с макроскопической точки зрения безразлично, какие именно молекулы находятся в той или иной ячейке. Макросостояние системы может зависеть только от того, сколько молекул находится в каждой ячейке. Более того, если подсистемы являются одинаковыми микрочастицами (как в рассматриваемом случае — — молекулы одного газа), они вообще неразличимы. То есть максимум информации, который может быть известен о совокупности таких подсистем -. их распределение: сколько подсистем находится в каждом из состояний. Перечислим еще раз те основные понятия статистической физики, с которыми мы познакомились. Состояние подсистемы. В частности, для молекулы должны быть известны с определенной точностью ее положение и скорость, т.
е. известно, в какой молекула находится ячейке. Микросостояние системы. Известны состояния всех подсистем, например, молекул (см. рис. 4.6); молекула А в ячейке 1, В тоже в ячейке 1, молекула С --- в ячейке 2, молекулы П, Е и Е --- в ячейке 4 (допустим, в ячейке 3 молекул нет) и т. д. Распределение (рис. 4.7). В ячейке 1 --- две мо- АВ ~ С 0ВГ лекулы, в ячейке 2 одна молекула, в ячейке 3 молекул нет, в ячейке 4 " три молекулы и т. д.
Макросостояние. В простейшем случае (равновесие) — известны температура, давление, занимае- 1 мый системой объем. Если равновесия нет, возможно, в разных частях системы значения Р и Т не одинаковы. В таком случае макросостояние можно описать, задав поля температуры и давления: значения параметров как функции координат и, возможно, времени. Термодинамика утверждает, что попавшая в равновесное состояние система при неизменных внешних условиях будет ве пю находиться в одном и том же, именно в этом равновесном состоянии. В термодинамике нет флуктуаций. Что же говорит о состояниях системы статистическая физика, статистика? ГЛ. 4.
ЭЛЕХ1ЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 278 4.4. Распределение Гиббса Статистическая физика может делать только вероятностные предсказания. На основе сведений о свойствах микросистем, на основе моделей, описывающих эти свойства, статистика предсказывает вероятности распределений микросистем 1ю состояниям. А эти распределения, в свою очередь, определяют состояние системы, и таким образом, выводы статистики сводятся к предсказанию вероятностей того или иного состояния системы. Система постулатов статистики.
Исходные положения статистики можно свести к трем постулатам, которые являются результатом обобщения громадного массива опытных данных. Начнем прямо с формулировки постулатов. 1. Все досп1упные микросостояния системы равновероя7пны. 2. Равновесию соо1пвеп1ствуетп наиболее вероятное распределение (подсистем по состояниям). 3. Вероятность пребь1вонил подсисгаемьн в некотором состоянии определяется только энергией состояния.
(«Энергия состояния» ..- энергия, которой обладает подсистема, находящаяся в данном состоянии., в данной ячейке.) Эта система постулатов требует определенных комментариев. Может показаться, что первые два постулата прямо противоречат друг другу. Чтобы выяснить, что противоречия тут нет, разберем предельно упрощенный пример.
Пусть система состоит из А7 частиц. Каждая частица может находиться в одном из трех состояний: состояние 1 с энергией е ~ = е, состояние 2 с энергией ег = 2е, состояние 3 с энергией ез = Зе. Полная энергия системы Е = 2Же. Сравним два распределе- Ю::Ю ооо о оо о ния (рис. 4.8): а --- все частицы находятся в ооо оо состоянии 2; б — — одна частица в состоянии 1, а б одна в состоянии 3, остальные частицы в состоянии 2.
Варианту а отвечает единственное микросостояпие системы. Что касается варианта б, то тут в состояние 1 можно поместить любую из Х частиц, и при этом в состоянии 3 может оказаться любая из остальных А7 — 1 частиц. Всего, таким образом, распределению б отвечает А7(Х вЂ” 1) микросостояний системы, и оно, согласно второму постулату, именно в А7(А7 — 1) раз вероятнее распределения а. Понятно, что во столько же раз вероятнее макросостояние, соответствующее второму варианту.
Третий постулат — естественное обобщение результата, к которому мы пришли, анализируя барометрическую формулу: распределение молекул по сосуду зависит от энергии., которой обладает молекула в той или иной части сосуда. Наиболее вероятное распределение. Рассмотрим замкнутую систему из А7 подсистем (частиц), каждая из которых может находиться в любом из ЛХ возможных состояний. Если в состоянии с номером 4' находится А7, подсистем, каждая из которых имеет энергию е;, то, во-первых, 2 А71 = А7 и во-вторых, 2; е,А71 = Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
