1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Инвариантность массы и силыПостулируется, что масса и сила – инварианты преобразований Галилея:m  m  inv , F  F   inv .II закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея:F   ma ⇒ F  ma .1.12. Специальная теория относительности1.12.1. 4-пространствоВремя относительно, как и пространство. Введём 4-пространство – линейное риманово (неевклидово) пространство координат и времени.4-радиус-вектор: ict  xr   , y  z здесь c – константа, имеющая размерность скорости; i – мнимая единица. Модуль4-радиуса-вектораr  x 2  y2  z 2  c 2t 2  inv(доказательство см. «ИНВАРИАНТНОСТЬ ИНТЕРВАЛА»).Мировая точка – точка в 4-пространстве.Мировая линия – кривая в 4-пространстве.ПРИМЕРМатериальная точка покоится в 3-пространстве.

Мировая линия – траектория этойматериальной точки в 4-пространстве (вернее, двумерная её проекция) – изображена на РИС. 8.3.74x0ictРис. 8.31.12.2. Преобразования ЛоренцаII закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея, а уравнения Максвелла (см. 3.1.6) – нет. Надо получить другие преобразования, опираясь насвойства симметрии пространства-времени28 (см. 1.1.2).Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта K и K′. Система K′ движется относительно системы K со скоростью v (РИС. 8.2). В момент совмещения начал координат часы синхронизированы: x = x′ = y = y′ = z = z′, t = t′.Искомые преобразования должны иметь видx  f  x ,t , v  ,t   g  x , t , v  ,где f и g – функции, которые нужно найти.При сдвиге координаты в системе отсчёта K на Δx и времени на Δt соответствующиесдвиги в системе K′Δx   f  x  Δx , t  Δt , v   f  x , t , v  ,Δt   g  x  Δx , t  Δt , v   g  x , t , v  .Это возможно только тогда, когда f и g – линейные функции x и t: x   a1 x  a2 vt ,a3t   v x  a4t .Коэффициенты a1, a2, a3, a4 безразмерны.

Их можно найти с помощью элементарных преобразований. В результате получаются преобразования Лоренца, приведённые в ТАБЛИЦЕ 8.2.Полностью данный вывод приведён в ПРИЛОЖЕНИИ . Делать его на лекции не рекомендуется изза громоздкости элементарных алгебраических преобразований.2875Таблица 8.2Преобразования ЛоренцаK′ → Kx   vt xv21 2cy  yK → K′x  vtx v21 2cy  yz  zvt   2 xctv21 2cz  zvt 2xct v21 2cЗдесь c = const. Видно, что v < c, т. е. c – предельная скорость.

Из опыта известно, чтоc – скорость света в вакууме.При v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.Подчеркнём, что преобразования Лоренца выводятся из свойств симметрии пространства-времени и не требуют других допущений. Однако, во многих учебниках(например, [1]) преобразования Лоренца выводятся другим способом – через постулаты Эйнштейна.Постулаты Эйнштейна1. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ2. Скорость распространения взаимодействий инвариантна относительно преобразований.1.12.3.

Следствия из преобразований Лоренца1. Инвариантность интервалаИнтервал между событиями 1 и 2 ΔS12:2ΔS12 c 2 t2  t1    x2  x1    y2  y1    z2  z1  .2222Интервал – инвариант преобразований Лоренца:ΔS12  inv .ДоказательствоДокажем, что малый интервал – дифференциал интервала dS12 – инвариант преобразований Лоренца:22  c2dt 2  dx2  dy2  dz2 .dS12 c2dt 2  dx2  dy2  dz2 , dS12 через время и координаты в системе отсчёта K:Выразим dS 12dt  vdxdx  vdtc2, dx  , dy  dy , dz  dz ;v2v21 21 2ccdt 76v2 2dx  2vdxdt  dx 2  v2dt 2  2vdxdt2c2 dS12 dy 2  dz 2 v21 2c v2c 2  v2 dt 2   2  1  dx 2c2 dy 2  dz 2  c 2dt 2  dx 2  dy 2  dz 2  dS 12,v21 2cc 2dt 2 ч.

т. д.2. Сокращение длины движущегося отрезка (лоренцево сокращение)Пусть отрезок 1-2 покоится относиy′yтельно системы отсчёта K′; для проtt′стоты расположим его вдоль оси x′l0(РИС. 8.4). Длина отрезка в системе от12счёта, в которой он покоится, – собственная длина отрезкаl0  l  .K′Выразим длину отрезка в системах отO′x′счёта K′ и K через координаты его конKцов:x1x2xOl0  x2  x1 ,Рис. 8.4l  x 2  x 1 .Выразим l0 через координаты и время в системе отсчёта K:l0 x2  vtx1  vtx 2  x1l,vvvv21 21 21 21 2ccccвремя t в обоих слагаемых этой формулы одно и то же, так как измерение координат x1 и x2 проводится одновременно.

Получается, что22l  l0 1 2v2,c2l < l0 – длина движущегося отрезка меньше длины покоящегося.773. Замедление хода движущихся часовyty′t′K′KO′x′Имеются часы с пружинным (или другим) маятником, точка подвеса которого покоится относительно системыотсчёта K′ (РИС. 8.5). Период колебаниймаятника в системе отсчёта, относительно которой точка подвеса маятникапокоится ( x1  x 2 ), – период собственных колебанийT0  T  ,T   t 2  t 1 [события 1 и 2 – два последовательных прохождения маятником поРис. 8.5ложения равновесия (или любой другойфазы колебаний)].

В системе отсчёта K события 1 и 2 происходят в точках с разными координатами x1 и x2, период колебаний маятникаT  t2  t1 .OxВыразим эту величину через координаты и время в системе отсчёта K′:vvt2  2 x2 t1  2 x1t  tccT 2 1 ,v2v2v21 21 21 2cccTT01v2c2T > T0 – ход движущихся часов замедляется.4. Относительность одновременностиЕсли события 1 и 2 в системе отсчёта K′ происходят в одно и то же время ( t 2  t1 ),но в разных местах ( x 2  x1 ), то t2 ≠ t1 – эти события не одновременны в системеотсчёта K. Это следует из преобразований Лоренца.При t 2  t1 и x 2  x1 возможно t2 < t1. Однако, если между событиями 1 и 2 имеетсяпричинно-следственная связь, то она не нарушается и t2 > t1.785.

Релятивистский закон сложения скоростейyty′t′K′KO′x′xOРис. 8.6Пусть материальная точка M движетсясо скоростью u  относительно системыотсчёта K′ (РИС. 8.6). Найдём её скоростьв системе отсчёта K.По определению, проекции скорости всистеме отсчёта K′dz dx dyux  , uy , uz  ;dt dt dt в системе отсчёта Kdxdzdyux , u y  , uz  .dtdtdtВыразим эти проекции через координаты и скорости в системе отсчёта K′:vdt   2 dx dx   vdt cdx , dy  dy , dz  dz , dt ;2vv21 21 2ccv2v2v2u1u1u  vdx   vdt c2  yc2 .c2 , u  zux  x, uy zvvvvvdt   2 dx  1  2 ux dt   2 dx  1  2 ux 1  2 ux cccccdy 1 Итак,v2v2u1u  vc2 .c2 , u  zux  x , uy zvvv1  2 ux 1  2 ux 1  2 ux cccuy 1 Ускорение не является инвариантом преобразований Лоренца. Формулы для преобразования компонент ускорений можно получить аналогичным образом – исходя из определения и преобразований Лоренца:duduax  x , ax   x  ⇒ …dtdt 79Лекция 91.13.

Релятивистская динамика1.13.1. Релятивистский импульсРассмотрим замкнутую механическую систему – два груза одинаковой массы m0,соединённых пружиной (РИС. 9.1). В системе отсчёта K′ центр масс данной механической системы покоится. В начальном состоянии пружина сжата, затем она разжимается и грузы движутся со скоростями u1  u и u2  u .Должен выполняться закон сохранения импульса: импульс данной замкнутой механической системы должен сохраняться в любой инерциальной системе отсчёта.yty′t′m0m0K′O′Kx′xOРис.

9.1Определим импульс материальной точки, как в классической механике:p  m0 u .Используя РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ, получим в системе отсчёта K:проекция начального импульса системы на ось xP1 x  2m0 v ,проекция конечного импульсаv  uv  u. m0vv1  2 u1  2 uccВидно, что P1x ≠ P2x. Получается., что в системе отсчёта K закон сохранения не выполняется, чего не может быть.Подберём такое выражение для импульса, чтобы py  py .

(В классической механикеP2 x  m0dy; так как dy = dy′, а dt = dt′, при таком определении py  py .) Возьмём вdtкачестве элементарного промежутка времени собственное время dτ = dτ′. Тогдаdydypy  m0 m0 py .dτdτp y  m0Но dτ  dt 1 u2, поэтомуc280py m0dydτm0dyu2dt 1  2cm0u yu21 2c,аналогичноpx m0ux2u1 2cm0uz, pz u21 2c;в векторной формеpm0 uu21 2c.Запишем это определение в виде, аналогичном формуле классической механики:p  mu ,здесь m – релятивистская масса:mm0u21 2c.1.13.2. Релятивистское уравнение динамики материальной точкиЕсли материальная точка изолирована, то её импульс p  mu  const . Если на точкудействуют другие объекты, то мера взаимодействия – сила F .

Запишем уравнениединамики:Δp  FΔtили, подставляя выражение для релятивистского импульса,ddtm0 uu21 2cF– релятивистское уравнение динамики материальной точки.Так как F  f  v, t  и ни время, ни скорость не являются инвариантами преобразований Лоренца, то и сила не является релятивистским инвариантом. Поэтому полученное уравнение динамики малополезно для решения задач.1.13.3. Энергия в релятивистской механикеПусть тело движется под воздействием других объектов, которое описывается силой F , направленной параллельно перемещению Δl (РИС. 9.2). Тело разгоняется отначальной скорости u0  0 до скорости u .81xOt 0x 0u0Wк  0t 0x 0u0Wк  0Рис.

9.2По теореме об изменении кинетической энергии работа силы FA  ΔWк  Wк .Найдём работу и, соответственно, кинетическую энергию тела. Элементарная работа на малом перемещении dl (dl = dx)δA  Fdl  Fdx cos0  Fdx ;так как из релятивистского уравнения динамики F dp, релятивистский импульсdtp  muδA d  mu dtdx  ud  mu  .Проинтегрируем это выражение:uuA  Wк   ud  mu   u  mu   mudu  mu2 00 mu2 m0c 22m0u212uc2u21 2c12m0c 212uc2uc22 0m0c2u21 2c 2u  du u u2 c2  1  2 c  mu2  m0  m0c 2 2u1 2c0m0u212uc2 m0c 2  mc 2  m0c 2 ,Wк  mc2  m0c2 .При u << c m u21u2Wк  m0c 2  1   m0c 2  1  2  1   02c2u2 1 2c– результат классической механики.82Полная энергияW  mc 2 .ПредставимW  mc2  Wк  m0c2 .При u = 0 W = W0 = m0c2;W0  m0c2– энергия покоя.Энергия покоя может переходить в другие виды энергии.ПРИМЕРЫ1) Реакция аннигиляцииПри взаимодействии частицы и её античастицы они аннигилируют (взаимно уничтожаются) с образованием фотонов.

Например, реакция электрона и позитронаe   e   2γ ,m0m0m0 = 0γ – фотон рентгеновского излучения. Массы покоя электрона и позитрона одинаковы (m0), а масса покоя фотона равна нулю. Энергия покоя электрона и позитронапереходит в энергию фотона (энергию электромагнитного поля).2) Дефект массАтомные ядра состоят из нуклонов – протонов и нейтронов (см. РАЗДЕЛ 7.1.1). Массыпокоя протона и нейтрона в свободном состоянии соответственно равны mp и mn;масса ядра – mя.Всегда масса ядра меньше суммы масс составляющих его нуклонов:mя  Zmp   A  Z  mn ,здесь Z – число протонов в ядре – заряд ядра, A – массовое число, (A – Z) – числонейтронов в ядре.

Характеристики

Список файлов лекций