1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Динамика вращательного движения твёрдого тела1.5.1. Момент силыМомент силы20 – векторная (псевдовекторная) величина, характеризующая взаимодействие тел.1. Момент силы относительно точкиМомент силы относительно точки:M  rF  ;A ⊗точка, относительно которой определяетсямомент – полюс; M  rF sin r , F ;OM   Н  м .Рис. 4.1На РИС. 4.1: O – полюс, A – точка приложениясилы; r и F лежат в плоскости рисунка, M перпендикулярен плоскости рисунка.2. Момент силы относительно осиМомент силы относительно оси:M  rF  k ,z(4.1)вектор21 момента силы относительно оси всегда направлен вдоль этой оси; направление определяется по правилу правого винта.Один из способов определения момента произвольно направленной силы относительно оси показан на РИС. 4.2.

На этом рисунке изображено трёхмерное твёрдоетело и вектора и линии, лежащие в трёхмерном пространстве. Здесь z – ось, относительно которой рассчитывается момент силы; k – орт этой оси; A – точка приложения силы F ; плоскость xy – плоскость, проведённая через точку A перпендикулярно оси z; O – точка пересечения плоскости xy с осью z, т.

е. ближайшая к точкеприложения силы точка на оси; радиус-вектор r восстановлен из точки O в точку приложения силы; F xy – проекция вектора силы на плоскость xy; M  rF sin r , F xy .Можно пользоваться не этим способом, а напрямую определением (4.1). Тогда r –это радиус-вектор, проведённый из любой точки на оси в точку приложения силы.20 Следует обратитьвнимание студентов на то, что момент силы, а также момент инерции и моментимпульса всегда определяется относительно какой-либо точки или оси.21 В большинстве курсов общей физики момент силы, момент импульса относительно оси, а такжекинематические величины, характеризующие вращение вокруг неподвижной оси, вводятся как скалярные алгебраические величины.

В нашем же курсе это аксиальные векторы.39zDhAOxyРис. 4.2Плечо силы – это скалярная величина – кратчайшее расстояние от оси до линиидействия силы (отрезок OD = h на РИС. 4.2); h  r sin r , F xy , M  hFxy .Если линия действия силы F лежит в плоскости, перпендикулярной оси z (т. е.F  F xy ), то получим соотношение, известное из школьного курса физики: M = hF.1.5.2.

Основное уравнение динамики вращательного движенияПусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси zz(с угловой скоростью ω , угловым ускорением ε ). Разобьём тело на элементарные (малые) фрагменты массамиΔmi (рис. 4.3); расстояние каждого фрагмента от оси вращения равно ri. Запишем II закон Ньютона для i-го фрагмента:eiOiΔmi ai  Fi   F ki .(4.2)k iΔmieЗдесь ai – ускорение i-го фрагмента; Fi – главный векторвнешних сил, с которыми другие тела действуют на i-ыйiфрагмент; F ki – внутренняя сила, описывающая действиеk-го фрагмента на i-ый фрагмент.Рис. 4.3Умножим равенство (4.2) на ri слева векторно:eiΔmi ri ai   ri Fi    ri F ki  . k i (4.3)eeВ правой части этого уравнения ri Fi   Mi – главный вектор момента внешнихiiсил, приложенных к i-ому фрагменту;  ri F ki    M ki – сумма моментов внутрен k ik i них сил, приложенных к нему же.40Преобразуем векторное произведение в левой части уравнения (4.3), используявыражение для ускорения материальной точки (2.5)ai   εri   ω ωri   .Для этого воспользуемся известной из векторного анализа формулой двойноговекторного произведения   0, т.

к. r  εr   r ω ωr   r ω   εr  ω r r   εra bc    b ac  c ab :  ri ai   r i εri    ri ω ωri     εri2           2iiiii22ii ii2.Подставляя этот результат в (4.2), получимeiΔmi ri2 ε  Mi   M ki .k iПросуммируем эти равенства по всем фрагментам твёрдого тела – по i: Δm r2i iieiε   Mi   M kiiik i0(равенство последнего слагаемого – суммы моментов всех внутренних сил – нулюстудентам следует доказать самостоятельно),eε  Δmi ri2   Mi .iiСумма в левой части этого равенства не зависит от взаимодействий, а определяется только геометрией тела и расположением оси вращения.

Введём величинуI  Δmi ri2(4.4)i– момент инерции тела относительно оси. ПолучимIε  M– основное уравнение динамики вращательного движения. Здесь M – главныйвектор моментов внешних сил.Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать и относительно подвижной оси, проходящей через центр масс тела (доказать самостоятельно).Демонстрация: Момент силы1.5.3. Момент инерцииЕсли в определении (4.4) положить Δmi → 0, то момент инерции тела относительно осиMI   r 2dm ; [I] = кг·м2.0Момент инерции – мера инертности тела во вращательном движении – скалярнаяфизическая величина, зависящая от формы и размеров тела. Момент инерции – аддитивная величина.Момент инерции тела относительно точки:41MI   r 2dm ,0где r – расстояние от полюса до элемента dm; M – масса тела.Момент инерции тела относительно оси:MI   r 2dm ,0где r – расстояние от оси до элемента dm.ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА МОМЕНТА ИНЕРЦИИ1.

Тонкое кольцо (полый цилиндр)Найти момент инерции тонкого однородного кольца массы mи радиуса R относительно его оси, т. е. относительно оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости(РИС. 4.4).Разобьём кольцо на бесконечно малые элементы – дуги массой dm. Каждый элемент dm находится на расстоянии R от осиz. Элементарный момент инерции dI = dm·R2. Проинтегрируемпо всей массе кольца:zmROdmРис. 4.4mI   r 2dm  mR2 .02. Тонкий стерженьНайти момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно оси: а) проходящей через середину стержня перпендикулярно ему, б) проходящей через один из концов стержня перпендикулярно ему (РИС.

4.5).zzm, lrOdmOrdrаdmm, ldrбРис. 4.5Разобьём стержень на бесконечно малые элементы – отрезки длиной dr. Каждыйmтакой отрезок будет иметь массу dm = τdr, где τ  – линейная плотность стержняl(она постоянна по длине стержня, так как стержень однородный). Элементарныйmмомент инерции dI  dm  r 2  r 2dr , где r – расстояние от оси z до элемента dm.lВ случае А) момент инерции42l2l2m2m r 3I  2  r 2dr ll 3002ml 3 ml 2.3l  8 12Расчёт в случае Б) отличается пределами интегрирования:lmm r3I   r 2dr ll 30l20ml 3 ml 2.3l33. Однородный диск (сплошной цилиндр)Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R относительно егооси (РИС. 4.6).Воспользуемся результатом решения задачи о МОzМЕНТЕ ИНЕРЦИИ ТОНКОГО КОЛЬЦА. Разобьём диск на бескоmнечно тонкие кольца толщиной dr. Момент инерцииdmкольца радиуса r и толщиной dr: dI = dm·r2, где массаRбесконечно тонкого кольца dm = σ·dS, dS = 2πrdr – плоr Odrmщадь этого кольца, а σ  2 – поверхностная плотπRность диска, т.

е. масса единичного участка поверхности диска. Получимm2mРис. 4.6dI  2 2πrdr  r 2  2 r 3dr ,πRRR2m 32m r 4I   2 r dr  2RR 40R0mR 2.24. Однородная сфераНайти момент инерции однородной сферы массы m и радиуса R относительно оси,проходящей через её центр (РИС. 4.7).Разобьём сферу на малые участки массой dm. Моzмент инерции такого участка относительно оси zdIz  dm  r 2  dm x 2  y2 .АналогичноmdI x  dm y  z , dI y  dm x  z .2222Найдём моменты инерции всей сферы:dmOМомент инерции элемента dm относительно центрасферы – точки OdI0  dm  R2  dm x 2  y2  z 2 .rRxРис.

4.7y43m22I z  x  y dm,0m22I x   y  z dm,0mI y   x 2  z 2 dm;0mI0   x 2  y 2  z 2 dm 0m12x 2  2 y 2  2z 2 dm 20mmm 31   x 2  y 2 dm   y 2  z 2 dm   x 2  z 2 dm   I z ,2 000 2IzIxIyтак как Iz = Ix = Iy из-за сферической симметрии. Но I0 = mR2, поэтому22I z  I0  mR 2 .335. Однородный шарНайти момент инерции однородного шара массы m и радиуса R относительно оси,проходящей через его центр.2I  mR25(доказать самостоятельно, используя результат ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧИ.)Теорема ШтейнераМомент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерцииэтого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:I  IC  md2 .ДоказательствоПусть z – ось, относительно которой нужно найти момент инерции тела массы m;точка C – центр масс тела; z0 – ось, проходящая через точку C параллельно оси z; d –расстояние между этими осями (РИС.

4.8А). Разобьём тело на малые фрагментымассы dm.44zz0dmdmdCz0 ⊙⊙zабРис. 4.8Для удобства сделаем второй рисунок – РИС. 4.8Б, на котором оси z и z0 направленыперпендикулярно плоскости рисунка. По построениюr  ρd .Момент инерции элемента dm относительно оси zdI  r 2dm 22,относительно оси z0dIC  ρ2dm ;поэтому2dI  ρ  d dm  ρ2  2ρd  d2 dm  ρ2dm  d 2dm  2ρd  dm .Проинтегрируем по всей массе тела:mmmI   ρ2dm  d 2  dm  2d  ρdm  IC  md 2 , ч. т.

д.00IC 00, т. к. C – центр массmЭто упрощённое доказательство, так как мы проводим интегрирование только по тем элементамdm, которые лежат в плоскости, проходящей через центр масс тела перпендикулярно обеим осям.Полное доказательство (с интегрированием по всему объёму тела) даёт тот же результат.22451.5.4. Пример решения задачи по динамикеМаятник ОбербекаМаятник Обербека – тело вращения сложной формы – маховик с несколькими шкивами и четырьмя радиально направленными спицами, на которые надеваются небольшие грузы, положение которых можноизменять (РИС.

4.9).На шкив радиуса R намотана нить, на концекоторой прикреплён груз массы M. Массагрузов на спицах равна m, они расположенына расстоянии r от оси маятника; моментинерции маховика со спицами относительно оси маятника равен I0. Груз массы Mподнимают на расстояние h над полом и отпускают. Через какое время груз коснётсяпола?Выделим два объекта исследования: грузмассы M – материальная точка и маятник сгрузами массы m – твёрдое тело.Будем работать в инерциальной системеотсчёта – лабораторной.На груз действует Земля с силой тяжестиF т1 и нить с силой натяжения T1 , при этомmmrO ⊗zR⊗⊗mmt=0Mτ0hгруз движется с ускорением a , направленным вниз; на маятник действует Земля с сиyлой тяжести F т2 , вал с силой реакции N инить с силой натяжения T2 , маятник вращаРис.

Характеристики

Список файлов лекций