belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна МвТ)2 (см. гл 2.1). В силу равноправности различных направлений па одну степень свободы, например, на движение по оси ац приходится энергия йвТ/2. Это частный случай закона, справедливого для всех классических (т. е. не квантовых) обьектов, так называемого .закона равнораспределенил: на любую степень свободы движения приходится кинетическая энергия, равная ЙвТ/2. Несколько подробнее этим вопросом мы займемся в следующем параграфе, а сейчас для нас важно следующее.
Изменения параметра, флуктуации которого нас интересуют, во многих случаях можно рассматривать как некоторую дополнительную степень свободы в системе, и приходящаяся на нее кинетическая энергия также должна составлять И Т(2. Рассмотрим пример. Газ, находящийся в малом сосуде об"ьема )лв, отделен от термостата поршнем (рис. 4.12). С точки зрения термодинамики поршень должен быть неподвижным и находиться в некотором положении равновесия. Однако в действительности он будет непрерывно чуть-чуть смещаться от положения равновесия.
Рис 4 12 РассмотРим взаимодействие молекУл газа с поРшнем. ОгРаничимся одной координатой, и под скоростью молекулы и поршня будем подразумевать соответствующую составляющую. При упругом соударении молекулы массы тп с поршнем массы М выполняются законы сохранения импульса и энергии: т(и1 — и) = М(и — и1); т(из — и ) = М(и — из). г г г Здесь и и и скорости соответственно молекулы и поршня до соударения, а ил и ил после соударения.
Во многих случаях, однако, более интересна другая характеристика распределения, а именно, какова вероятность того, что отклонение от среднего превышает некоторую величину ~„: 4лз з-~я ьбм 'Р(1н) = (Ф >1м) = Ф4) К+ ФО К=1 — 1(1)й~. — ж ~блз ллл Интеграл от распределения Гаусса в конечных пределах не берется, но он широко представлен в справочных таблицах. Для трех характерных значений ~м данные представлены в таблице 4.2. 4.6. РАВНОВЕСИЕ И Ф.ЛУКТУАЦИИ Решая систему относительно ои получаем 2Млл — (М вЂ” т)и М+т В равнолзесии средние величины не должны меняться, т. е. 4ЛХ2(ил) — 4ЛХ(М вЂ” т)(лло) + (М вЂ” т)2(и2) Так как о и и статистически независимы, а (и) = О, по правилу умножения вероятностей (ои) = (о)(и) = О.
Тогда из предыдущего соотношения получаем М(и2)Лл2 = тп(и2)(2, т. е. действительно, средняя кинетическая энергия поршня также равна й Т,Л2. При малом смещении поршня давление в большом сосуде практически не изменится, а изменение давления в малом сосуде составит величину бР = = (дР/дЪ')Я'о. В результате поршнем будет запасена потенциальная энергия ХХ = — (дР(дЪ')(Я<о) (2.
Как известно, для гармонического лхплиллятора средняя потенциальная энергия равна средней кинетической, значит, она тоже будет составлять Л Т(2. Таким образом, мы получаем ((Д- )2) 14 Т Какая именно производная должна стоять в этой формуле, определяется условиями, при которых происходят флуктуации. Если температуру газа в малом объеме Ъо можно считать постоянной, .т. е. происходят изотермические флуктуации, то (4.46) ((оЪо) )т = — ЛъТ '( — ) т Если же, к примеру, теплообмен отсутствует, т. е. происходят так называемые адиабатические флуктуации, в формуле должна стоять производная (ОЦдР~„Р В частности, для идеального газа получаем, что ((Яла)~) „= = — ИвТЯч) (дЪу' дР), Масштабы флуктуаций. Обратимся к таблице 4.2.
Экспоненциальное распределение флуктуаций приводит к тому, что с ростом ( вероятность соответствующего отклонения от равновесия падает очень быстро. Таким образом величина а определяет масштаб происходящих и системе флуктуаций. Рассмотрим для примера газ при нормальных условиях. Выделим кубик с ребром в треть микрона (микрометра). Примерно этой величине равна длина свободного пробега молекулы. А значит, это минимальный объем (о = 3,7. 10 24 мз), рассматривая который, мы можем считать газ сплошной средой, то есть в некотором смысле макроскопическим объектом. В таком объеме в среднем содержится около миллиона (и = 10г) молекул, и среднеквадратичные отклонения равны соответственно а„= 10', е„= 10 з — з Отклонения, равпьи. и, встречаются нередко.
Если бы удавалось время от времени точно пересчитывать молекулы в нашем объеме, только в 68 % случаев их число оказывалось бы в пределах п ~ а. То есть в 32 % «измерений» отклонения превысили бы а, мы насчитали бы меньше 999 000 или болыпе 1 001 000 молекул. Число случаев, когда отклонение достигает За и более, 292 ГЛ. 4. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ составляет всего около четверти процента — такие отклонения встречаются, но нечасто.
А вот уже отклонения, превышающие 10о, практически невероятны. Надо провести около 1022 измерений, чтобы можно было ожидать, что в одном из них число молекул в объеме о будет отличаться от миллиона на десять тысяч, т. е. на 1 % В секунду границы выделенного нами объема п пересекае с около 1О молекул, миллиард раз в секунду меняется число молекул в этом 9 объеме. Значит, случаи, когда число молекул отличается от среднего более, чем на 0,1 % встречаются в среднем один раз в 3 миллиона лет(!).
Подчеркнем, что мы выбрали объект с очень малым для «макротела» числом молекул, в таком случае относительные флуктуации еще сравнительно велики. Если же количество вещества превьппает моль, т. е. и ) 10, а е ( 1О', то даже изредка отклонения от средних не превышают милли- — 12 ардных долей процента. Таким образом, можно сказать., что знание среднеквадратичных флуктуаций дает достаточно полное представление о возможных отклонениях в поведении системы от однозначных динамических законов термодинамики. Отклонения порядка и встречаются достаточно часто, втрое бблыпие встречаются только изредка: отклонения же, превышающие и хотя бы на порядок, практически невероятны. Именно поэтому для макроскопических тел вероятностные закономерности статистической физики фактически становятся однозначными динамическими законами термодинамики.
Тем не менее, в некоторых случаях флуктуации могут существенно влиять и на характер поведения макроскопических систем. Обратимся к формуле (4.46). Флуктуации обьема и, а значит, и флуктуации плотности р пропорциональны (дЪг~дР)г. В однофазных системах эта производная обычно не имеет особенностей, и флуктуации в макроскопических масштабах пренебрежимо малы.
Однако, например, при фазовом переходе (см. гл 3.2) производная (дР(ВЪ')г = О, и обратная величина (дЪ'(дР)т, а также (др(дР)т устремляются к бесконечности. Флуктуации объема, плотности становятся аномально большими (конечно, формула (4.46) при этом неприменима). Это обстоятельство объясняет, в частности, сравцительну4о легкость образования зародышей новой фазы. Особенно велики флуктуации плотности в критическом состоянии вещества, что можно наблюдать в простом опыте. В пробирку заливают жидкость, обычно эфир, в таком количестве, чтобы для него объем про.г бирки был как раз равен критическому. 11робирку запаивают и начинают нагревать.
Как эфир, так и его пары прозрачны для видимого света. Вначале, пока температура ниже критической, отче- тливо виден мениск (рис. 4.13 а), разделяющий жид« б и кость и газ. При достижении критического состояния возникает явлет4е криши веской, опалесцеийпи. Так называется помутнение вещества, прозрачного и в жидкой, и, конечно, в газовой фазе (рис. 4.13 б).
Большие флуктуации плотности приводят к соответственным флуктуациям показателя преломления, и среда начинает сильно рассеивать 4.К РАННОНЕСИЕ И ФЛУКТУАЦИИ свет. Уже при небольшом превышении температурой критического значения пробирка вновь «просветляется» (рис. 4.13 в) интенсивность флуктуаций уменьшается, среда становится прозрачной. Все же случаи, когда наличие флуктуаций существенно меняет макроскопические свойства вещества скорее исключение. Однако, в определенных ситуациях играют важную роль и вполне умеренные, далеко не аномальные флуктуации. Ф4туктпуации в измеритпельтзых приборах.
В принципе именно флуктуации накладывают предельные ограничения на чувствительность измерительных приборов. В механических измерительных системах чувствительность практически не достигает уровня, когда надо учитывать флуктуации. Формально можно рассчитать предел, который накладывают флуктуации па точность взвешивания. Однако создатть например, рычажные или пружинные весы традиционной конструкции столь миниатюрные., чтобы флуктуации оказались ощутимыми, нереально. То жс можно сказать и о других приборах, имеющих на выходе механическое устройство, будь это манометр, термометр или стрелочный гальванометр. Ооытпьс Капплера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
