1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

т. д.3.4. Электрическая ёмкость3.4.1. Ёмкость уединённого проводникаУединённый проводник – проводник, удалённый от других тел, так что влияниемих электрических полей можно пренебречь.Рассмотрим, как изменяются напряжённость электрического поля и потенциалуединённого проводника при изменении его заряда. При увеличении заряда в n разнапряжённость поля и потенциал увеличатся также в n раз (см.

ПРИМЕРЫ В РАЗДЕЛЕ3.2.4).Электрическая ёмкость уединённого проводника – характеристика проводника, равная отношению заряда проводника к его потенциалу:CQ, C   Ф (фарад).φЁмкость не зависит от заряда, потенциала и прочих характеристик электрическогополя, она зависит от формы и размеров проводника и диэлектрических свойствсреды, его окружающей.ПРИМЕРЁмкость шараУединённый проводник – металлический шар радиуса R находится в вакууме(РИС.

22.5). Найти ёмкость проводника.179Мысленно зарядим проводник зарядом Q и рассчитаемпотенциал проводника (потенциал отсчитывается отбесконечно удалённой точки).Сначала найдём напряжённость электрического поляиз теоремы Остроградского-Гаусса для E :SQROr EdS qSASε0.Поверхность интегрирования S – сфера радиуса r, где r– расстояние от центра шара до точки, где измеряетсяполе, концентричная заряженному шару.

Поток E EdS  E 4πrРис. 22.52rS(см. ПРИМЕР 1) В РАЗДЕЛЕ 3.2.3), охваченный заряд равен заряду шара Q;QQ⇒ Er .Er 4πr 2 4πε0r 2ε0Потенциал шара найдём из интегральной связи напряжённости и потенциала электростатического поля:RRRQ drQ 1Qφ    Er dr  .24πε0  r4πε0 r  4πε0RПо определению ёмкостиCQ 4πε0R .φ3.4.2. Взаимная ёмкость двух проводниковРассмотрим систему, состоящую из двух проводников, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку(РИС. 22.6).

Разность потенциалов между проводниками пропорциональна модулю их заряда: φ+ – φ– ~ q. ОтношениеCqφ  φ–qqφ+φ–Рис. 22.6– взаимная ёмкость проводников. Эта величина зависит от размеров, формы,взаимного расположения проводников и диэлектрических свойств среды и не зависит от заряда, потенциала и прочих характеристик электрического поля.3.4.3. КонденсаторыКонденсатор – система двух проводников, расположенных настолько близко другк другу, что, если этим проводникам сообщить одинаковые по модулю, но разныепо знаку заряды, электрическое поле будет в основном сосредоточено между этимипроводниками – обкладками конденсатора.

Модуль заряда каждой из обкладок –заряд конденсатора.Ёмкость конденсатора – характеристика конденсатора, равная отношению заряда конденсатора к модулю разности потенциалов между его обкладками (напряжению на обкладках):180CQQ .φ  φ U(22.5)Ёмкость конденсатора зависит от формы и размеров обкладок, их взаимного расположения, диэлектрических свойств среды между обкладками и не зависит от заряда, напряжения и т. п.Для расчёта ёмкости любого конденсатора нужно мысленно придать ему заряд,найти напряжение между обкладками, а затем ёмкость по определению (22.5).В ТАБЛИЦЕ 22.1 представлены конденсаторы простейшей формы и стандартныеформулы57 для вычисления их ёмкости.

Примеры вывода подобных формул даныНИЖЕ.Таблица 22.1КонденсаторыПлоскийЦилиндрическийСферическийR2εεR1εOlSR1R2dd << размеров пластинε εSC 0dR2  R1Cl2πε0εlRln 2R1C4πε0εR1R2R2  R1ПРИМЕРЫ1) Расчёт ёмкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектрикомИмеется плоский конденсатор, площадь обкладок которого равна S, расстояниемежду обкладками – d, пространство между обкладками заполнено диэлектрикомс относительной диэлектрической проницаемостью ε (РИС. 22.7). Найти ёмкостьконденсатора.Эти формулы относятся к конденсаторам, пространство между обкладками которых заполненооднородным диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε. В других случаяхформулы для вычисления ёмкости нужно выводить заново, пользуясь определением ёмкости.57181QЗарядим обкладки конденсатора зарядом Q.

Найдём электрическое смещение впространстве внутри конденсатора с помощью теоремы Остроградского-Гаусса–Qε DdS     q ASздесь qSS,– сумма свободных зарядов,охваченных поверхностью S′. Поверхность интегрирования S′ выберем в видеS′цилиндра, основания которого параллельны обкладкам конденсатора, одинdxиз торцов располагается вне конденса0тора (за положительно заряженной обРис. 22.7кладкой), а другой – внутри конденсатора.

Вне конденсатора поле отсутствует (это легко показать с помощью принципасуперпозиции полей, воспользовавшись результатом РАСЧЁТА ПОЛЯ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ ПЛОСКОСТИ ), внутри конденсатора оно однородно; DdS   D S xSторц, q S , σSторцQ.SЗаметим, что легко найти поток D мы можем благодаря тому, что пластины считаются большими, т. е. практически бесконечными – мы пренебрегаем краевыми эффектами. ПолучимQDx  σ  .Sσ – поверхностная плотность заряда положительно заряженной обкладки, σ Далее, найдём напряжённость электрического поля через связь D и EDQ.D  ε0εE ⇒ E x  x ε0ε ε0εSЗатем найдём разность потенциалов между обкладками конденсатора, воспользовавшись интегральной связью напряжённости и потенциала электростатическогополя:00QQddx .ε εSε0εSd 0U  φ  φ  φ 0  φ  d     E x dx   dНаконец, по определению ёмкости (22.5)Q ε εSC  0Ud– формула, приведённая в ТАБЛ.

22.1.Демонстрация: Плоский раздвижной конденсатор1822) Расчёт ёмкости воздушного коаксиального кабеля (цилиндрического конденсатора)Имеется воздушный коаксиальный кабель (в пространстве между обкладкамиε = 1), радиусы обкладок равны R1 и R2 (РИС. 22.8). Найти ёмкость кабеля, приходящуюся на отрезок единичной длины.Ход решения будет аналогичен ПРЕДЫДУЩЕМУ ПРИМЕРУ.

Зарядим обкладки линейτными плотностями τ (внутреннюю об–τкладку) и –τ (внешнюю обкладку). Так какмежду обкладками нет диэлектрика,можно обойтись без D . Теорема Остроградrhского-Гаусса для EA EdS qSSε0S.Поверхность интегрирования S выберем ввиде цилиндра, коаксиального (соосного)кабелю, произвольной высоты h, многоРис. 22.8меньшей длины кабеля, радиуса r, где r –расстояние от оси кабеля до точки, в которой измеряется поле. Внутри внутреннего провода (при r < R1) и вне кабеля (при r > R2) поля нет.Поток E EdS  E 2πrh ,rSзаряд, охваченный поверхностью S, qS τh (см.

ЗАДАЧУ О ПОЛЕ ТОНКОЙ ДЛИННОЙНИТИ ). ПолучимEr 2πrh ττh⇒ Er .2πε0rε0Напряжение на обкладках конденсатораR1R1Rτ drτln 2 .2πε0 r 2πε0 R1R2U  φ  φ  φ  R1   φ  R2     E r dr   R2Ёмкость, приходящаяся на отрезок кабеля единичной длины,τ 2πε0.C1  R2UlnR13) Расчёт ёмкости сферического конденсатора с двухслойным диэлектрикомИмеется сферический конденсатор, радиус внутренней обкладки которого равенR1, радиус внешней обкладки – R2, заполненный двумя слоями диэлектрика: диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε1 (область I наРИС.

22.9) примыкает вплотную к внутренней обкладке, диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε2 (область II) – к внешней обкладке, радиусграницы разделал диэлектриков равен R0. Найти ёмкость конденсатора.183ε2IЗарядим конденсатор: пусть внутренняя обкладкаимеет заряд Q, а внешняя обкладка – заряд –Q. Электрическое поле существует только в пространстве между–Q обкладками (R < r < R ). Применим теорему Остроград12ского-Гаусса для Dε1rQ O R1 DdS   q R2R0SS.Выберем поверхность интегрирования S в виде сферы,концентричной конденсатору. Поток DII DdS  D 4πrrРис. 22.92,Sохваченный поверхностью S свободный заряд равен Q,Q.Dr 4πr 2  Q ⇒ Dr 4πr 2Связь между напряжённостью электрического поля и электрическим смещениемDDQ.D  ε0εE ⇒ EIr  r  c , EIIr  r ε0ε1ε0ε2 4πε0ε2r 2Напряжение на обкладках конденсатораR0R1R1R0RQ dr 1 Q drU  φ  φ  φ  R1   φ  R2     E r dr    E IIr dr   E Ir dr   4πε0ε2 r 2 R0 4πε0ε1 r 2R2R2R0R2Q  14πε0  ε2rQ  1111  4πε0  ε2R0 ε2R2 ε1R1 ε1R0 R2R0 Q ε1R1R2  ε1R0R1  ε2R0R2  ε2R1R2.4πε0ε1ε2R0R1R2R01ε1rR1Ёмкость конденсатораC4πε0ε1ε2R0R1R2Q.U ε1R1R2  ε1R0R1  ε2R0R2  ε2R1R2При ε1 = ε2 = ε этот результат переходит в формулу, приведённую в ТАБЛ.

22.1.184Лекция 233.4.4. Соединения конденсаторов1. Последовательное соединениеПоследовательное соединение конденсаторов – соединение, при котором конденсаторы соединяются разноимённо заряженными обкладками.На РИС. 23.1 изображена схема батареи из N конденсаторов, соединённых последовательно. Заряд каждого конC1C2CiCNденсатора равен заряду всей батареи, так как все обРис. 23.1кладки кроме крайних (левая обкладка конденсатора С1и правая обкладка CN на схеме РИС. 23.1) изолированы исумма их зарядов равна нулю:Q1  Q2   Qi   QN  Q .Напряжение на i-м конденсатореUi Qi.CiНапряжение на батарее есть сумма напряжений на каждом из конденсаторов:Q1U  Ui   i  Q .CiCiЁмкость батареиCQU11C⇒11 .CCii2. Параллельное соединениеПараллельное соединение конденсаторов – соединение, при котоC1ром конденсаторы соединяются одноимённо заряженными обкладками.На РИС.

Характеристики

Список файлов лекций