1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

37.4). До прохождения частицы через щель px = 0, Δpx = 0, зато координата x совершенно не определена. Вмомент прохождения частицы через щель ситуация изменяется:Δpx  p sin φ , Δx sin φ  λ– условие первого минимума при дифракции на щели (см. 4.2.2), поэтомуλ h λλsin φ , Δpx  p, Δpx Δx  h .Δx λ ΔxΔxΔxцентральныймаксимумxφРис. 37.4301Лекция 385.4. Квантовомеханическое описание движения частицы5.4.1. Волновая функция Волновая функция Ψ r , t описывает состояние частицы. Волновая функция может быть как действительной, так и комплексной. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции:2Ψ dPdV– квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности обнаружениячастицы в данной области пространства.Свойства волновой функции1.

Однозначность и непрерывность при любых x, y, z, tΨ  Ψ Ψ2. Непрерывность производных,,при любых x, y, z, tx  y z3.4.Интегрируемость при любых x, y, z, tУсловие нормировки:     Ψ x , y, z 2dxdydz  1  (обнаружение частицы во всём пространстве – достоверное событие, его вероятность равна единице.)5.4.2. Изображение физических величин операторамиВ квантовой механике каждой физической величине ставится в соответствие оператор – правило, посредством которого одна функция сопоставляется другой:f  Qφ .Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора Q :Qφ  qφ .Множеству собственных значений (q1, q2, …, qn) соответствует множество собственных функций (φ1, φ2, …, φn).При измерении физической величины q, представляемой оператором Q , могут получаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этого оператора.Среднее значение q:q   Ψ* QΨdV ,здесь Ψ* – комплексно сопряжённая функция к функции Ψ; dV = dxdydz, интегрирование ведётся по объёму.302Важнейшие операторы физических величин1.

Оператор координатыx x;xψ  x , y , z   xψ  x , y , z  75.2.Оператор импульсаp x  i, p y  i, pz  i;yxzp  i  ,3.здесь i – мнимая единица.Оператор момента импульсаL  r p  ; ixLijyxikzyi;z    Lx  i  y  z   i  z  y  и т. д.y z  z y4. Оператор кинетической энергииT5.22p21 2px  p2y  pz2  2  Δ,2m 2m2m2mздесь Δ  2 – оператор Лапласа, m – масса частицы.Оператор полной энергии – гамильтонианH  T  U  x , y , z ,t  ,U  x , y , z , t  – силовая функция – описывает действие других объектов на частицу.5.4.3.

Возможность одновременного измерения двух величинПусть имеются два оператора A и B . Коммутатор операторов A и B A, B  AB  B A .Операторы A и B коммутируют, если A , B  0 ,т. е. AB  B A .75 Волновую функцию, зависящую от времени, мы обозначаем Ψ, а её стационарную часть (см.не зависящую явно от времени, – ψ = ψ(x, y, z).5.4.5),303 Если операторы не коммутируют, т. е. A , B  0 , то величины a и b одновременноне измеримы. (Для этих величин можно записать соотношение неопределённостей.)ПРИМЕРЫ1) Измеримы ли одновременно координата и соответствующая проекция импульса?Найдём коммутатор операторов x и px ; для простоты воздействуем этими операторами на функцию ψ:ψ ψ;x px ψ  x  i i xx x  px xψ  iψ xψ  i ψ  i x ;xx x p  p x  ψ  i ψ ⇒ xp  p x  ixxxx0.Координата и соответствующая проекция импульса одновременно не измеримы,что подтверждается соотношениями неопределённостей (37.4).2) Измеримы ли одновременно py и x?Действуем аналогично тому, как В ПРЕДЫДУЩЕМ ПРИМЕРЕ:ψ ψ;y px ψ  y  i i yx x ψ; xp , y  0 .px yψ  i yxКоордината y и проекция импульса на ось x одновременно измеримы.Дополнительное заданиеДоказать, что проекции момента импульса не коммутируют: Lx , L y  0 , а также чтокаждая из проекций момента импульса коммутирует с квадратом момента им- пульса: Lx , L2  0 .5.4.4.

Квантование физических величинЕсли физическая величина принимает дискретный ряд значений, т. е. собственныезначения соответствующего оператора дискретны, то говорят, что данная величина квантуется.ПРИМЕРКвантование момента импульсаУравнение для собственных значений оператора квадрата момента импульсаL2ψ  L2ψ .304Решение этого уравнение трудное, поэтому приведём только результат – собственные значения оператора квадрата момента импульсаL2 l  l  1 ,2(38.1)l = 0, 1, 2, …Уравнение для собственных значений оператора проекции момента импульсаLz ψ  Lz ψ .Это уравнение мы решим – найдём собственные значения и собственные функции.В сферических координатах оператор проекции момента импульса записываетсякакLz  i.φУравнение для собственных функций и собственных значенийψi Lz ψ .φ(38.2)Будем искать решение этого уравнения в формеψ  e αφ .Подставим эту функцию в уравнение (38.2):i αeαφ  Lzeαφ ⇒ Lz  i α .ОтсюдаiLzφLz iLz, ψe .iФункция ψ должна быть однозначной.

Для этого необходимоαψ φ  2π   ψφ ⇒Lz m,m – целое;Lz  m ,(38.3)m = 0, ±1, ±2, … Так как проекция вектора не может быть больше его модуля,m 2l  l  1 ⇒ m = 0, ±1, ±2, …, ±l.5.4.5. Уравнение ШрёдингераОсновное уравнение нерелятивистской квантовой механики:22mΔΨ  UΨ  iΨt(38.4)илиHΨ  iΨt– временнόе уравнение Шрёдингера.Уравнение Шрёдингера не выводится из других соотношений, оно постулируется.305Если силовое поле стационарно – U ≠ U(t), то решение уравнения Шрёдингера разделяется на два множителя:Ψ  x , y , z ,t   ψ x , y , z  eiWt,(38.5)где W – полная энергия частицы.

Подставим (38.5) в уравнение Шрёдингера (38.4):22meiWtΔψ  U  x , y , z  ψeiWt iW  i i ψ eHψ  WψWt,(38.6)– уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (стационарное уравнение Шрёдингера).Это уравнение мы будем чаще писать в другом виде:Δψ 2m2W  U  ψ  0 .(38.7)5.5. Некоторые квантовомеханические задачи5.5.1. Свободная частица с энергией WРассмотрим одномерное движение. Лапласиан имеет вид Δ d2; силовая функцияdx 2U = 0.

Уравнение Шрёдингера:d 2ψ 2m 2 Wψ  0 .(38.8)dx 2Будем искать решение в виде ψ = Aeikx, где k – неизвестная константа. Производныеволновой функцииdψd 2ψ2  ik  Aeikx   k 2ψ . ikAeikx  ikψ ,2dxdxПодставим эти производные в уравнение (38.8):2mk 2ψ  2 Wψ  0 ;k2 2mW22mW⇒ kψ  Ae2mWix;,A – постоянная нормировки. Полная волновая функцияΨ  x , t   AeiWt2mW x.Действительная часть этой функцииRe Ψ  x , t   Acos– уравнение бегущей волны.Вероятность обнаружения частицыWt  2mW x3062Ψ Aвезде одинакова.5.5.2. Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубиныПотенциальная яма – область пространUства, в которой находится минимум потенциальной энергии частицы.

В данной задаче рассматривается потенциальная ямаIIIIIIбесконечной глубины, т. е. в области длиной l потенциальная энергия минимальна UI → ∞UII = 0UIII → ∞(равна нулю), а во всём остальном пространстве она стремится к бесконечности.График потенциальной энергии приведён0lxна РИС. 38.1.В областях I и III, где потенциальная энерРис. 38.1гия бесконечно велика, вероятность обнаружения частицы должна быть равна нулю, т. е.ψI  0,ψIII  0.Уравнение Шрёдингера для области IId 2ψII 2m 2 WψII  0 .dx 2(38.9)Введём обозначениеk2 2m2W,тогда уравнение (38.9) примет видd 2ψII k 2ψII  0 .2dxРешение этого уравненияψII  x   Acos  kx  φ .Постоянные A и φ найдём из свойств волновой функции.

Волновая функция должнабыть непрерывна во всём пространстве, в том числе на стенках ямы:π A cos φ  0  φ  ,ψII  0  0,2⇒ψl0 A cos  kl  φ   0  sin kl  0; IIkπn, n = 1, 2, …lПоэтому πn ψII  A sin x . l Энергия частицы3072k 2 π 2n2 2 2, n = 1, 2, …2ml 2mВидно, что энергия частицы имеет дискретный ряд значений, т. е. квантуется.Условие нормировки:Wll2222  πn 0 ψII  x  dx  A 0 sin  l x  dx  1 ⇒ A  l .Итак,ψII 2 πn sin  x  ,l l (38.10)22 πn (38.11)ψII  sin2  x  .l l Графики функций (38.10) и (38.11) для n = 1 и 2 представлены на РИС. 38.2А, Б.n=1ψIIn=1n=20lxn =2l0аxбРис.

38.2Интервал энергий между соседними уровнямиπ2 2 π2 2π2 222n1n2n1n 2ml 22ml 2 ml 2при достаточно больших n.Энергетическая диаграмма частицы в бесконечной поWтенциальной яме изображена на РИС. 38.3.ΔW n=2n=10lРис. 38.3x308Лекция 395.5.3. Потенциальный барьер. Туннельный эффектПотенциальный барьер – область пространства, в которой находится максимум потенциальной энергии частицы.

Характеристики

Список файлов лекций