belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Движение броуновских частиц определяется флуктуациями давления, которые при столь малых размерах становятся вполне ощутимыми. Можно сказать иначе: движение этих частиц подчиняется закону равнораспределения; это хаотическое, тепловое движение с энергией порядка й.Т.
Теорию движения броуновских частиц разработали независимо А. Эйнштейн и М. Смолуховский (1905 1906). Прежде чем количественно анализировать броуновское движение, рассмотрим простую модель. Блузкдинил «абсолютно пьяного человска». Предположим, потерявпгий ориентировку человек может двигаться только по прямой. Время от времени он делает шаг, но направление очередного шага абсолютно непредсказуемо. Как далеко он уйдет от начального положения за некоторое число шагов? После первого шага 1длину шага примем за единицу) он может с равной вероятностью оказаться в точках с координатами +1 и — 1.
После двух шагов он в одном случае попадет в точку +2, в одном — в точку — 2, и в двух вариантах вернется в исходное положение. После трех шагов возможны 8 вариантов «траектории»: набор конечных пунктов таков: — 3, три раза по — 1, три раза по +1 и один +3. Как и следовало ожидать, среднее смещение после любого числа шагов равно нулю. Но средний квадрат смещения, как нетрудно подсчитать, пропорционален числу шагов.
Если длина шага равна 1, то после Х-го шага средний квадрат смещения равен А71г. Если шаги делаются через равные промежутки времени, квадрат смещения пропорционален времени. Естественно ожидать, что средний квадрат смещения броуновской частицы также линейно растет со временем, ведь ее перемещения вполне аналогичны блужданиям не выбирающего дороги 7еловека. 300 ГЛ. 4. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Смещенне броуновскои' частицы. Воздействие среды (газа, жидкости) на движущееся в ней тело состоит из ударов молекул.
Однако, если, например, тело движется под действием некоторой силы Р0, можно выделить регулярную составляюшую воздействия среды силу сопротивления, обычно пропорциональную скорости тела. Тогда регулярное движение тела (на которое могут накладываться хаотические блуждания) определяется уравнением с12я (с1т/с11) (4. 50) с1с2 0 В Если достаточно долго действует постоянная сила, движение становится равномерным с установившейся скоростью с1я,сс1с = ВР0. Коэффициент В называется подвижностью частицы.
Например, для сферических частиц радиуса гв, движущихся в жидкости, вязкость которой равна 0, подвижность определяется формулой Стокса В = (1 с6) чсгвц. Теперь рассмотрим движение такой частицы под воздействием хаотически меняющейся силы Р, как это бывает при броуновском движении. Умножив уравнение движения (4.50) ~а х,, заменив в нем постоянную силу Р0 хаотической силой 2", и использовав соотношения с1(т2)/Ж = 2т(с1тссЖ) и с12( .2у412 2 (62„,с612) + 2(б„,.,с,11)2 „„ 2 с112 1, с11,/ 2В Усредним полученное выражение по времени.
Второй члон по закону равнораспределения равен й.Т. Третий член обращается в нуль, т. к. (св) = О, (Д = О, и они статистически независимы. В силу линейности операций дифференцирования и усреднения их в первом и сетвертом членах можно переставить. Тогда получаем 1 (свз) с1(я2) 1с1г Если (я2) пропорционален времени., первый член (4.51) исчезает., и мы получаем формулу Эйнштейна (~ ) 2~0~ Вй (4.52) При измерениях движения броуновских частиц обычно фиксируется пройденное за некоторое время 1 расстояние в плоскости наблюдения. Тогда, конечно, (г') = (0 2) + (й2) = 4~в ТВ1. (4.53) Подставляя сюда значения гв 0,5.
10 0 м, ц 10 з Па с., 1 600 с, получаем (ш2) е~в — 10 ~ м, что прекрасно согласуется с результатами изморений Перрена. Заметим, что в трехмерном случае, очевидно (Л2) = 6ИУТВ1 (4.54) Броуновское двизссенае как дцффусзил. Рассмотрим поведение броуновских частиц в однородном силовом поле, например., в поле сил тяжести. В стационарном состоянии, когда установится больцмаповское распределение концентрации частиц и = пв ехр( — ) т(и т), поток частиц, движущихся по 4.7.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОЕМКОСТИ 301 направлению силы со скоростью В7, должен компенсироваться диффузионным потоком в направлении уменыпения концентрации, т. е. 11В7 = — Р . х711 ~Ах, где Рв коэффициент диффузии броуновских частиц. Подставляя сюда выражения для и и 1111/11я, получаем соотношение Эйнштейна Рв = йвТВ. (4. 55) Формула (4.54) теперь принимает вид Бр (4.56) Ратространение возму щен11й. Рассмотрим некоторое видоизменение опыта Перрена. Не будем следить за одной частицей. Выпустим в некоторой небольшой области одновременно много частиц. Выждем время, достаточно большое, чтобы величина РТ стала заметно больп1е размеров области первоначального расположения частиц -- тогда эту область можно считать точкой.
Средний квадрат удаления для ансамбля частиц должен также определяться формулой (4.54). Мы не случайно опустили индекс у коэффициента Р. Ведь тс же самые рассуждения можно провести и в случас обычной диффузии. Используя формулу (1.12), подсчитаем средний квадрат удаления диффундирующей частицы от первона.1ального положения за время свободного пробега т.
Перепишем ее в виде Ж/Хв = ехр( — ж/Л), и тогда она представляет долю частиц, дошедших до расстояния х, или, иначе говоря, вероятность того., что частица пройдет это расстояние. В соответстгвии с формулой (4.5) вычислим средний квадрат удаления частицы от первоначального положения за один «шаг», т. е. за время свободного пробега: (12) т2е — х/л 41т 2Л2 О За Х шагов, в соответствии с моделью «абсолютно пьяного человека», наберется расстояние (12 ) = 2ХЛ2.
При этом пройдет время, равное Т = = 11т = ХЛ/(и). Отсюда получаем вь1ражение для (12) (1~) = ((12)) = (1~«) = 2Л(и)Т = 6РТ, (4.57) которое, конечно, полностью аналогично формуле (4.56). Обратим внимание, что это соотношение не означает, что большинство частиц окажется к моменту времени Т на расстоянии (6РТ)'1', или что в этой области будет наибольшая концентрация частиц. Из формулы (1.12) можно понять, что больше всего частиц останется вблизи исходной точки. Просто до расстояний порядка 1, к моменту времени Т ко1тцептрация частиц уже сравнима с концентрациеи вблизи исходной точки (к тому же моменту времени)., а дальше опа быстро убывает с расстоянием. Проиллюстрируем смысл формул Эйшптейна еще на одном примере. Предположим, мы соединили торцами горячий и холодный стержни (одномерный случай).
Начальное распределение температур изображено на рис. 4.16 сплошной линией. Каким будет профиль температур через некоторое время 1? Точный ответ можно получить только решив уравнение (1.18). Но приближенно картину можно представить па основе соотношения (4.52). 302 ГЛ. 4. ЭЛЕХ1ЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Хотя бы из соображений размерности ясно, что роль «коэффициента диффузии температуры» играет коэффициент темперагуропроводности з.
Заметное «продвижение температуры» в холодный стержень и «продвижение холода» в горячий будут ограничены расстояниями (2,~1) ~1~. Примерный профиль температур через некоторое время после начала процесса изображен на рис. 4.16. В явлениях вязкости подобную роль играет кипематический коэффициент вязкости и. Если, к примеру, привести в движение по поверхности пруда плот, то через время 1 за счет вязкости начнут двигаться слои воды до глубины порядРис. 4.16 ка (2г1)112. Кстати, напомним, что в газах 12 = з = и. В конденсированном состоянии наши оценки остаются справедливыми, но соответствующие коэффициенты могут отличаться на много порядков (см. 2 1.3).
Теория теплоемкости и квантовые эффекты. Очень логичная и глубоко обоснованная классическая теория теплоемкости, базирующаяся на законе равнораснределения, в некоторых случаях не выдерживает эксперимепталыюй проверки. Приведем несколько примеров. Для большинства твердых тел довольно хорошо выполняется закон Дюлонга и Пти, согласно которому молярная теплоемкость равна 314.
Но теплоемкость кристаллического углерода гораздо меньше: у графита она примерно равна 14, у алмаза и вовсе 0,7514. В металлах свободные электроны во многом ведут себя подобно идеальному газу. Однако вклада в теплоемкость они пе дают. В любой молекуле, состоя1цей из нескольких (хотя бы двух) атомов, в принципе существуют колебательные степени свободы; агомы могут колебаться относительно друг друга. Но в прямом противоречии с законом равнораспределения вклада в теплоемкость эти степени свободы не вносят.
Теплоемкость всех веществ, особенно это заметно для твердых тел, зависит от температуры, что также явно противоречит закону равнораспроделения. Можно привести и другие примеры. Все эти противоречия классической теории теплоемкости разрешаются в рамках квантовой теории. Основная особенность квантовых представлений с интересующей нас точки зрения — дискретность энергетического спектра микросистем. Энергия частицы не может принимать произвольное значение, возможны только некоторые избранные, разрешенные ее значения.
Квантовая теория теплоемкости будет подробно рассмотрена в гл. 8 и 9. А сейчас мы на некоторых простейших примерах проследим, как дискретность энергетического спектра влияет на теплоемкость. Двухуровневая сисгиез40. Электрон в магнитном поле может находиться только в двух энергетических состояниях: ого спин может иметь проекцию на направление магнитного поля или +6/2, или — й/2. Разность энергий в этих двух состояниях е = р — ( — дВ) = 2ИВ. Заселенности верхнего уровня А12 и нижнего А11 связаны формулой Больцмана %2 = Аде 1~ьл, «7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОЕМКОСТИ 303 Учитывая, что полное число частиц Х = Х1 + Хг, получаем заселенность верхнего уровня 4У3 = Х/ (1 + е-'1ьв ) и полную энергию взаимодействия с магнитным полем Е = ЕХ/ (1+ е'~ьв~) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
