1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

41.5При контакте двух теплоизолированных макросистем с химическимипотенциалами μ1 и μ2 (РИС. 41.5) поток энергии (энергия, переносимая сквозьграницу между системами за какой-либо промежуток времени) слева направо нарисунке будет равен потоку энергии справа налево:dU12  dU 21 ⇒ μ1*dN12  μ2*dN21 ,где μ1* , μ2* – химические потенциалы систем 1 и 2 после приведения их в контакт;dN12, dN21 – число частиц, переходящих из системы 1 в систему 2 и наоборот за одини тот же малый промежуток времени. Так как dN12 = dN21,μ1*  μ2*– в состоянии термодинамического равновесия химическиемакросистем равны.потенциалы6.1.3.

Статистическое описание состояния макросистемыМикропараметры – параметры, характеризующие состояние каждой частицы,входящей в состав макросистемы: масса, импульс, координата, энергия и т. п.Задача статистической физики – установление связи между микро- имакропараметрами.Пусть имеется система N тождественных, слабо взаимодействующих частиц (газ).Благодаря взаимодействию между частицами система может прийти вравновесное состояние.Частицы, составляющие макросистемыклассические частицыПодчиняются законамклассической физики.фермионыполуцелый спин()Подчиняются принципуПаули.бозоныцелый спин()Не подчиняютсяпринципу Паули.6.1.4.

Фазовое пространство в классической физикеФазовое пространство – 6-мерное пространство координат и проекцийимпульса: x, y, z, px, py, pz.326Каждой частице сопоставляется изобразительная точка, координаты которой вфазовом пространстве полностью характеризуют состояние частицы.Изобразительная точка движется по фазовой траектории.ПРИМЕРКолебания пружинного маятникаЗапишем закон сохранения механической энергиив применении к пружинному маятнику:mv2 kx 2 W  const ,22где m – масса груза, v – его скорость, x – отклонениегруза от положения равновесия, k – жёсткостьпружины. Выражим энергию маятника черезкоординаты двумерного фазового пространства –проекцию px импульса груза на направлениеколебаний и координату груза (x = 0 – в положенииравновесия):2x2px0xРис.

41.6pkx.2m 2Это уравнение фазовой траектории частица, которая имеет форму эллипса(РИС. 41.6).Для макросистемы из N частиц имеем шестимерное облако из N изобразительныхточек. Таким образом полностью задаётся микросостояние системы. Насинтересует форма этого облака и распределение изобразительных точек в нём.Разобьём фазовое пространство на ячейки объёма dγ = dxdydzdpxdpydpz(микросостояниечастицызадаётсяссоответствующейточностью).Микросостояние системы определяется плотностью заполнения ячеек с учётоминдивидуальных номеров частиц.Число микросостояний, с помощью которых реализуется данное макросостояние,– статистический вес Ω системы.Равновесному состоянию соответствует макросостояние с максимальнымстатистическим весом, т. е. то, которое реализуется наибольшим числоммикросостояний.Пронумеруем частицы и ячейки.

Таким образом, состояние определённой частицыбудет задаваться номером ячейки, в которой частица находится. Будем обозначатьэнергию частицы в i-ой ячейке εi. Макросостояние системы будет определятьсячислом частиц в каждой ячейке без учёта индивидуальных номеров частиц.W327ПРИМЕРРаспределение двух частиц по двум фазовым ячейкамi=1i=2i=1ABЭто 1 макросостояние и 2 микросостояния, Ω = 2.i=1i=2ABi=2ABi=1i=2AB1 макросостояние1 микросостояние1 макросостояние1 микросостояниеΩ 1Ω 1328Лекция 426.1.5. Фазовое пространство в квантовой физикеВ квантовой механике координата и соответствующая проекция импульса одновременно не измеримы.

Соотношения неопределённостей Гейзенберга:ΔxΔpx  2 ,ΔyΔp y  ,2ΔzΔpz  2 .В результате этого на объём фазовой ячейки накладывается ограничениеΔγ  ΔxΔyΔzΔpx Δp y Δpz 3.8Различным фазовым ячейкам будут соответствовать различные квантовые состояния, если Δγ ~ ħ3.

Одной ячейке соответствует одно квантовое состояние.Примеры заполнения фазовых ячеек в различных квантовых термодинамическихсистемах приведены на РИС. 42.1.Солнечный светИзлучение лазераабРис. 42.1Заполнение фазовых ячеекКлассические частицыВ одной ячейке –любое числоизобразительных точек.Квантовые частицыфермионыПодчиняютсяпринципу Паули.В одной ячейке –2 изобразительные точкис противоположнымиспинами (↑↓).Лучше взять ячейку объёмомΔγ h3.2бозоныНе подчиняютсяпринципу Паули.В одной ячейке –любое числоизобразительных точек.329Найдём плотность заполнения фазовых ячеек, которая бы соответствовала равновесному состоянию системы. Будем исходить из условий, приведённых в ТАБЛИЦЕ42.1.Таблица 42.1Классическая статистикаНа размер ячейки накладываютсяh31.ограничения.

Пусть Δγ  .2Все частицы одинаковы, но разли2. чимы. Перестановка частиц изменяетмикросостояние системы.Квантовые статистикиОбъём ячейки Δγ 38. Пусть Δγ h3.2Частицы одинаковы и неразличимы.Перестановка частиц не изменяетмикросостояние системы.Для фермионов внутри ячейки можетнаходиться не более 1 изобразительВнутри ячейки может быть любое ной точки.число изобразительных точек.Для бозонов число изобразительныхточек в ячейке не ограничено.Все допустимые микросостояния замкнутой системы равновероятны.В замкнутой системе внутренняя энергия U = const и число частиц N = const(для бозонов – не обязательно).Равновесное состояние реализуется наибольшим числом микросостояний.3.4.5.6.ПРИМЕРРаспределение двух изобразительных точек по двум фазовым ячейкамВ ТАБЛ.

42.2 показаны все возможные микросостояния такой макросистемы в случае, если она состоит из классических частиц, фермионов и бозонов. Статистический вес макросистемы Ω0 – общее число микросостояний, в которых может находиться данная макросистема.Таблица 42.2Классические частицыAABBAБозоныФермионыΩ0  3Ω0  1BAΩ0  4B6.1.6. Функция распределенияФункция распределения (см. 2.7.1) f(εi) определяется средней заполняемостью фазовых ячеек изобразительными точками (числом точек в одной ячейке) в малойобласти фазового пространства:330f  εi  dN  εi dg  εi ,где dN(εi) – число частиц, а dg(εi) – число ячеек, в которых энергия частицы принимает значения от εi до εi + dε.Проведя термодинамический расчёт, можно получить функции распределения, которые приведены в ТАБЛ.

42.3 (k – постоянная Больцмана). Это распределение частиц по ячейкам εi, а не по энергиям ε!Таблица 42.3СпинСтатистикаПлотностьзаполнения ячеекФункцияраспределенияХимическийпотенциалТемпература(см. 6.1.7)Классическиечастицысвойства частицне важныМаксвелла-БольцманаN1gf  εi   eФермионыБозоныполуцелыйцелыйФерми-ДиракаN1gБозе-ЭйнштейнаN~1g1f  εi  εi  μkTeμ0εi  μkT1f  εi  1eεi  μkT1μ0μ0T  TкрT  Tкр6.1.7.

Критерий вырождения газаИндивидуальные свойства частиц влияют на поведение макросистемы только приNN 1  . Такая система подвысокой плотности заполнения фазовых ячеек  ~ 1,ggчиняется квантовой статистике. Подобный газ называется вырожденным.N1  индивидуальные свойства чаПри низкой плотности заполнения ячеек gстиц не важны и работают законы классической физики. Такой газ называется невырожденным.Параметром, который разграничивает вырожденный и невырожденный газ, является температура.

Если T > Tкр, где T – критическая температура, то газ не вырожден. Если T < Tкр, то газ вырожден.Можно показать, чтоTкр ~h2n2 3,3km0где n – концентрация газа, m0 – масса частицы.Численная оценкаДля идеального газа, состоящего из молекул, Tкр ~ 5 К, т. е. этот газ не вырожден.Для электронного газа в металле Tкр ~ 5∙104 К, т. е. этот газ вырожден.3316.2. Распределение молекул идеального газа по энергиям. Химический потенциалидеального газаЭта тема рассматривалась в I семестре f(εi)(2.7.2, 2.7.3). Подойдём к этому вопросу сдругой стороны.Функция распределенияf  εi   eεi  μkT,(42.1)μ < 0; график функции распределенияпредставлен на РИС. 42.2.

Газ не вырожден,μт. е. f(εi) << 1.μ0Подсчитаем число частиц, энергия которых лежит в интервале от εi до εi + dε. ПоРис. 42.2определению функции распределенияdNεif  εi  ⇒ dNεi  f  εi  dgεi .dgεiεiДалее индекс i опустим. Число фазовых ячеекdΓdg ,Δγгде dΓ – объём области фазового пространства, соответствующей энергиям частицh3от ε до ε + dε; Δγ – объём фазовой ячейки.2Пусть энергия молекулы не зависит от её координаты. ТогдаdΓ    dxdydz  dpx dp y dpz  VdΓp , VV – объём сосуда, в котором находится газ;VdΓdg  3 p .h 2Найдём dΓp – элемент объёма в пространстве импульсов – трёхмерном подпространстве фазового пространства. Выразимэнергию частицы через её импульс:ε(42.2)pzdpp2.2m0Энергия частицы зависит только от модуляимпульса.

Поэтому разбиваем подпространство импульсов на бесконечно тонкиесферические слои радиусом p и толщинойdp (РИС. 42.3). Объём такого слояdΓp  4πp2dp .Подставим это выражение в (42.2):p0pxРис. 42.3py332V 4πp2dp.dg h3 2Перейдём от p к ε:p  2m0ε , dp  2m0dεm0 dε;2 ε2 εV 4π  2m0ε m0 dε 16πVm03 2dg εdε .h3 22 εh3 2Число частиц, учитывая вид функции распределения (42.1),dNε  f  ε  dg 16πVm03 2εeh3 2εμkTdε .Найдём химический потенциал из условия нормировки  dNε  N :N016πVm03 2h3 2εeεμkTdε  4πV  2m0 32h30μe kT εeεkTdε 322 4πV  2m 3 2 μ πμ2V  2πm0kT 320kTkTekTe;h32h3μ  kT lnμe kT Nh32V  2πm0kT 32Nh32V  2πm0kT 32;,2εε16πVm03 2Nh32NkTkTdNε εe dε εe dε .3232h3 2 2V  2πm0kT π  kT Введём функцию распределения частиц по энергиям как плотность вероятностипопадания частицы в данный интервал энергий:F ε εdNε2kTεe.32Ndεπ  kT Графики этой функции при разных температурах газа представлены на РИС. 42.4.Среднее значение энергии частицыε  εF  ε  dε0 F  ε  dε03 kT .21333F(ε)T1T2 > T10Рис.

Характеристики

Список файлов лекций