1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы, шириной l и высотой U0 (РИС. 39.1).UUU0U0IUI = 0IIUII = U0IIIUIII = 00lIUI = 0xIIUII = U00Рис. 39.1xРис. 39.2Рассмотрим сначала бесконечный барьер (l → ∞), см. РИС. 39.2:UI  0,UII  U0 .Пусть на него налетает (из области I) частица массы m с энергией W < U0. Запишемстационарное уравнение Шрёдингера в виде (38.7). (Задача одномерная, поэтомуd2Δ  2 .)dxОбласть IОбласть IId 2ψI 2m 2 WψI  0 .dx 2Обозначимk2 2m2W.d 2ψII 2m 2 W  U0  ψII  0 .dx 2Обозначим2mα 2  2 U 0  W  .Получим систему дифференциальных уравненийψI  k 2ψI  0,2ψII  α ψII  0.Ищем решение каждого из этих уравнений в общем виде ψ = eλx. Тогда ψˊ = λeλx,ψˊˊ = λ2eλx;2 λx2 λx λI e I  k e I  0, 2 λII x2 λII x λIIe  α e  0; λ2I  k 2  0, λI  ik ,⇒ 22 λII  α  0; λII  α ;ψI  A1e ikx  B1e  ikx ,αx αxψII  A2e  B2e .(39.1)309Здесь i – мнимая единица, A1, B1, A2, B2 – постоянные.Коэффициент A1 характеризует набегающую волну (налетающую частицу), B1 – отражённую волну (отлетающую от барьера частицу), A2 и B2 характеризуют вероятность нахождения частицы внутри барьера.

Так как эта вероятность не можетрасти при погружении вглубь барьера, A2 = 0.Найдём коэффициенты A2 и B1. Условие непрерывности волновой функции на границе барьера:(39.2)ψI 0  ψII 0 ⇒ A1  B1  B2 .Условие непрерывности производных волновой функции:ψI 0  ψII 0 ⇒ ikA1  ikB1  αB2 .(39.3)Из (39.2) и (39.3) получим2ikA1 .(39.4)ik  αВероятность нахождения частицы в точке с координатой x = 0 определяется выраB2 жением ψI  0 ~ A12 .Вероятность (плотность вероятности) нахождения частицы2внутри барьера на расстоянии x от его границыψII  x   B2 e  αx22~ e 2αx .Теперь «обрежем» барьер на ширине x = l.

Прозрачность (коэффициент прозрачности) барьера – вероятность прохождения барьера частицей:DψII  l 2ψI  0 2.Подставим сюда функции (39.1). С учётом (39.4) получим2DB2 e 2αlA1222ik4k 2 2αl 4W 2αl2αle  2e e .ik  αk  α2U0В большинстве реальных задач4W 1 . Тогда D ≈ e–2αl,U0De22mU0 W l.Мы доказали, что даже имея энергию, меньшую, чем высота потенциального барьера, частица может преодолеть этот барьер.

В этот состоит туннельный эффект.Численная оценкаЕсли U0 – W = 5 эВ, то при l = 1 Å D = 1∙10–1;l = 2 Å D = 8∙10–5;l = 5 Å D = 5∙10–7.Туннельный эффект широко применяется в технике. Большой ток при холоднойэмиссии электронов объясняется в т.

ч. туннельным эффектом.3105.5.4. Гармонический осцилляторГармонический осциллятор – частица, совершающая одномерное движение поддействием квазиупругой силы Fx = –kx. При этом потенциальная энергия силовогополяUkx 2.2График U(x) представлен на РИС. 39.3. Собственная частота осциллятора ω Uk;mmω2 x 2.2Стационарное уравнение Шрёдингера:d 2ψ 2m mω2 x 2 Wψ  0 ,2 dx 22здесь W – полная энергия осциллятора. Это уравнение имеет точное аналитическоерешение.

Собственные функции слишком сложны, чтобы их здесь приводить.Собственные значения энергии гармонического осUциллятораW21Wn   n   ω , n  0,1,2,2Энергия гармонического осциллятора квантуется,Уровни энергии эквидистантны, т. е. отстоят друг отдруга на одинаковую величинуΔW  ω  hν .Минимально возможная энергия гармонического осциллятора – нулевая энергияW0 ω.2W1W00xРис. 39.3Таким образом, доказана гипотеза Планка о том, чтоосциллятор излучает порциями – квантами.5.6.

Атом водорода5.6.1. Модель атома Резерфорда-БораАтом состоит из положительно заряженного ядра, окружённого облаком электронов76. (С классической точки зрения это невозможно – электрон упал бы на ядро!)Для атома водорода (РИС. 39.4) масса протона mp намного больше массы электронаme :mp  1836me ,поэтому ядро можно считать неподвижным.По полуклассической теории Бора электроны вращаются вокруг ядра по орбитам. По квантовомеханическим представлениям же об орбитах говорить бессмысленно.76311U0mp⊕0Wprr⊝meРис.

39.4Рис. 39.5Потенциал электростатического поля ядраZe,φ4πε0rгде Z – заряд ядра (число протонов в ядре), r – расстояние от ядра до электрона.Потенциальная энергия электрона в этом полеU Ze2.4πε0rГрафик зависимости U (r) представлен на РИС. 39.5.Для атома водорода Z = 1. При Z ≠ 1 система, состоящая из ядра и одного электрона,– водородоподобный ион.5.6.2. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний и его решениеСтационарное уравнение Шрёдингера2m Ze2 Wψ  0 ,2 4πεr0 где m – масса электрона (данное обозначение используется в этом и следующемразделах).Так как поле – центральное, перейдём к сферической системе координат. Стационарное уравнение Шрёдингера запишется в видеΔψ 1   2 ψ 1 ψ 1 2ψ 2m Ze2 rsinθW ψ  0 .

(39.5)2 r 2 r  r  r 2 sin θ θ θ  r 2 sin θ φ24πεr0 Предположим, что существует такое симметричное состояние, в котором ψ = ψ1(r),с энергией W1. Тогдаd 2ψ1 2 dψ1 2m Ze2  2  W1  ψ1  0 .dr 2 r dr4πε0r Будем искать решение этого уравнения в виде ψ1  Ceцииrr0(39.6). Производные этой функ-312rrdψ1ψ d 2ψ1 C  r0 ψ1C   e r0   1 , e  2.drr0r0 dr 2 r02r0Подставим эти выражения в уравнение (39.6):ψ1 2 ψ1 2m Ze2  2  W1  ψ1  0r02 r r04πε0r 2(ψ1 ≠ 0). Домножив это уравнение на2m, получим2 2Ze21 2Ze2 .2mr022mr0r 4πε0r r  mr0 4πε0 Это равенство должно выполняться при любых r, в т. ч. при r → ∞.

В таком случаеправая часть этого равенства стремится к нулю, а, следовательно, и левая частьдолжна быть также равна нулю:2 W1 22mr02 W1  0 ⇒ W1  22mr02.При r ≠ 0 должны выполняться равенства 2 W1  0,2 2mr0 2Ze2 0. mr0 4πε0Из этой системы уравнений получим24πε0 2m  Ze2 r0 W, .1Ze 2m2 2  4πε0 Численное значениеПри Z = 1 W1 = –13,6 эВ; r0 = 0,529 Å – 1-ый боровский радиус.Вероятность обнаружения электрона в тонком сферическом слое радиуса r и толщинойdr2dP  ψ1 4πr dr  C e222rr04πr 2dr ;2rdP C 2 4πr 2e r0 .drГрафик этой функции изображён наРИС. 39.6. Максимум плотности вероятностиобнаружения электрона имеет место приr = r0 (доказать самостоятельно).Общее решение уравнения Шрёдингера(39.5) можно представить в виде0ψ r ,θ , φ  R r Θθ Φφ .r0rРис.

39.6313Подставив эту функцию в уравнение (39.5), получим три уравнения, имеющих аналитические решения, которые достаточно сложны77.Заметим, что в состоянии ψ1 азимутальное квантовое число l = 0 (см. РАЗДЕЛ 5.6.4), т. е. электронне вращается.77314Лекция 405.6.3.

Энергетический спектр атома водородаПри W > 0 (электрон свободный) энергия электрона может принимать любые значения.При W < 0 (когда электрон входит в состав атома) энергия электрона квантована:2m  Ze2  1Wn   2 , n  1,2,2  4πε0  n2(n ≠ 0!), n – главное квантовое число.Энергетический спектр атома водорода дискретный. Дискретные значения энергии электрона показаны на графике потенциальной энергии (РИС. 40.1).0UrW3n=3W2n=2W1n=1Рис.

40.1Основное состояние: n = 1.При переходе системы из одного стационарного состояния в другое (при n1 > n2)должен выполняться закон сохранения энергии:Wn2  Wn1  ω ,где ħω – энергия фотона, излучаемого при переходе электрона из состояния с n1 всостояние с n2;2m  Ze 2   1 1 ω 2   .2  4πε0   n12 n22 При переходе на более высокий энергетический уровень (при n2 > n1) происходитпоглощение энергии.Постоянная Ридберга2m  e2 R  3 ,2  4πε0 *R* = 2,07∙1016 с–1.315Таблица 40.1nНазвание серииДиапазонЭнергетическая диаграмма0n=2УФn1 = 1Серия Лайманаn→∞n=4n=31 1ω  R*  2  2  1 n2 n2  2,3,4,n=10n=2Видимый светn1 = 2Серия Бальмераn→∞n=4n=31 1ω  R*  2  2  , 2 n2 n2  3,4,5,n=10ИКn1 = 3Серия Пашенаn→∞n=4n=3n=21 1ω  R*  2  2  , 3 n2 n2  4,5,6,n=1316При Z = 11 1ω  R*  2  2  . n1 n2 Так как ω = 2πν,1 1ν  R 2  2  , n1 n2 R* 3,29  1015 с 1 .2πcДлина волны λ  ;νгде R 1 11 ν R 1 1    2  2   R  2  2  ,λ c c  n1 n2  n1 n2 R 1,10  107 м1 .cЛинии излучения (поглощения) атомов объединяются в серии.

Три первые спектральные серии атомарного водорода представлены в ТАБЛИЦЕ 40.1.R 5.6.4. Момент импульса электрона в атомеМомент импульса любой квантовомеханической системыLl  l  1 , l  0,1,,n  1(см. РАЗДЕЛ 5.4.4), l – азимутальное квантовое число.При переходе из одного состояния в другое должен выполняться закон сохранениямомента импульса.

Так как модуль момента импульса фотона Lф = ħ, возможнылишь переходы, при которыхΔl  1– правило отбора.Проекция момента импульса на избранное направлениеLz  m , m  l ,   l  1 ,, 1,0,1,, l  1, l ,m – магнитное квантовое число.5.6.5. Состояние электрона в атомеКаждому главному квантовому числу n соответствует n2 состояний с одинаковымиэнергиями Wn. Число n2 – степень вырождения.ПРИМЕРПри n = 2 степень вырождения n2 = 4. Говорят, что уровень n = 2 четырёхкратновырожден.При внешнем воздействии на атом энергия Wn (для состояний с разными l и m) может ненамного измениться, тогда вырождение снимается (например, при эффектеЗеемана).

Таким образом, состояние электрона в атоме определяется тремя (на самом деле ЧЕТЫРЬМЯ) квантовыми числами: n, l, m.317Классификация состояний электрона в атоме(Эта классификация относится не только к атому водорода, но и к многоэлектронным атомам.)l = 0 – s-состояниеl = 1 – p-состояниеl = 2 – d-состояниеl = 3 – f-состояние и т. д.Запись 2s означает, что n = 2, l = 0 и т. п.В ТАБЛИЦЕ 40.2 рассмотрены возможные состояния электрона на уровнях 1 и 2.Таблица 40.2ЭнергияW1W2Квантовые числаnlm10020021+121021–1ВолноваяфункцияОбозначение состоянияψ100ψ200ψ21+1ψ210ψ21–11s2s2p2p2pСтепеньвырождения14Переходы между состояниямиПри переходах из одного состояния в другое должны выполняться законы сохранения энергии и момента импульса: ω  W2  W1 ,l2  l1  1.Таким образом, спектральная серия Лаймана может быть получена при переходах2p 3p   1s ;4p серия Бальмера – при переходах3p 3s 3d 4p 4s 4d   2s ,   2p ,   2p .5p 5s 5d Эти переходы изображены на энергетической диаграмме РИС.

40.2.На РИС. 40.2 видно, что состояние 2s оказывается метастабильным: в нём электронзадерживается значительно дольше, чем в других возбуждённых состояниях.318W0n=5n=4n=3l = 0 (s)l = 2 (d)l = 1 (p)l = 3 (f)l = 4 (g)серия Бальмераn=2серия Лайманаn=1Рис. 40.25.7. Многоэлектронные атомы. Принцип Паули5.7.1.

Характеристики

Список файлов лекций