belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 82
Текст из файла (страница 82)
(4.58) При малых температурах 1к Т « г) в знаменателе можно пренебречь единицей, и тогда после дифференцирования по температуре получаем для теплоемкости, приходящейся на рассматриоаея49ю степень свободы, следующее выражение с = квХ(г/йвТ) е '~ьв~. (4.59) Мы видим, что при низких температурах теплоемкость такой двухуровневой системы оказывается экспоненциально малой по сравнению с классическим значением и становится заметной, когда квТ по порядку величины приближается к г. Это общее правило степени свободы как бы постепенно «включаются» по мере приближения тепловой энергии Й.Т к характерному масштабу квантования энергии.
Вращагаельная энергия. Напомним, что порядок величины ступенек энергетического спектра для вращательного движения определяется величиной 53/1, где 6 .—. постоянная Планка, а д .— соответствующий момент инеуции. Обычно величина ступенек для молекулы составляет около 10 3 Дж, что соответствует йвТ при температуре около 1 К. Поэтому при комнатных температурах вращательные степени свободы полностью возбуждены и квантовые эффекты себя не проявляют. С другой стороны, момент инерции линейной молекулы относительно ее оси в несколько тысяч раз меньше, и вращение вокруг такой оси «заморожоно»; вклада в теплоемкость газа эти степени свободы не вносят. Колебания. По болыпей части кванты колебательной энергии молекул составля1от 0,1.
1 эВ. Для болыпинства молекул эти степени свободы можно не учитывать. Но, например, у углекислого газа С03 они частично возбуждены уже при комнатной температуре. Поэтому у него С. = З,ЗЗЛ, хотя даже для нелинейных молекул без учета этих степеней свободы она должна быть равна ЗЛ, а молекула СО3 .
— линейная, и у нее Се должна составлять всего 2.5К. Подобная ситуация складывается и с теплоемкостью твердых тел. Тут, правда, у большинства веществ все колебания при комнатных температурах возбуждены, и тогда выполняется закон Дюлонга и Пти. А у графита, алмаза степень возбуждения невелика, и отсюда — - аномалии в теплоемкости. 11о при более или менее значительном понижении температуры теплоемкость всех твердых тел начинает падать. Достаточно подробно вопрос о теплоемкости твердых тел, в том числе и при низких температурах, разобран в главах 8 и 9. Теорема Нернстпа. В 1906 г.
было сформулировано положение, получившее по имени автора название «тепловая теорема Нернста». По существу в этой теореме утверждается, что энтропия вещества при стремлении температуры к абсолютному нулю стремится к определенному пределу. Ксли это так, мы без нарушения общности можем приписать этому пределу нулевое 304 ГЛ. 4. ЭЛЕХ1ЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ значение, и тогда теорема Нернста может быть сформулирована следующим образом. При сп1ремлении температуры к нулю энтропия любого тела стремьгтся к нулю. Хотя это утверждение называется теоремой, оно пе может быть доказано на основе других положений термодинамики., фактически это аксиома, некий дополнительный постулат, и поэтому оно носит еще название треп1ьего начали п1ермодинамики. Аргументация в пользу этого положения сводится примерно к следующему рассуждению.
Попробуем вычислить изменение энтропии при переходе от абсолютного нуля к какой-то конечной температуре. Пусть для определенности процесс происходит при постоянном объеме (с тем же успехом можно взять и изобару, и любой другой достаточно определенный процесс). Тогда нам надо вычислить интеграл Т Я(Т) — Я(0) = / с,. —. е)Т 0 Этот интеграл должон сходиться в этом состоит первая 1асть утверждения Нернста.
Для этого, в частности, необходимо, чтобы теплоемкость при стремлении температуры к нулю убывала (по крайней мере, не медленнее, чем Т), стремясь в пределе к нулю. Кроме того, надо постулировать, что любые переходы из одного состояния в другое при абсолютном нуле происходят без изменения энтропии. Иначе неясно, к одному и тому же пределу стремится энтропия при различных способах перехода к нулю температуры или к различным пределам. Теорема Нернста получает естественное объяснение в квантовой теории.
Во-первых, снимается противоречие с законом равпораспределения, который требовал постоянства теплоемкости, по крайней мере, теплоемкости при постоянном обьеме. Во-вторых, при абсолютном нуле температуры система должна находиться в состоянии с минимально возможной энергией. Если учесть квантовомеханический принцип тождественности микрочастиц, то мы получаем, что при абсолютном пуле температуры равновесному макросостоянию системы соответствует одно единственное микросостояние.
Статистический вес этого состояния равен единице, а следоватсльпо, .энтропия раааа пулю. В основаниях статистической физики лежат представления о вероятностном характере поведения макросистем, состоящих из большого числа частиц. Это с неизбежностью приводит к вероятностной трактовке законов термодинамики. Меняется формулировка второго начала: система не обязательно пойдет к равновесию такое развитие событий только наиболее вероятно. Точно так же система, пришедшая к равновесию, не находится всегда в этом, наиболсс вероятном состоянии ее макроскопические параметры флуктуируют около наиболее вероятных значений. Однако вероятность того, что система будет эволюционировать не к равновесию, а от него, как и вероятность ощутимых флуктуаций очень быстро убывают с ростом числа частиц (подсистем), составляющих систему.
Для системы, сколько-нибудь реально претендующей на роль макроскопической., эти вероятности становятся столь ничтожными, что законы термо- ЗАДАЧИ 305 динамики вполне можно считать динамическими и поведение системы строго детерминированым. Статистические закономерности приводят к закону равнораспределения кинетической энергии по степеням свободы, что открывает, в частности, возможность расчета теплоемкостей газов и твердых тел. Отступления от закона равнораспределения, безусловно справедливого в рамках классической физики, об"ьясняются проявлением квантовомеханических закономерностей. Задачи 1.
Оцопите, на какой вьшотв 5 в горах можно сварить яйцо, сачи белок свертывается при температуре Т, = 353 К (80'С). Атмосферу считать изотермической со средней температурой (Т) = 280 К (7'С): теплота испарения воды при этой температуре равна Л = 4,45 10 Дж/моль. Указание. На уровне моря, при давлении Рп, температура кипения воды То = 373 К. Подставляя вмсстп Т н формулу (3.15) Т„а н формулу (4.13) (Т), и приравнивая получившиеся выражения, находим высоту, на которой температура кипения воды равна 80 'С. Отвот: 5 = (҄— То) (Т)Л -6 км.
Т„тодд 2. Конический сосуд высоты Н, заполненный идеальным газом с молярцой массой и, подвешен вершиной вниз, как показано на рис. 4.17. Прп какой температуре наиболее вероятпов значение координаты х молекулы равно Н,?2'? Указание. Число молекул в слое толщины йк равно произведению концентрации п(х) = п(0) вхр? — рдх)ИТ) на объем слоя, который пропорционален з . тдН Ответ: Т = 3. Из резульцаго» ллногочисленных измерений известно, что в диапазоне высот от Нл = 120 км до Нт = 160 км температура в атмосфере Рис.
4. меняется по линейному закону от Т1 — — 332 К до Тл = 1155 К. Опродолить давление Рз па высоте Нш если на высоте Нл оно равно Рл — — 2,5 10 з Па. Молярная масса воздуха на таких высотах равна и = 27,5 г?моль. Реилсиис. Линейность означает., что на высоте Нл -Ь х температура равна Т, -г т х х(Тл — Т1))?Н вЂ” Н~). Плотность газа р = рР)НТ. Тогда для скорости изменения давлония имеем г1Р)Ьх = — рд = — ?рРд?КТ).
Окончательно г)Р рд г)х Р Е[Т~ + х?Тл — Т~)ДНт — Нл)) После интегрирования от х = 0 до х = Пл — Н1 получаем , Р, рд1Н,— и ), Гт,д Рл и? Тл — Т1 ) Тл Отсюда Рз = Р|е 'Яз" = 0,14Р1 = 3,5 10 ~ Па. 4. Относительная кояцвнтрация аргона ~~Ах в атмосфврв вблизи поверхности Звмлп составляет 0,9 Уа. Считая атмосферу изотсрмической?Т = 280 К), оцените относительную концентрацию аргона на высоте, гдв давление надает в 10 раз. Решение. При решении этой задачи учтем, что, во-первых, давление Р н концентрация и для идеального газа пропорциональны друг яру~у и, во-вторых, один идеальный газ ГУЕ 4.
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 306 не влияет на поведение другого. Концентрации газов с разными молярными массами поразному убывают с высотой. Концентрация аргона весьма мала, поэтому можно считать, что до высоты, на которой давление падает в 10 раз, молярная масса воздуха не меняется (измерения подтверждают зто). Поэтому мы можем записать изменение концентрации для воздуха в целом (и« = 29 г««моль) и отдельно для аргона (рз = 40 г««ь«ель): п«(6) = п«(0)е пз(6) = из(0)е (4.60) (4.6Ц Поделив (4.61) на (4.60) и учитывая, что отношенне концентраций аргона и воздуха есть относительная концентрация с, получим: с(6): с(0)е«Р«РЫЫ(пг (4.62) Прологарифмируем (4.61) и (4.62) и поделим одно на другое: !п[и(!«)/п(0)[ р« !««[с(!«) ««с(0)[ р« — рз Учитывая, что по условию задачи п(6) ««««(О) — 0,1, а с(0) — 0,009, окончательно полу«аеь«« с(6) = с(0) 10«Р«Р"1«п 0,0038 (0,38 3«б).
5. Скорости молекул е«и пз равновероятны. Во сколько раз они отличаются от е,р, осли ««з,«с« = п = 57 Указание. Удобно, полагая с«/«« „р — — 5 и рз««««бр —— пб, воспользоваться выражением (4.36). б«[«2!и ««« , «74 гз Ответ: — = 4 ) = 0,366, 4 — = 1,83. б„,р «и — 1 2 г„,р 7. В микроскоп рассматривают тонкий слой крови.
Оценить, какое время потребуется, чтобы заметить броуновское смещение эритроцитов, плавающих в плазме крови, если минимальноо расстояние, которое можно зафиксировать, составляет ! = 10 м. — б Вязкость крови 0 = 4,5 10 з Па с, эритроцит считать шариком радиуса г = 3 10 б м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
