1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Невозможен вечный двигатель II рода33, т. е. двигатель, который превращал бывсё подведённое к нему тепло в работу без каких-либо изменений в других телах.Возможны (но маловероятны) самопроизвольные отклонения термодинамических систем от равновесного состояния – флуктуации.33Вечный двигатель I рода – двигатель, совершающий работу без подвода энергии.1072.6.6. Изменение энтропии в термодинамических процессахВ неизолированной системе энтропия может как возрастать, так и убывать. δQ Обратимые процессы идут при максимальной энтропии, причём dS  или T обрат 2 δQ S 2  S1   .T1обратδQ, так как приращение энтропии обусловленоTдвумя процессами – подводом тепла и переходом системы к равновесному состоянию.Равновесный адиабатный процесс – изоэнтропический процесс (δQ = 0 → dS = 0).В необратимом процессе dS ПРИМЕРИзменение энтропии идеального газаИдеальный газ переходит из состояния с параметрами p1, V1, T1 в состояние с параметрами p2, V2, T2.

Найти изменение энтропии газа.Так как энтропия – функция состояния системы, то результат не должен зависетьот того, каким способом происходит переход из начального в конечное состояние.Перейдём из состояния 1 в состояние 2 обратимым образом. Как обсуждалось РАНЕЕ, возможны два обратимых процесса – квазистатический адиабатный и изотермический процессы. Поэтому точки 1 и 2 на диаграмме РИС. 12.2А мы соединим изотермой и адиабатой через промежуточное состояние 3:1-3 – изотермический процесс,3-2 – адиабатный процесс.На РИС.

11.2Б изображены графики тех же процессов в координатах (T, S).Рассчитаем изменение энтропии:032 2 δQ δQδQΔS12   . 1 T обрат 1 T1 3 TВ изотермическом процессе 1-3 δQ = δA = pdV, а pV = p1V1 ⇒ p 3pdV p1V1 dV p1V1 V3ΔS12  ln .T1T1 1 VT1V11p1V1;V3(12.1)108p1T2213030VSабРис. 12.2Найдём V3 из уравнений адиабатного и изотермического процессов: p1V1  p3V3 ,γγ p2V2  p3V3 .Разделим нижнее уравнение на верхнее:1γ p2  γ 1 V2γ 1p2 Vγ 1⇒ V3   .V3 1p1 V1 p1 γ 1V1γ2Выразим показатель адиабаты γ через число степеней свободы i молекулы:γi 2i 22 γ i  2 i  i  2 ;1  ,⇒ γ 1 iii γ 1i 22i2i 222i21p  VV3   2  p1  V.Подставим это выражение в формулу (12.1):i 2ip1V1  p2  2 V2 2  p1V1  i p2 i  2 V2 ΔS12 ln  ln  . ln i  p1 T1T2p2V1 11V12 Так как из уравнения Менделеева-Клапейронаp1V1 νR ,T1pV  pV pV ΔS12  ν  CV ln 2  C p ln 2   1 1  CV ln 2  C p ln 2  .p1V1  T1 p1V1 2.6.7.

III начало термодинамикиIII начало термодинамики (тепловой закон Нернста): при стремлении к нулютермодинамической температуры энтропия термодинамической системы стремится к нулю.Другая формулировка: абсолютный нуль недостижим.Из закона Нернста следует, что для любой термодинамической системы109 dU CV   0. dT T 02.7. Классические распределения частиц идеального газа2.7.1. Функция распределенияПусть имеется термодинамическая система из N частиц; ξ – величина, характеризующая частицу. Вероятность того, что величина ξ будет иметь значение ξi,Ni,Nгде Ni – количество частиц, для которых ξ = ξi.Условие нормировки:Pi P  1i(так как то, что величина ξ примет какое-нибудь значение, есть достоверное событие).Среднее значение величины ξ:ξ  N ξ   PξNi ii i.Если величина ξ изменяется непрерывно, то вероятность того, что ξ = (ξ, ξ + dξ)dP  f  ξ  dξ ,где f(ξ) – функция распределения вероятности (плотность вероятности).ПРИМЕРРаспределение ГауссаРаспределение Гаусса – это функциявидаf  ξ   Ae α  ξ ξ 0 2f(ξ),где ξ0 – постоянная, α – положительнаяпостоянная; коэффициент A находитсяиз условия нормировки (см.

НИЖЕ). График распределения Гаусса показан наРИС. 12.3.По такому закону распределяются результаты серии большого числа случайных измерений34.Демонстрация: Доска Гальтона0ξ0ξРис. 12.3Свойства функции распределения351. Определённость и непрерывность во всей области определения ξ(a, b)34 Результаты серии небольшого числа случайных измерений (N ≲ 10) подчиняются распределениюСтьюдента (см. ВВОДНУЮ ГЛАВУ ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМА ).35 В «живой» лекции эти свойства можно записать математическими значками.1102.3.4.Дифференцируемость во всей области определенияИнтегрируемость во всей области определенияУсловие нормировки (нормируемость):b f  ξ dξ  1 .aЗная функцию распределения, можно найти среднее значение любого параметра,зависящего от ξ.Среднее значение ξbξ   ξf  ξ dξ .aСреднее значение квадрата ξbξ2  ξ 2 f  ξ dξ .aСреднее значение функции φ(ξ)bφ   φ  ξ  f  ξ dξ .aНаиболее вероятное значение ξdf  ξ dξ 0 ⇒ ξвер.ξ ξ верДополнительное заданиеНайти по РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ГАУССА (a → –∞, b → ∞): нормировочный множитель A, ξ ,ξ 2 , ξвер.111Лекция 132.7.2.

Распределение молекул идеального газа по скоростям (распределениеМаксвелла)Молекулы идеального газа движутся хаотически, но в этом хаосе есть закономерности. Рассмотрим идеальный газ из N частиц.Теперь случайная величина ξ – это модульскорости v молекул идеального газа.vzdvНайдём функцию распределения f(v).Рассмотрим подпространство фазовогопространства – пространство скоростей(vx, vy, vz). Плотность изобразительных тоvчек в этом пространстве будет равна Nf(v).Количество точек в сферическом слое раvyдиуса v толщиной dv (РИС.

13.1)OdN  Nf  v  4πv2dv .Вероятность попадания изобразительнойточки в этот слойdNdP  f  v  4π v2d v ;NvxРис. 13.1плотность вероятностиdP f  v  4π v2 .dvТак как все направления равноправны,F  v f  v   φ1  vx  φ2  v y  φ3  vz  ,(13.1)функции φ1, φ2, φ3 одинаковы: φ1 = φ2 = φ3 = φ. Прологарифмируем выражение(13.1):ln f  v   ln φ  vx   ln φ  v y   ln φ  vz  .Продифференцируем это выражение по vx:1 df  v  v1 dφ  vx ;f  v  d v vx φ  vx  d vxv vxv2x  v2y  v2zvx2vx2 v2x  v2y  v2zvx;vφvxv11f v.f v x φvx ⇒f  v  v φ  vx v f  v  vx φ  vx Аналогично, продифференцировав (13.2) по vy, vz, получимφv yφvzf vf v,.v f  v  v y φ  v y  v f  v  vz φ  vz (13.2)112Получается, чтоf vf v const .

Положим α . Тогдаv f  vv f  vdφ  vx 1 α .vx φ  vx  d vxРешим это дифференциальное уравнение методом разделения переменных:dφ  vx φ  vx 2αv xα v2 α vx d vx ⇒ ln φ  vx    x  const ⇒ φ  vx   Ae 2 .2Аналогичноφ  v y   Aeα v2y2, φ  vz   Aeα v2z2.По формуле (13.1)f  v  A e3α 2 2 2v x  v y  vz2Ae3α v22.(13.3)Выразим коэффициент A из условия нормировки: φ  v dvxx φ  v dvyy φ  v dvz1 ⇒ A ezα v2x2d vx  1 .Определённый интеграл в последнем выражении поддаётся вычислению в элеменαтарных функциях; в результате получим A . Подставим этот коэффициент в2πвыражение для f(v) (13.3):32αv α 2  2f  v  e. 2π Найдём α.

С одной стороны,m0 v2x1 3kT  kT ⇒ v2x 3 2m02(ср. РАЗДЕЛ 2.3.2), здесь m0 – масса молекулы. С другой стороны,v2x v φ  v  dv2xxx.Отсюда можно получитьαm0.kTИтак,2m0  m20kTvxφ  vx  e,2πkTаналогичные выражения для φ(vy), φ(vz);11332mv m 2  0f  v    0  e 2kT ; 2πkT 3(13.4)2mv 0 m 2F  v    0  4π v2e 2kT 2πkT – функция распределения Максвелла. График этой функции представлен наРИС. 13.2.F(v)T1T2 > T10vРис. 13.2Физический смысл площади под этой кривой на участке (v1, v2) – доля молекул соскоростями от v1 до v2vΔN 2 F  v dv .N v1При нагревании доля молекул с большими скоростями возрастает, а доля молекулс малыми скоростями убывает.Наивероятнейшая скорость молекулы идеального газа – скорость, соответствующая максимуму функции распределения F(v). Вычислим её:dF  v dv 0 ⇒ 2vверe2m0 vвер2kT2v2верv  vверvвер mv m0 2vвер   20kTверe0,2kT 2kT2RT.m0μСредняя скорость молекулы идеального газа:v   vF  v  d v , v 08kT8RT.πm0πμСредняя квадратичная скорость молекулы идеального газа:114v   v2 F  v  d v 20vкв 3kT,m03kT3RT.m0μВидно, что vвер  v  vкв (РИС.

13.3).F(v)0vквvверvРис. 13.32.7.3. Распределение молекул идеального газа по энергиямНайдём функцию распределения молекул идеального газа по кинетическим энергиям ε – F(ε). Число молекул с энергиями от ε до ε + dεdNε  NF  ε  dε .(13.5)Эти энергии соответствуют скоростям молекул от v до v + dv. Число молекул dNεможно выразить и через функцию распределения Максвелла F(v)36:dNε  NF  v  dv .(13.6)Приравняв (13.5) и (13.6), получимF  ε  dε  F  v  dv ;dv.(13.7)dεДля того чтобы найти F(ε), выразим скорость молекулы и функцию распределенияМаксвелла через кинетическую энергию:F ε   F  vε2ε d vm0 v22 11⇒ v,;2m0 dεm0 2 ε2m0 ε3m 2ε30ε2ε  m 2 m  2 8π  2kT.F  v    0  4π e 2kT m0   0 εem0 2πkT  2πkT  m036Функции F(v) и F(ε) – это разные функции.

Принято обозначать их одним символом.115Из (13.7) получимF  v 32 30m 2πeεkT2ε 12 12εe323223 2 π 3 2  kT  m0 2 m0 επ  kT F ε 2π  kT 32εeεkTεkT,.График этой функции показан на РИС. 13.4.F(ε)0vквεверεРис. 13.4Дополнительное заданиеДоказать, что наиболее вероятное значение кинетической энергии молекулы3kTkTεвер , среднее значение энергии ε .222.7.4. Барометрическая формулаРассмотрим столб идеального газа (молярная масса равна µ) в однородном гравитационном поле (ускорение свободного падения g ) при постоянной температуреT (изотермическая атмосфера).

Характеристики

Список файлов лекций