1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Молекулярно-кинетическая теория явлений переноса (на примере внутреннего трения)Рассмотрим два слоя газа, расстояние междуzкоторыми равно 2 λ , движущихся параллельно друг другу со скоростями u1 и u2u , u12v (РИС. 15.1).SБлагодаря тепловому движению молекулыпереходят из одного слоя в другой, соударяzются друг с другом и обмениваются импульсами (см. «АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР»), в т. ч.компонентами импульса, соответствующими упорядоченному движению, поэтомуxимпульсы упорядоченного движения слоёввыравниваются.Рис. 15.1Среднее расстояние между точками, в которых происходят последовательные столкновения молекулы, равно λ . Поэтомуположим u1  u  z  λ  , u2  u  z  λ  .Потери импульса слоя 1 за время ΔtΔp1  ΔN12m0u1 ,где m0 – масса молекулы, ΔN12 – число молекул, перешедших из слоя 1 в слой 2; импульс, приобретённый слоем 1,Δp1  ΔN21m0u2 ,где ΔN21 – число молекул, перешедших из слоя 2 в слой 1.

Изменение импульса слоя1Δp1  ΔN12m0u1  ΔN21m0u2 .Найдём ΔN12 и ΔN21:nΔN12  S v Δt  ΔN216(ср. 2.2.3), n – концентрация газа, ΔN = const. Изменение импульса слоя 1mnΔp1  0 S v  u2  u1  ;6так как m0n = ρ – плотность газа,Δp 1f x  1  S v ρ  u2  u1  ;Δt 6uu2  u1  Δz ,zΔz  2 λ , поэтому1271ufx  ρ v λS.6zПо закону Ньютона f x  ηuS , отсюдаz1η ρ v λ .31. Механика401.14. Механические колебания411.14.1. Виды колебанийКолебания – периодические изменения какой-либо физической величины во времени.

Система тел, в которой происходят колебания, – колебательная система.Колебания могут иметь разную физическою природу, но схожее математическоеописание. Сейчас мы будем рассматривать механические колебания.Колебаниясвободныеколебательная системапредоставлена самой себенезатухающиевынужденныепри периодическом внешнемвоздействиизатухающиеW↓1.14.2. Свободные незатухающие колебания (собственные колебания)Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника (трения нет) в горизонтальном направлении. Груз – материальная точкаkмассы m – колеблется на пружине жёсткостьюk (РИС.

15.2), после того как его вывели из поOложения равновесия (точка O) и предоставили систему самой себе.Рис. 15.2Запишем II закон Ньютона для груза:mxma  Fт  N  F упр .Спроецируем это уравнение на ось x. Так как Fупр x = –kx,max  kx .Материал параграфов 1.14 и 1.15 выносится на конец I семестра.Материал параграфов 1.14 и 1.15 входит в экзаменационную программу II семестра.

Материаллекций 15 (раздел «Механические колебания»), 16 и 17 может быть, по обстоятельствам, прочитанво II семестре перед темой «ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ» или параллельно материалу этой темы.4041128По определению, ax d2x. Получим дифференциальное уравнениеdt 2md2x kd2x x 0.kx0⇒dt 2 mdt 2Обозначимk ω02 ;md2x ω02 x  02dt(15.1)– дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний.Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение42x t   Acos ω0t  φ(15.2)содержит две произвольные константы A и φ. Данные константы определяются изначальных условий.Пусть при t = 0 x = x0, vx = 0 (груз оттянули на x0 и отпустили без начальной скорости). Первая производная функции (15.2) – проекция скорости груза на ось xdx vx  t    Aω0 sin  ω0t  φ  .(15.3)dtПодставим начальные условия в функции (15.2) и (15.3) и найдём константы A и φ:x  0  A cos φ,x0  A cos φ , φ  0,⇒⇒0   Aω0 sin φ vx  0   Aω0 sin φ  A  x0 .Частное решение дифференциального уравнения (15.1) при данных начальныхусловияхx t   x0 cos ω0t ;проекции скорости и ускорения на ось xvx t   x0ω0 cos ω0t , ax t   x0ω02 cos ω0t .Графики функций x(t), vx(t), ax(t) представлены на РИС.

15.3. Решение (15.2) – гармоническая функция.В общем решении (15.2):A – амплитуда колебаний – максимальное отклонение колеблющейся величиныот равновесного значения;ω0 – циклическая частота;выражение в скобках (аргумент косинуса) – фаза колебаний;φ – начальная фаза.Введём другие характеристики гармонических колебаний:Студентам предлагается проверить самостоятельно, является ли формула (15.2) общим решением дифференциального уравнения (15.1).42129период T – время, за которое колебательная система совершает одно полное колебание;частота ν – число полных колебаний в единичный промежуток времени;Tω0  ω0 12π ;, ν2π Tω0рад 1 с ,  ν   Гц (герц).сxx00t–x0аvxx0ω00t–x0ω0бРис.

15.3а, б130axt0Рис. 15.4вЭнергия колебаний (механическая энергия колебательной системы)mv2 kx 2 const22(студенты проверяют выполнение этого равенства самостоятельно).Демонстрация: Пружинные маятникиW  Wк  Wп ПРИМЕРЫ1. Математический маятникМатематический маятник – материальная точка,подвешенная на невесомой нерастяжимой нити в одно⊙родном гравитационном поле.zНайдём период колебаний математического маятникамассы m на нити длиной l (РИС.

15.4). Запишем II законlНьютона:φma  Fт  T .mСпроецируем это уравнение на оси естественной системы координат:man  T  Fт cos φ ,Рис. 15.5maτ  Fт sin φ .(15.4)Груз вращается вокруг оси z по окружности радиуса l. Выразим тангенциальноеускорение маятника через угловое ускорение:aτ  εz l ,(15.5)а по определениюd 2φεz  2 .dtПодставим (15.5) и (15.6), а также Fт = mg в уравнение (15.4):md 2φl  mg sin φ ,dt 2(15.6)131d 2φ g sin φ  0 .dt 2 lПри малых углах sin φ ≈ φ и это дифференциальное уравнение примет видd 2φ ω02φ  0 ,2dt– дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний, гдеω0 g.lПериод колебаний математического маятника зависит только от его длины: T T  2π2π,ω0l.g2.

Физический маятник⊙z⊗⊗dφCФизический маятник – твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через точкиэтого тела, не являющиеся его центром масс, в однородном гравитационном поле.Пусть масса маятника равна m, его момент инерции относительно оси маятника равен I, расстояние между центроммасс маятника и его осью z равно d (РИС. 15.5). Найдём период колебаний маятника.Запишем основное уравнение динамики вращательногодвижения:Iε  MFт  MNРис. 15.6( N – сила реакции оси маятника).

Спроецируем это уравнение на ось маятника:Id 2φ mgd sin φ .dt 2При малых углах φ sin φ ≈ φ иd 2φ mgdφ 0.dt 2IОбозначивmgd,Iполучим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Пе2πриод колебаний T ,ω0ω0 T  2πI.mgd132Приведённая длина физического маятника – длина математического маятника спериодом собственных колебаний, равным периоду собственных колебаний данного физического маятника.Демонстрация: Математический и физический маятникиИз приведённых выше примеров видно, что свободные незатухающие механические колебания будут гармоническими лишь при малых изменениях колеблющейся величины.133Лекция 161.14.3.

Свободные затухающие колебанияРассмотрим пружинный маятник (см. 1.14.2), введя силу сопротивления в видеF сопр  r v – сила вязкого трения, r – положительная константа. Колебательная система изображена на РИС. 16.1.Запишем II закон Ньютона для груза:ma  Fт  N  F упр  F сопр .В проекции на ось xmd2xdx kx  r,2dtdtkd 2 x r dx k x 0.dt 2 m dt mОбозначим ω0 mxOkиmРис. 16.1r 2β ,mβ – коэффициент затухания;d2xdx 2β  ω02 x  02dtdt(16.1)– дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.Это также однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вид его общего решения43 зависит от величины коэффициента затухания.1.

Сильное затухание (β ≥ ω0)Общее решение дифференциального уравнения (16.1)x t   A1eββ2 ω02 t A2eββ2 ω02 t– апериодическое решение, здесь A1 и A2 – постоянные, определяемые из начальныхусловий. Колебаний нет, имеет место апериодический процесс. Примерный графикапериодического процесса показан на РИС. 16.2.Можно провести решение дифференциального уравнения (16.1) через характеристическое уравнение.43134xx00Рис.

16.2t2. Слабое затухание (β < ω0)Общее решение дифференциального уравнения (16.1)x t   A0e βt cos  ωt  φ ,(16.2)гдеω  ω02  β 2– циклическая частота затухающих колебаний.Величины A0 и φ в решении (16.2) – это постоянные, определяемые из начальныхусловий. Заметим, что затухающие колебания не являются колебаниями в строгомсмысле этого слова (см. ОПРЕДЕЛЕНИЕ).Амплитуда затухающих колебанийAt   A0e βt ;период затухающих колебанийT2π2π.ωω02  β 2С другими характеристиками свободных затухающих колебаний познакомимся воII семестре (РАЗДЕЛ 3.13.2).График решения (16.2) при φ = 0 показан на РИС.

16.3.135x0TtРис. 16.3Демонстрация: Маятник с песком1.14.4. Вынужденные колебанияПружинный маятник – механическая система, описанная в РАЗДЕЛЕ 1.14.2, приналичии сопротивления, находится под воздействием, описываемым периодической силойF  F0 cosΩt ,Ω – циклическая частота вынуждающей силы.

Сила F направлена горизонтально(РИС. 16.4).mkOРис. 16.4Запишем II закон Ньютона для груза:ma  Fт  N  F упр  F сопр  F .В проекции на ось xd2xdxm 2  kx  r F0 cosΩt ,dtdtтак как Fупр x = –kx, Fсопр x = –rvx. ПолучимFd 2 x r dx k x  0 cosΩt .2dtm dt mmx136Обозначимkr ω02 ,  2β иmmF0 f0 ;md2xdx 2β  ω02 x  f0 cosΩt2dtdt(16.3)– дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение – сумма общего решения однородного уравнения (16.1) и частного решения неоднородного уравнения (16.3)(ищем решение при слабом затухании – β < ω0)x t   x1 t   x2 t  ;частное решениеобщее решениеНДУОДУ βtx1 t   A1e cos ωt  φ ;x2 t   A2 cos  Ωt  φ0  .ЗдесьA0e βt(16.4); A1 и φ – постоянные интегрирования; A2 и φ0 найдём подстанов-кой решения (16.4) в дифференциальное уравнение (16.3).Общее решение x1(t) быстро затухает.

В результате циклическая частота вынужденных колебаний будет равна циклической частоте Ω вынуждающей силы.Производные функции x2(t)dx2d2x  A2Ωsin  Ωt  φ0  , 2   A2Ω2 cos  Ωt  φ0  .dtdtПодставим эти производные в исходное дифференциальное уравнение (16.3):Ω2 A2 cos  Ωt  φ0   2βΩA2 sin  Ωt  φ0   ω02 A2 cos  Ωt  φ0   f0 cosΩt .(16.5)Это равенство должно соблюдаться при любом t, в т. ч. тогда, когда cos (Ωt + φ0) = 0либо sin (Ωt + φ0) = 0.

Преобразуем правую часть уравнения (16.3):f0 cosΩt  f0 cos  Ωt  φ0  φ0   f0 cos  Ωt  φ0  cos φ0  sin  Ωt  φ0  sin φ0  .Подставим это выражение в (16.5) и приравняем нулю сначала cos (Ωt + φ0), а затемsin (Ωt + φ0):22Ω A2  ω0 A2  f0 cos φ0 ,2βΩA2  f0 sin φ0 .Разделив нижнее равенство на верхнее, получимtg φ0 2βΩ.ω02  Ω2Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на φ0.(16.6)137Найдём амплитуду A2 вынужденных колебаний из первого уравнения системы(16.6):f cos φ0fff011,A2  0 2 2 0 2 2 0 222ω0  Ωω0  Ω 1  tg 2 φ0 ω0  Ω222 24β 2Ω2 ω0  Ω   4β Ω1222 ω0  Ω A2 f0ω02  Ω22 4β 2Ω2.(16.7)Исследуем зависимость A2(Ω). Значения функции на границах области определенияA2  0 f0, A    0 .ω02 2Функция (16.7) должна иметь максимум.

Характеристики

Список файлов лекций