1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

СамоиндукцияРассмотрим замкнутый проводник (проводящий контур), по которому идёт ток, создающий магнитное поле – собственное магнитное поле проводника. Если этот ток– переменный, то магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на контур с током (собственный магнитный поток), будет изменяться и возникнет индуцированное электрическое поле.Самоиндукция – частный случай явления электромагнитной индукции – возникновение электрического поля в замкнутой цепи в результате изменения силы токав этой цепи.Строго говоря, здесь и выше в данном подразделе надо писать vx вместо v; мы этого не делаем,чтобы не усложнять запись, так как vx = v > 0.64214Собственный магнитный потокΦs   Bs dS ,Sгде Bs – индукция собственного магнитного поля проводника.

Так как Bs ~ I (токув проводнике), Φs ~ I.Потокосцепление – суммарный собственный магнитный поток проводника, имеющего более одного витка:Ψ  Φsi .Закон Фарадея-Максвелла в случае самоиндукции запишется какEs  dΦ s,dt(26.7)Es – ЭДС самоиндукции.Индуктивность – характеристика проводника, равная отношению собственногомагнитного потока (потокосцепления) к току в проводнике:LΦs;I(26.8)[L] = Гн (генри).Индуктивность зависит от формы и размеров проводника (а также магнитныхсвойств среды) и не зависит от силы тока, магнитной индукции и других характеристик поля и тока (в случае, если нет ферромагнитного сердечника; см.

РАЗДЕЛ3.11.9).Из определения индуктивности (26.8) следуетΦs  LI .Подставим это выражение в закон Фарадея-Максвелла (26.7):d  LI dI dL dIdIdI  dL dL   I  L   I L    I  L .dtdt dI dtdtdt  dI dtПри L = const (проводник не деформируется и нет ферромагнетиков)Es  Es   LdI.dtПри расчёте индуктивности нужно мысленно пустить по проводнику ток и найтисобственный магнитный поток (потокосцепление) проводника.ПРИМЕРЫ1) Расчёт индуктивности длинного соленоидаИмеется соленоид длиной l с поперечным сечением S, имеющий плотность намоткиn (РИС. 26.5).

Длина соленоида много больше его поперечных размеров. Найти индуктивность соленоида.215Пустим по соленоиду ток I. Магнитное поле внутрисоленоида однородно – так как соленоид длинный,краевыми эффектами пренебрегаем. Направлениемагнитной индукции показано на РИС. 26.5, её модульNB  μ0nI  μ0 IlN(см. ПРИМЕР 2 В РАЗДЕЛЕ 3.7.2), n – плотностьlнамотки соленоида.Магнитный поток сквозь один виток соленоидаμ NIS;Φ  BSn  BS  0lпотокосцеплениеI⊙⊙⊙⊙S⊗⊗⊗⊗lРис.

26.5μ0 N 2SΨ  NΦ I.lИндуктивность соленоидаΨ μ0 N 2S.IlЭта величина зависит только от размеров и числа витков соленоида, как и следовало ожидать.LИндуктивность тонкого тороидаLΨ μ0 N 2S μ0 N 2S,I2πRlгде l = 2πR – длина тороида.Демонстрация: Экстра-ток размыкания⊗⊙R⊗μ0 N 2SI.2πRO⊙Ψ  NΦ ⊙⊗направление B показано на РИС. 26.6.Магнитный поток сквозь один виток тороидаμ NIS;Φ  BSn  BS  02πRпотокосцеплениеI⊗⊙2) Расчёт индуктивности тонкого тороидаНайти индуктивность тонкого тороида радиуса R,сечением S, имеющего N витков (РИС. 26.6).Пустим по тороиду ток I.

Задача о нахождении индукции магнитного поля тороида была рассмотренав РАЗДЕЛЕ 3.7.2, ПРИМЕР 3. Модуль магнитной индукцииμ NIB 0 ,2πRРис. 26.6216ПРИМЕРЭкстра-ток размыканияКатушка индуктивностью L и сопротивлением R подключена к источнику постоянного тока параллельно с лампой накаливания, сопротивление которой равно R′(схема на РИС.

26.7). В начальный момент времени ключ K размыкают и катушкавместе с лампой отключаются от источника. Найти зависимость тока в цепи от времени.После размыкания ключа изменяющийся ток в катушке приводитI R′к возникновению электрического поля, энергетическая характе⊗dIристика которого – ЭДС самоиндукции Es   L . Это единственI0 R, LdtK ная ЭДС в цепи после размыкания ключа.Применим обобщённый закон Ома:dIEI  R  R Es ⇒ I  R  R   L .dtРис. 26.7Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении ипроинтегрируем:dIR  Rdt ,ILItdIR  RIR  RI I   L 0 dt ⇒ ln I0   L t ,0I t   I0eR  RtL.(26.9)E– ток в катушке до размыкания IRI0ключа (внутреннее сопротивление источника считаем пренебрежимо малым по сравнению с сопротивлением катушки).

Графикфункции (26.9) представлен на РИС. 26.8.В этом примере мы рассмотрели пример релаксационного процесса, т. е. процесса при- 0tближения какой-либо физической величиныРис. 26.8к её равновесному значению – в данном случае при t → ∞ I → 0. Характерный параметрэтого процесса – время релаксации – время, за которое сила тока в цепи уменьшится в e раз:Lτ.R  RТеперь разберёмся, почему лампа сразу после размыкания ключа ярко вспыхивает,как мы видели в демонстрационном эксперименте. Сравним ток в лампе до размыкания ключаEI0 RЗдесь I0 217с током I после размыкания:R  RtLI EeR R  R LR t. eI0RERR  RtПри малых t (сразу после размыкания ключа) e L  1 и, если R′ >> R (а сопротивление лампы накаливания сравнительно велико), то I I0 и мощность лампырезко увеличивается, а, значит, лампа ярко вспыхивает.3.9.3.

Взаимная индукцияПусть имеются два замкнутых проводящих контура 1 и2, расположенные достаточно близко друг к другуI2(РИС. 26.9). По контуру 1 идёт ток I1, так что контур 2 I1находится в магнитном поле контура 1. Поток индукциимагнитного поля контура 1 сквозь поверхность, натянутую на контур 2, Φ12 ~ I1, так как B1 ~ I1. Если ток I1 пере21менный, то в проводнике 2 возникает переменное электрическое поле и ток I2.

В свою очередь, контур 2 создаётРис. 26.9магнитное поле, пронизывающее контур 1; соответственно, магнитный поток Φ21 ~ I2. Таким образом два проводника влияют друг надруга.Взаимная индукция – частный случай явления электромагнитной индукции – возникновение электрического поля в проводнике под действием переменного тока вдругом проводнике, близко расположенным к данному проводнику.Магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на проводник 2, создаваемыйпроводником 1,Φ12  M12 I1 ;M12 Φ12I1– коэффициент взаимной индукции (взаимная индуктивность) – характеристика взаимного влияния проводников. Коэффициент взаимной индукции зависитот формы, размера проводников, их взаимного расположения, магнитных свойствсреды. Возможно M12 < 0.ПОЗДНЕЕ мы докажем, что в отсутствие ферромагнетиков коэффициенты взаимнойиндукции равны:M12  M21– теорема взаимности.Закон Фарадея-Максвелла для случая взаимной индукции:E12  M12Демонстрация:dI1dI, E21  M21 2 .dtdtВзаимная индукция218ПРИМЕРРасчёт взаимной индуктивности двух длинных соленоидов, надетых друг на другаНа катушку длиной l и сечением S навито две обмотки с числом витков N1 и N2(РИС.

26.10А), соединённые последовательно так, что ток по ним будет течь в однусторону (схема на РИС. 26.10Б). Найти взаимную индуктивность обмоток и индуктивность системы.⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙2I ⊙⊙⊙⊙⊙1,,⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗SIL1IL2lабРис. 26.10Пустим по обмоткам ток I. Магнитные поля, создаваемые обеими обмотками, однородны, так как соленоид длинный, и направлены в одну сторону (РИС.

26.10А).Модуль индукции магнитного поля обмотки 1 (см. ПРИМЕР 2 В РАЗДЕЛЕ 3.7.2)μNIB1  0 1 .lПоток магнитного поля, создаваемого обмоткой 1, сквозь поверхность, натянутуюна виток обмотки 2,μ N SIΦ12  B1 Sn2  B1S  0 1 ,lпотокосцеплениеμ N N SIΨ12  N2Φ12  0 1 2 .lАналогично потокосцепление обмотки 2, обусловленное током в обмотке 1,μ N N SIΨ21  0 1 2 .lКоэффициенты взаимной индукцииμNNSΨM12  12  0 1 2  M21 .IlПолучилось M12 = M21; таким образом мы доказали теорему взаимности для частного случая.Потокосцепление всей системыΨ  Ψ11  Ψ22  Ψ12  Ψ21 ,где Ψ11, Ψ22 – собственные магнитные потоки обмоток 1 и 2 соответственно;219μ0 N12Sμ N 2SI , Ψ22  0 2 Ill(см.

ПРИМЕР 1) РАЗДЕЛА 3.9.2). ПолучимΨ11 μ0 N12Sμ0N22SμNNSμS2ΨII  2 0 1 2 I  0  N1  N2  I .llllИндуктивность системыΨ μS2L   0  N1  N2  .IlВ случае, когда токи в обмотках текут в разные стороны,μNNSμSμS22M12  M21   0 1 2 , Ψ  0  N1  N2  I , L  0  N1  N2  .lll220Лекция 273.10.

Энергия магнитного поля3.10.1. Энергия проводника с токомПусть проводник индуктивностью L включён в электрическую цепь. Найдём энергию проводника при токе I, т. е. работу индуцированного электрического поля (ЭДСсамоиндукции Es) при возрастании тока в проводнике от 0 до I.Приращение энергии при перемещении по проводнику малого заряда dqdW  δA*  δAs  Esdq ,здесь δA* – работа внешних сил, δAs – работа электрического поля.

Так как dq = Idt,dIа Es   L ,dtdIdW  L Idt  LIdI ;dtILI 2W   LIdI .20Энергия магнитного поля проводника индуктивностью L при токе IWLI 2 Φs I Φ2s,222L(27.1)где Φs – собственный магнитный поток (потокосцепление) проводника.3.10.2. Энергия взаимодействия проводников с токамиПусть имеются два проводника с токами I1 и I2, расположенные близко друг к другу(РИС.

26.9). Энергия магнитного поля этой системыW  W1  W2  W12 ,где W12 – взаимная энергия.Энергия магнитного поля равна работе источников тока, которая необходима длятого, чтобы это поле создать, т. е. увеличить токи в проводниках от 0 до I1 и I2 соответственно. Сначала доведём ток в контуре 1 от 0 до I1 (при разомкнутом контуре2); работа источника в контуре 1 по (27.1)L1 I12,2где L1 – индуктивность проводника 1. Затем замкнём контур 2 и увеличим ток внём от 0 до I2. Работа источника в контуре 2A1*  W1 L2 I22,2здесь L2 – индуктивность проводника 2.

Но при этом благодаря взаимной индукциив контуре 1 будет возникать электрическое поле (ЭДС взаимной индукцииdIE21  M21 2 ). Чтобы скомпенсировать его влияние, источник в контуре 1 долженdtсовершать дополнительную работу по перемещению малого заряда dq1 = I1dtA2*  W2 221dI2I1dt  M21I1dI2 ;dtинтеграл от этого выражения по I2 при I1 = const – взаимная энергия*δA21 E21dq1  M21I2A  W21   M21 I1dI2  M21 I1I2 .*210Итак, энергия магнитного поля двух проводниковL1 I12 L2I22W M21 I1 I2 .22Если действовать в обратной последовательности, т. е.

сначала увеличивать ток вконтуре 2, затем – в контуре 1, то результат должен быть тем же:W  W1  W2  W12  W1  W2  W21 ⇒ W12  W21 ⇒ M12  M21 .Мы доказали теорему взаимности (см. РАЗДЕЛ 3.9.3).3.10.3. Объёмная плотность энергии магнитного поляЭнергия магнитного поля длинного прямого воздушного соленоида индуктивностью L, по которому идёт ток I,WLI 2.2VИндуктивность соленоида22μ0 N S μ0 N Sl μ0n2V ,(27.2)2llгде N – число витков соленоида, l – его длина, S – площадь поперечного сечения,NV = Sl – объём соленоида, n  – плотность намотки. Подставим (27.2) в (27.1):lLμ0n2I 2B2WVV,22μ0так как модуль индукции магнитного поля длинного соленоида B = µ0nI.Объёмная плотность энергии магнитного поляwW B2.V 2μ0Этот результат обобщается на случай неоднородного магнитного поля.В вакууме напряжённость магнитного поля H BH;2эта формула справедлива для любой среды.В однородной неферромагнитной средеwwB22μ0B(см.

Характеристики

Список файлов лекций