1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

5.4):L  r p  .2. Момент импульса материальной точки относительно осиМомент импульса материальной точки относительно оси:L  r p  k .z52Вектор момента импульса относительно оси всегда направлен вдоль этой оси;направление определяется по правилу правого винта.

(На РИС. 5.5 p лежит не вплоскости чертежа.)zm ⊙mOOРис. 5.4Рис. 5.53. Момент импульса механической системыМомент импульса механической системы равен сумме моментов импульсов тел(материальных точек), составляющих эту систему:L   Li .(5.5)4. Момент импульса твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной осиПусть твёрдое тело вращается вокруг оси z с угловой скороzстью ω (РИС.

5.6). Разобьём тело на малые фрагменты массами,Δmi, отстоящие от оси z соответственно на расстояния ri иимеющие скорости vi и импульсы Δ pi Момент импульса i-гофрагментаOiΔmiΔLi  ri ,Δ pi  .Момент импульса тела по определению (5.5)L   ΔLi   ri ,Δ pi    ri ,Δmi vi    ri ,Δmi ωri   Рис. 5.6   Δmi ωri2  ri ωri  ω Δmi ri2  Iω.I0Здесь учтено, что vi  ωri  .

Мы получили результат, совпада-ющий с определением (5.4).5. Момент импульса твёрдого тела, совершающего плоское движениеL  rC P   LC ,где rC – радиус-вектор центра масс тела, P – импульс тела; LC  IC ω – момент импульса, соответствующий вращению тела вокруг оси, проходящей через центр масстела перпендикулярно плоскости его движения, IC – момент инерции тела относительно этой оси.ДоказательствоРазобьём тело на малые фрагменты массами Δmi. По определению (5.5)53L   ΔLi   ri ,Δpi    ri ,Δmi vi  ,где ri – радиус-вектор i-го фрагмента, vi – его скорость, Δ pi – его импульс. Представим (ср. РИС. 3.4)ri  rC  ρi ⇒ vi  vC  ui ,где rC – радиус-вектор центра масс тела, ρi – радиус-вектор, проведённый из ценdρi ωρi  – скорость idt го фрагмента относительно центра масс, ω – угловая скорость тела.

Таким образом,тра масс к i-му фрагменту, vC – скорость центра масс, ui L   rC  ρi ,Δmi vC  ui    Δmi rC vC   rC ui    ρi vC    ρi ui   rC vC   Δmi  rC ,  Δmi ui     Δmi ρi , vC     ρi ,Δmi ui  0, т. к. точка C – центр массdρi  rC , M vC   rC ,  Δmi   Δmi  ρi , ωρi   dt d rC P   rC ,Δmi ρi    Δmi ωρi2  rC P   ω Δmi ρi2  dt0IC rC P   IC ω, ч. т. д.Здесь M – масса тела.1.7.2. Закон сохранения момента импульсаОсновное уравнение динамики вращательного движенияedLM ,dteгде M – главный вектор моментов внешних сил.

Если механическая система замкнута, тоdL 0 ⇒ L  const .dtМомент импульса замкнутой системы относительно любой оси не изменяется с течением времени.eM 0 ⇒eЕсли система не является замкнутой, но M  0 относительно некоторой оси – моменты внешних сил равны нулю либо скомпенсированы, то момент импульса системы относительно этой оси не изменяется с течением времени.ПРИМЕРСкамья ЖуковскогоСкамья Жуковского представляет собой диск, который может вращаться вокругвертикальной оси – оси симметрии – почти без трения. На скамье может стоять(или сидеть) человек и выполнять различные действия.

Рассмотрим два опыта.Демонстрация: Скамья Жуковского54Опыт 1Экспериментатор стоит на скамье Жуковского, вращающейся с угловой скоростьюω1 (РИС. 5.7А). В разведённых в стороны руках экспериментатор держит гантели.Затем экспериментатор сводит руки так, что расстояние от гантелей до оси уменьшается (РИС. 5.7Б). Как изменится угловая скорость системы?zzабРис. 5.7На систему человек-скамья-гантели воздействуют следующие внешние объекты:Земля с силой тяжести Fт и опорная поверхность с силой реакции N .

Обе эти силыeимеют нулевые моменты относительно вертикальной оси z: M  0 . Следовательно, момент импульса рассматриваемой механической системы относительноэтой оси сохраняется: L  const .Момент импульса системы в начальном состоянииL1  I1 ω1 ,где I1 – момент инерции системы относительно оси z в начальном состоянии (с разведёнными руками и гантелями).Момент импульса системы в конечном состоянииL2  I2 ω2 ,где I2 – момент инерции системы относительно оси z в конечном состоянии (со сведёнными руками и гантелями), ω2 – конечная угловая скорость.Так как L1  L2  L ,I1 ω1  I2 ω2 .В проекции на ось zI1ω1  I2ω2 ⇒ ω2 I1ω1.I255Так как I2 < I1 (в конечном положении гантели находятся ближе к оси), угловая скорость системы увеличивается.Опыт 2Экспериментатор стоит на неподвижной скамье Жуковского.

Ему в руки дают оськолеса, вращающегося с угловой скоростью ω, направленную вертикально вверх(РИС. 5.8А). Затем экспериментатор поворачивает ось колеса вниз (РИС. 5.8Б).С какойугловой скоростью начнёт вращаться скамья?zzабРис. 5.8Момент импульса системы человек-скамья-колесо относительно вертикальнойоси сохраняется по той же причине, что и В ПРЕДЫДУЩЕМ ОПЫТЕ.Момент импульса системы в начальном состоянииL1  I1 ω1 ,где I1 – момент инерции колеса относительно его оси; ω1 – вектор начальной угловой скорости колеса, ω1 = ω.Момент импульса системы в конечном состоянииL2  I1 ω2  I2 ω ,где I2 – момент инерции человека и скамьи относительно оси z, ω2 – вектор конечной угловой скорости колеса, ω2 = ω, ω – конечная угловая скорость скамьи.Так как L1  L2 ,I1 ω1  I1 ω2  I2 ω .В проекции на ось zI1ω  I1ω  I2ω ⇒ ω 2I1ω.I256Скамья будет вращаться в направлении, совпадающем с начальным направлениемвращения колеса.57Лекция 61.8.

Работа и энергия1.8.1. Кинетическая энергияКинетическая энергия – энергетическая характеристика движения;[Wк] = Дж (джоуль).1. Кинетическая энергия материальной точкиКинетическая энергия материальной точки равна произведению массы материальной точки на квадрат её скорости, делённый пополам:Wк mv2.22. Кинетическая энергия механической системыКинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий тел (материальных точек), составляющих эту систему:Wк  Wкi ;Wк (6.1)M vC2(M – масса системы, vC – скорость центра масс)!2Кинетическая энергия поступательного движения тела: Wк mv2, где m – масса2тела, v – модуль его скорости.3.

Кинетическая энергия вращательного движения твёрдого телаКинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижнойоси, равна произведению момента инерции тела на квадрат его угловой скорости,делённый пополам:Iω2Wк .2ДоказательствоПусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω(РИС. 5.6). Разобьём тело на малые фрагменты массой Δmi. Вычислим кинетическуюэнергию по определению (6.1) (с учётом того, что vi  ωri  ):Wк  Wкi  Δmi vi2 1ω2Iω22  Δmi ω2ri2 Δmr i i 2 , ч. т. д.2224.

Кинетическая энергия плоского25 движения твёрдого телаТеорема Кёнига: кинетическая энергия твёрдого тела, совершающего плоскоедвижение, равна сумме кинетической энергии поступательного движения этогоМожно сформулировать эту теорему для общего случая сложного движения, если рассматриватьвторое слагаемое как кинетическую энергию вращения вокруг центра масс.2558тела со скоростью, равной скорости центра масс тела, и вращения тела вокруг оси,проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости движения:mvC2 IC ω2Wк .22ДоказательствоПусть твёрдое тело массы m совершает плоское движение.

Разобьём тело на малыефрагменты массой Δmi. Вычислим кинетическую энергию тела по определению(6.1):Δmi vi2 1Wк  Wкi    Δmi vC  ui222,где скорость i-го фрагмента vi  vC  ui , ui – скорость этого фрагмента относительно центра масс тела (см. ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ТВЁРДОГОТЕЛА, СОВЕРШАЮЩЕГО ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ). Продолжим преобразования:Wк 122Δmi vC2  2Δmi vC ui  Δmui i vC2dρ 1Δmi  vC  Δmi i   Δmi ω2 ρi2 ,2dt 2здесь ρi – радиус-вектор i-го фрагмента, проведённый из центра масс, и ui ω – угловая скорость тела. Очевидно,2CΔm  m – массе тела. Далее:dρi;dtimvC2 IC ω2ω22 Δmi ρi  2  Δmi ρi  2  2 , ч.

т. д.IC0, т. к. точка C – центр массmvdWк  vC2dt1.8.2. Работа и мощностьРабота – энергетическая характеристика взаимодействия26;[A] = Дж.1. Элементарная работаЭлементарная работа равна скалярному произведению силы на элементарное(бесконечно малое) перемещение точки приложения этой силы (РИС.

6.1): dA  Fdl  Fdl cos F , dl  Fldl .Вектор элементарного перемещения всегда направлен по касательной к траектории; Fl – проекция вектора силы на это направление.2. РаботаРабота равна сумме (интегралу) элементарных работ по траектории точки приложения силы:26 Так как работа – это характеристикавзаимодействия, допустимо говорить «работа такого-то объекта», т. е. источника этого взаимодействия, и «работа силы», т. е. характеристики этого взаимодействия (первый вариант предпочтительнее); например, «работа гравитационного поля Земли» или«работа силы тяжести».59A   dA   Fdl   Fl dl .lllЗдесь l – траектория точки B приложения силы (кривая 1-2 на РИС.

6.1);Графический смысл работы: площадь под кривой Fl(l) равна модулю работы силыF по траектории l (РИС. 6.2).FlABlα10212Рис. 6.1lРис. 6.23. Работа при вращательном движении твёрдого телаПусть сила F приложена к точке B твёрдого тела, находящейся на расстоянии r отоси вращения z (РИС. 6.3А). Элементарная работа, которую совершает эта сила, когдатело совершает элементарное угловое перемещение dφ ,dA  Fdl  Fdl cos α(см.

РИС. 6.3Б).zO⊙z⊙rBr dφαBабРис. 6.3Модуль линейного перемещения точки B – длина малой дугиdl  r  dφ ;πdA  Fr cos α  dφ  Fr sin   α   dφ  Mzdφ ;2dA  Mdφ .604. МощностьМощность – энергетическая характеристика взаимодействия (или тела, совершающего работу), равная скорости совершения работы;[N] = Вт.Средняя мощность равна отношению работы к промежутку времени, за которыйэта работа совершена:ΔAN .ΔtМгновенная мощность равна мгновенной скорости совершения работы – производной работы по времениNdA.dtПреобразуем это выражение с учётом определения элементарной работы:NdA Fdl Fv ;dt dtN  Fv ,где v – скорость точки приложения силы.1.8.3.

Теорема об изменении кинетической энергииИзменение кинетической энергии механической системы равно сумме работ внешних и внутренних сил:ΔWк  Ae  Ai .ДоказательствоРассмотрим материальную точку массы m, котораяиспытывает воздействие, описываемое силой F .Точка движется по кривой 1-2 (РИС. 6.4). Элементарная работа на перемещении dldA  Fdl .t1С учётом того, что dl  vdt , где v – скорость материальной точки, работа по перемещению точки потраектории 1-22t21t1mt21A   Fdl   F vdt ,2Рис.

Характеристики

Список файлов лекций