1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

31.1. Резонансные кривые3.14. Электромагнитные волны3.14.1. Вывод волнового уравнения для электромагнитных волнРанее мы говорили (см. 3.12.2), что переменное электрическое поле порождает переменное магнитное и наоборот и это приводит к возникновению электромагнитной волны. Выведем волновое уравнение из I и II уравнений Максвелла в интегральной формеBD Edl   t dS ,  Hdl   t dS .LSLS256y2,3⊗1 xOΔx4x + Δxx,z65Рис. 31.2Пусть в пространстве (однородной, изотропной, неферромагнитной среде с относительной электрической и магнитной проницаемостями ε, μ) существует переменное электрическое поле.

Свободные заряды и макротоки отсутствуют. Напряжённость электрического поля направлена вдоль оси y и изменяется только вдольоси x (РИС. 31.2):E  Ex .При этом магнитная индукция будет направлена вдоль оси z:B  Bz .Мысленно выделим в пространстве прямоугольные контуры 1234 в плоскости xy и1456 в плоскости xz (РИС. 31.2), причём ширина контуров Δx << x. Циркуляция E поконтуру 1234Edl  E y  x  l12  E y  x  Δx  l34  E y  x   E y  x  Δx   l12  ΔE y l12 ;L1234потокком,(31.2)Bсквозь поверхность, натянутую на этот контур, взятый с обратным знаtBBBdS  BdS  Bz dS cos π  z S1234  z l12Δx .tt S1234t S1234ttS1234Подставим (31.2) и (31.3) в I уравнение Максвелла и поделим на Δx:ΔEB y l12  z l12 ;Δxtпри Δt → 0EB y  z.xtЦиркуляция напряжённости магнитного поля по контуру 1456L1456Hdl  H z  x  Δx  l45  H z  x  l61  H z  x  Δx   H z  x   l45  ΔH z l45 ;(31.3)(31.4)(31.5)257ток смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур,DDDdS DdS D y dS   y S1456   y l45Δx .tt S1456t S1456ttS1456Подставим (31.5) и (31.6) во II уравнение Максвелла и поделим на ΔxDΔH zl45   y l45 ;Δxtпри Δt → 0DH z y .xt(31.6)(31.7)Никаких других соотношений между E и B , D и H быть не может.Материальные уравненияD  ε0εE , B  μ0 μH .Далее в этом параграфе все формулы будем записывать через E и H .Возьмём производную от уравнения (31.4) по x, а от уравнения (31.7) – по t:2  μ0 μH z   2  2E y 2E yxxt  ε0εμ0 μ 2(31.8)⇒x 2t2  ε0εE y  2H zt xt 2– волновое уравнение для Ey.Возьмём производную от уравнения (31.7) по x, а от уравнения (31.4) – по t.

Аналогично получим 2E y2H z2H zεεμμ00x 2t 2(31.9)– волновое уравнение для Hz.Общий вид волнового уравнения (для плоской волны)2 f 1 2 f,x 2 v2 t 2где v – скорость распространения бегущей волны. Сравнивая с этой записью уравнения (31.8) и (31.9), видим, что1vε0 μ0εμ– скорость распространения электромагнитных волн; в вакуумеc1ε0 μ0 3,00  108Скорость электромагнитных волн в средеvcεμ.м.с258Напряжённости электрического и магнитного полей подчиняются одному и томуже уравнению.

Это означает, что переменное электромагнитное поле может существовать только в виде бегущей волны.Общее решение волнового уравнения:E y  x ,t   f1  x  vt   f2  x  vt  ,обратная волнапрямая волнааналогично для Hz. Вид функций f1 и f2 определяется начальными условиями.Связь E и H в электромагнитной волне:ε0εE y  μ0 μHz .ДоказательствоРешение волнового уравнения (без обратной волны)E y  f  x  vt  , Hz  g  x  vt  .Подставим это решение в (31.7). Для этого найдём производныеD yEH z ε0ε y  ε0εf    v  . g ,ttxИз (31.7) получимg  ε0εf    v  ε0εε0 μ0εμf ⇒ gε0εεεf ⇒ H z  0 E y , ч.

т. д.μ0 μμ0 μ(31.10)259Лекция 323.14.2. Монохроматическая волна как решение волнового уравненияПусть источник волны создаёт возмущение Ey(0, t) = E0ycos(ωt + φ0). При этихначальных условиях решение волнового уравнения (31.8) и (31.9) будет иметь вид xE y  x , t   E0 y cos ω  t    φ0  ,v H x , t  H cos ω  t  x   φ 0z0  z v  (32.1)– уравнение плоской бегущей монохроматической электромагнитной волны(без обратной волны). «Мгновенная фотография» монохроматической электромагнитной волны изображена на РИС. 32.1.Характеристики монохроматической волныE0y, H0y – амплитуда;Φ = ωt – kx + φ0 – фаза;ωk  – волновое число;vv – скорость распространения волны;ω – циклическая частота;φ0 – начальная фаза;ων– частота;2π1 2πT – период;ν ω2π v v 2πλ  vT  – длина волны.ων kEyOxHzРис.

32.1. «Мгновенная фотография» монохроматической электромагнитнойволныУравнение монохроматической электромагнитной волны при произвольнойформе волнового фронта:260E  E0 cos ωt  kr  φ0 ,H  H0 cos ωt  kr  φ0 .Здесь k – волновой вектор; E0  H0 , а модули напряжённостей электрического имагнитного полей связаны между собой соотношениемε0εE  μ0 μH[ср. (31.10)].3.14.3. Энергия электромагнитной волныПлотность потока энергии – энергетическая характеристика волны – энергия,которую волна переносит в единичный промежуток времени через единичнуюплощадку, перпендикулярную направлению распространения волны:dW;PdtdS Вт.м2Выделим в пространстве, где распространяется электромагнитная волна, малый параллелепипед, длина которого равна расстоянию,проходимому волной за малое время dt – vdt, аплощадь торца равна dS (РИС.

32.2). Объём параллелепипедаdV  vdtdS  .P  Энергия, содержащаяся в этом объёме,dW  wdV ,где w – объёмная плотность энергии электромагнитного поля;2yvdtРис. 32.2μ μHDE BH ε0εE. 02222С учётом соотношения (31.10)wwε0εE 2y22zε0εE 2y2 ε0εE 2y  ε0εμ0 μE y Hz E y Hzv.ТогдаdW E y HzvvdtdS  , P E y H z dtdS dtdS  E y Hz ;P  E H – вектор Умова-Пойнтинга – вектор плотности потока энергии. Вектор УмоваПойнтинга сонаправлен скорости волны и волновому вектору, т. е. указываетнаправление переноса энергии.Интенсивность электромагнитной волны – среднее по модулю значение плотности потока энергии за время, во много раз превышающее период колебаний:261I  P  E y Hz ε0ε 2E .μ0 μДля монохроматической волныIε0ε E02.μ0 μ 2Интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуднапряжённостей электрического и магнитного полей.3.14.4.

Шкала электромагнитных волнСамая грубая классификация электромагнитных волн по диапазону приведена вТАБЛ. 32.1. Длины волн указаны в вакууме.Таблица 32.1Шкала электромагнитных волнДиапазонРадиоволныОптическое излучение:инфракрасное излучениевидимый светультрафиолетовое излучениеРентгеновское излучениеГамма-излучениеДлина волны> 5∙10–5 м1 мм ÷ 770 нм(770 ÷ 380) нм(380 ÷ 10) нм(10 ÷ 100) нм –(0,01 ÷ 1) нм< 0,1 нмСпособ полученияИзлучение диполя, вибраторВнутриатомные переходыВзаимодействие заряженныхчастиц с веществомРадиоактивныепревращения, ядерные реакции, распадчастиц и т.

п.3.14.5. Отражение электромагнитной волны от идеального проводникаПусть плоская электромагнитная волна распространяется перпендикулярно поверхности разделадиэлектрика и проводника (РИС. 32.3).Введём обозначения – верхние индексы (для данного и СЛЕДУЮЩЕГО разделов):0 – падающая волна;zi – отражённая волна;r – преломлённая волна.xПо принципу суперпозиции полей напряжённостьрезультирующего электрического поляРис.

32.30i0iE E E , H  H  H .Падающая волна:00E y  x , t   Em cos  ωt  kx  , 00H z  x , t   Hm cos  ωt  kx  .ε, μy262Так как H z0 ε0ε 0Ey ,μ0 με0ε 0Em cos  ωt  kx  .μ0 μH z0  x , t  Отражённая волна:iiE y  x , t   Em cos  ωt  kx  φ  , iiH z  x , t   Hm cos  ωt  kx  φ  ;H zi  x , t  ε0ε iEm cos  ωt  kx  φ  .μ0 μЗдесь φ – разность фаз падающей и отражённой волн.На границе проводника (при x = 0)E y 0, t   0 .НоE y 0,t   E 0y 0,t   E iy 0,t   Em0 cos ωt  Emi cos ωt  φ .Для того чтобы это равенство выполнялось при любых t, требуетсяEmi  Em0 , cos ωt   cos ωt  φ ⇒ ωt  ωt  φ  π , φ  π .Отражённая волна отличается от падающей по фазе на π;E iy  Em0 cos ωt  φ  π   Em0 cos ωt .Для любого xE y  x , t   E 0y  E iy  Em0 cos  ωt  kx   cos  ωt  kx  .Преобразуемэтовыражение1sin α sin β  cos  α  β   cos  α  β   :2потригонометрическойE y  x , t   2Em0 sin kx sin ωtформуле(32.2)– уравнение стоячей волны.Уравнение (32.2) описывает гармонические колебания, амплитуда которых2Em0 sin kx определяется координатой.

Перенос колебаний и энергии в пространстве отсутствует, поэтому эта волна (строго говоря, не являющаяся волной), называется стоячей. На поверхности проводника – при x = 0 стоячая волна (32.2) имеетузел – точку, где амплитуда колебаний равна нулю (РИС. 32.4).Аналогично для напряжённости магнитного поляH z  x , t   H z0  H zi ε0ε 0E m cos  ωt  kx   cos  ωt  kx   μ0 μ εε 2 0 E m0 cos kx cos ωt .μ0 μ(32.3)263Это также уравнение стоячей волны, которая при x = 0 имеет пучность – точку смаксимальной амплитудой колебаний (РИС. 32.4)узелпучность00xДемонстрация:Рис. 32.4Модель стоячей волныxy264Лекция 333.14.6. Отражение и преломление электромагнитной волны на границе разделадиэлектриковСкорость электромагнитных волн в среде меньше их скорости в вакууме:n=cv– абсолютный показатель преломления среды;n = εμ .Для немагнитной среды n = ε .Выразим длину волны в среде через длину волны λ0 в вакууме:2π v 2πc λ0λ .ωnω nОтносительный показатель преломления сред 1 и 2 (РИС.

33.1)n21 n2.n1Пусть электромагнитная волна падает награницу двух сред (относительные электрические и магнитные проницаемостиε1, μ1 и ε2, μ2) под углом i. Эта волна чаiстично отражается от границы разделаiˊсред под углом iˊ, а частично преломляется – проходит через границу разделаyrпод углом r – углом преломления(РИС. 33.1). Все углы отсчитываются отε2, μ2нормали к границе раздела сред.n2Луч – прямая, сонаправленная волновомувектору.

Луч перпендикулярен волновому фронту.xТочка падения – точка пересечения падаРис. 33.1ющего луча с поверхностью раздела сред.Плоскость падения – плоскость, проходящая через падающий луч и перпендикулярная к поверхности раздела сред в точке падения луча.По принципу суперпозиции полей напряжённость электрического и магнитногополей в среде 1ε1, μ1n10i0rriE1  E  E , H1  H  H ;в среде 2E2  E , H2  H .Условия на границе раздела двух сред (при μ1 = μ2 = 1):265E τ0  E τi  E τr ,0irε1 En  En  ε2E τ , 0irH τ  H τ  H τ , 0irHn  Hn  Hn .(33.1)Законы отражения и преломления1.

Отражённая и преломлённая волны имеют ту же частоту, что и падающаяволна:ω0  ωi  ωr .2. Угол отражения равен углу падения:i  i .3. Закон Снеллиуса (закон преломления):nsin i n21  2 .sin rn1(33.2)ДоказательствоУравнения волны для E :E 0  E 0m cos ω0t  k 0 r , iiiiE  E m cos ω t  k r ,E r  E rm cos ωr t  k r r .Спроецируем первое из этих уравнений на направление касательной к границе раздела сред: 0 ω0n1ω0n1E  E cos ω t  k x  k y  E cos  ω t x cos i y sin i  .ccАналогично для тангенциальной составляющей отражённой волны получим0τ0τm00x0y0τmωi n1ωi n1iE τi  E τmcos  ωi t x cos i  y sin i   ;ccдля тангенциальной составляющей преломлённой волныωr n2ωr n2rE τr  E τmcos  ωr t x cos r y sin r  .ccТак как граничное условие Eτ0  Eτi  Eτr должно выполняться для любых t и y приx = 0,ω0  ωi  ωr  ω ,i  i ,n1 sin i  n2 sin r ,ч.

Характеристики

Список файлов лекций