1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

При напряжённости электрического поля, направленной так, как показано на рисунках 21.2 и 21.3, связанные заряды на внешней границе справа – положительные, а на внутренней – отрицательные. Поэтому направление вектора поляризации фрагмента образца, попадающеговнутрь поверхности S, будет противоположным и Pn  σi ,Рис. 21.3  qS    Pni ΔS i S    P ΔS iiS.В пределе при ΔSi → 0 PdS     qSS(21.4)– теорема Остроградского-Гаусса для P : поток поляризованности сквозь произвольную замкнутую поверхность равен сумме связанных зарядов, охваченной этойповерхностью, взятой с обратным знаком.б) Теорема Остроградского-Гаусса для E и DНапряжённость электрического поля в веществе – это напряжённость усреднённогополя, созданного как свободными (напряжённость поля E0 ), так и связанными( E  ) зарядами.

Напряжённость поля связанных зарядов направлена против полясвободных зарядов, поэтому E < E0.Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля172 EdS   q     qSε0SСумма связанных зарядов qS.(21.5)не поддаётся прямому расчёту. Выразим этуSсумму из (21.4):  qS   PdS ⇒ ε0  EdS    q S   PdS ,SSS  ε E  P  dS    q 0SS– теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поляв веществе.Введём вспомогательную величинуD  ε0 E  P(21.6)– электрическое смещение (электрическая индукция); DdS   q SS(21.7)– теорема Остроградского-Гаусса для электрического смещения: поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью.D – это вспомогательная векторная характеристика электрического поля, помогающая расчёту E .в) Связь E и DФормула (21.6) – определение.Для изотропного диэлектрика55 (несегнетоэлектрика) P E , P  ε0æE иD  ε0 E  ε0æE  ε0 1  æ  E .Обозначимε 1 æ– относительная диэлектрическая проницаемость вещества.

Связь D и E запишется какD  ε0εEУ всех диэлектриков ε > 1; у полярных диэлектриков эта характеристика больше, унеполярных – меньше.Для изотропных диэлектриков смысл относительной диэлектрической проницаемости – величина, показывающая во сколько раз диэлектрик ослабляет электрическое поле свободных зарядов(см. ПРИМЕР). Задачи на расчёт характеристик электрического поля в изотропном диэлектрикеможно решать и без использования D (вводя ε в формулировку теоремы Остроградского-Гаусса дляE ), но мы настаиваем на том, чтобы студенты использовали эту величину и теорему Остроградского-Гаусса для D .55173Для анизотропных диэлектриков D и E не параллельны.

Диэлектрические свойства вещества определяются тензором диэлектрической проницаемости ε xx ε xy ε xz  ε yx ε yy ε yz  иε zx εzy εzz  εxxD  ε0  ε yxε zxεxz   E x  ε yz   E y  .εzz   E z εxyε yyεzyПРИМЕРПоле точечного заряда в однородном диэлектрикеТочечный заряд Q > 0 находится в безграничном диэлектрике с относительной диэлектрической проницаемостью ε (РИС. 21.4). Найдём ряд векторных характеристикэлектрического поля, создаваемого этим зарядом.Так как в пространстве имеется диэлекSтрик, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для DεDdS q .QrS⊕ SВыберем поверхность интегрирования S ввиде сферы радиуса r – расстояние от заряда Q до точки A, в которой исследуетсяполе, с центром в точке, где расположен заряд Q; нормаль dS направлена радиально,как и D . Поток DAРис.

21.4 DdS  D 4πrr2,Sохваченный заряд qS Q . ПолучимDr 4πr 2  Q , Dr Q.4πr 2Связь между D и E :D  ε0εE ⇒ Dr  ε0εE r , Er DrQ.ε0ε 4πε0εr 2Поляризованность, исходя из определения D (21.5),ε0QQQ  11  .P  D  ε0 E ⇒ Pr  Dr  ε0Er 224πr 4πε0εr4πr 2 εНайдём также напряжённость электрического поля свободных и связанных зарядов. Проекция напряжённости электрического поля свободных зарядов на радиальное направление (см. 3.2.2)174E 0r Q.4πε0r 2Так как E  E0  E  , напряжённость электрического поля связанных зарядовEr  Er  E0r QQQ 1  1  0224πε0εr 4πε0r4πε0r 2  ε– поле связанных зарядов направлено против поля свободных зарядов.ОтношениеEr 1 1E 0r ε– диэлектрик ослабляет электрическое поле свободных зарядов в ε раз.Демонстрация: Изменение потенциала при вводе диэлектрической пластины4.

Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной формеДивергенция div E  E– скалярная функция векторного аргумента.В декартовых координатахE EEdiv E  x  y  z ;xyzв сферических координатахdiv E 1  21 1 Eφ;rEEsinθrθr 2 rr sin θ θr sin θ φв цилиндрических координатахdiv E E1 1 ErEr   φ  z .r rr φ zМожно доказать, что из теоремы Остроградского-Гаусса в интегральной форме(21.4), (21.5), (21.7) следует теорема Остроградского –Гаусса в дифференциальнойформе: PdS     qS DdS   q S EdS SSSdivP  ρ ,⇒divD  ρ ,⇒  q     qSε0S⇒div E ρ  ρ.ε0(21.8)175ПРИМЕРРасчёт объёмной плотности связанных зарядов (см.

ПРЕДЫДУЩИЙ ПРИМЕР)Точечный заряд Q находится в безграничном диэлектрике относительной диэлектрической проницаемостью ε. Найти объёмную плотность связанных зарядов в диэлектрике как функцию от расстояния r от заряда Q.РАНЕЕ была получена зависимость поляризованности от r:Q  1Pr  r  1 .4πr 2 εРассчитаем объёмную плотность связанных зарядов по теореме ОстроградскогоГаусса для P в дифференциальной форме (21.8):ρ   div P  1 d 21 d  r 2Q  1  r Pr   2 1    0 .r 2 drr dr  4πr 2 ε Лекция 223.3.3. Электрическое поле в диэлектриках (продолжение)5. Условия на границе раздела двух диэлектриковПроанализируем, как изменяется электрическое поле при переходе из одной среды(диэлектрика) в другую.Пусть имеются два изотропных диэлектрика (относительные диэлектрическиепроницаемости ε1 и ε2), граничащие друг с другом (РИС.

22.1). В среде с ε1 существуетэлектрическое поле с напряжённостью E1 и электрическим смещениемD1 . Свободные заряды на границе раздела сред отсутствуют. Найдём векторныехарактеристики поля в среде с ε2 – E2 и D2 (в проекциях на нормаль n и касательную τ к поверхности раздела сред).1ε1ε1ε2ε2 4S23LабРис. 22.11) DnВоспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для D DdS   q SS.176Выберем поверхность интегрирования S в виде цилиндра, основания которого параллельны границе раздела сред, а высота мала (РИС. 22.1А). Поток D DdS  DS1n торцS DdS  DS2n торцSбокохваченный поверхностью S заряд0 q S  D2n  D1n  S торц ; 0 , так как свободные заряды на гра-нице раздела отсутствуют.

ПоэтомуD2n  D1n(22.1)– нормальная составляющая вектора электрического смещения не претерпеваетскачка на границе раздела диэлектриков.2) EnСвязь D и E в изотропном диэлектрикеD  ε0εE ,поэтомуD1n  ε0ε1E1n , D2n  ε0ε2E 2n .С учётом условия (22.1)ε0ε1E1n  ε0ε2E2n ⇒E2n ε1E1n ε2(22.2)– нормальная составляющая напряжённости электрического поля претерпеваетскачок на границе раздела диэлектриков.3) EτВоспользуемся I уравнением Максвелла – условием потенциальности электростатического поля Edl  0 .LВыберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна пара сторон которого параллельная границе раздела сред (стороны 1-2 и 3-4 на РИС.

22.1Б), а другаямала (стороны 2-3 и 4-1). Циркуляция E по контуру L31 Edl  E1τ l12   Edl  E2τ l34   Edl   E1τ  E2τ  l12  0 ,L2040E 2τ  E1 τ(22.3)– тангенциальная составляющая напряжённости электрического поля не претерпевает скачка на границе раздела диэлектриков.4) DτИз связи между D и E и условия (22.3) получимD1τ  ε0ε1E1τ , D2τ  ε0ε2E 2τ ⇒D1τ D2τ,ε1ε2177D2τ ε2D1τ ε1(22.4)– тангенциальная составляющая электрического смещения претерпевает скачокна границе раздела диэлектриков.3.3.4.

Проводники в электростатическом полеСвойства электростатического поля в проводниках561. Внутри проводника напряжённость электрического поля равна нулю:внутриE 0.В противном случае по проводнику будет идти ток, так как в проводнике имеютсясвободные заряды, свободно перемещающиеся под действием электрическогополя.Демонстрация: Клетка Фарадея2. Напряжённость электрического поля перпендикулярна поверхности проводника:E τ  0 , E  En .Если Eτ ≠ 0, то по поверхности проводника будет идти ток.3. Нескомпенсированный заряд располагается на поверхности проводника:ρ0.ДоказательствоПроведём внутри проводника произвольную замкнутую поверхность S (РИС. 22.2).

Теорема Остроградского-Гаусса для D DdS   q SНо D  0 , так как E  0 , поэтомуSS. DdS  0 и  qSS 0 , т. е. неском-Рис. 22.2пенсированного заряда внутри проводника нет.Демонстрация: Стекание заряда с острия4. Поверхность проводника эквипотенциальна (а также весь объём проводника):φ  const .ДоказательствоНайдём разность потенциалов между точками 1 и 2 на одном проводнике, соединив эти точки кривой, целиком лежащей внутрипроводника (РИС.

22.3), и воспользовавшись интегральной связьюнапряжённости и потенциала электростатического поля:212Δφ12    Edl  0 ⇒ φ1  φ2 , ч. т. д.Рис. 22.31Демонстрация:Распределение заряда на поверхности проводникаСледует отметить, что эти утверждения относятся только к электростатическому полю в проводниках, т. е. к случаю, когда электрический ток отсутствует.561785.Нормальная проекция электрического смещения у поверхности проводникаравна поверхностной плотности свободных зарядов:Dn  σ .ДоказательствоПрименим теорему Остроградского-Гаусса для D , выбравповерхность интегрирования S в виде цилиндра, одно изоснований которого лежит внутри проводника, а другоеплотно прилегает к поверхности проводника с внешнейстороны (РИС. 22.4): DdS   q SSSРис. 22.4; DdS  D Sn торц,Sтак как внутри проводника D  0 и потоки D через все стороны цилиндра S, кромевнешнего торца, равны нулю; q S σSторц ,так как заряд распределён только по поверхности проводника;DnSторц  σSторц ⇒ Dn  σ , ч.

Характеристики

Список файлов лекций