1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Эти выраженияможно записать и в координатной форме.ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ91) Равномерное движение: v  constta  0 ; r  r0   vdt  r0  vt .0В этом разделе не приводится пример расчёта скорости, ускорения, модуля радиуса-вектора и т. д.из-за нехватки времени. Простые примеры на эту тему следует рассмотреть на практических занятиях.9232) Равноускоренное движение: a  consttt00v t   v0   adt  v0  at ; r  r0   v0  at dt  r0  v0t at 2.21.2.4. Криволинейное движениеt1При описании движения материальнойточки по криволинейной траектории удобноввести систему координат, связанную с траекторией материальной точки (воспользоваться естественным способом описаниядвижения).τ1t21n12Орты этой системы координат: τ – единичный вектор, направленный по касательной ктраектории по направлению движения материальной точки; n – единичный вектор, направленный по нормали к траектории всторону её вогнутости (см.

РИС. 2.1).Разложим векторы скорости и ускорения по осям естественной системы координат:Рис. 2.1v  vτ τ  0n  vτ ;a  aτ τ  an n .(2.1)Но, по определениюd v dvdτ(2.2) τv .dt dtdtРазберёмся, чему равны слагаемые в формуле (2.2). Любую кривую в любой еёточке можно представить как дугу окружности радиуса ρ – радиуса кривизнытраектории (РИС. 2.2).aρΔαΔlOΔαρРис. 2.2Δl  ρΔα ; Δτ  τ2  τ1 , Δτ  τΔα ⇒ΔlΔl⇒ Δτ  , Δτ  n 10.ρρvvdl dτ dln n.При Δt → 0 dτ  n ,ρdt ρdtρПодставляя эти выражения в (2.2) и сравнивая с (2.1), получимv2dvv2dva  τ  n ; aτ , an ; (2.3)dtρdtρaτ – тангенциальное (касательное) ускорение, an – нормальное (центростремительное) ускорение;a  aτ2  an2 .10Следует помнить, что на РИС.

2.2 угол Δα мал. При малом Δα Δτ практически параллелен n .241.3. Кинематика твёрдого тела1.3.1. Виды движения1. Поступательное движение – движение, при котором любая прямая, соединяющая две точки движущегося тела, перемещается параллельно самой себе.2. Вращение вокруг неподвижной оси (вращательное движение) – движение,при котором все точки тела движутся по окружностям, лежащим в параллельных плоскостях, таким, что центры этих окружностей лежат на одной прямой,называемой осью вращения.3. Сферическое движение (вращение вокруг неподвижной точки) – движение, при котором все точки тела движутся по сферам, центры которых находятся в одной точке, называемой центром вращения.4.

Плоское движение – движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях.Плоское движение = поступательное движение + вращательное движение (см.разделы 1.7.1 и 1.8.1).5. Другие случаи – сложное движение11.Демонстрации: 1) Поступательное и вращательное движение2) Искры от точила3) Циклоида4) Гироскоп12Введённых нами ВЫШЕ кинематических величин недостаточно для описания движения твёрдого тела (кроме поступательного).1.3.2. Угловые кинематические параметрыВведём величины, характеризующие вращательное движение твёрдого тела в целом, а не отдельных его точек. Такие величины будут аксиальными векторами.Векторыполярные(истинные)имеют точку приложения,,,аксиальные(псевдовекторы)не имеют точки приложения,,,(Здесь F – сила, p – импульс, M – момент силы, L – момент импульса.)1.

Угловое перемещениеПусть твёрдое тело вращается вокруг оси z. Точка A этого тела находится на расстоянии r от оси вращения (РИС. 2.3). За некоторое время тело повернулось так, чтоНа практических занятиях рассматривается поступательное движение, вращение вокруг неподвижной оси и плоское движение. Сферическое движение и общий случай сложного движения и влекционном курсе будут затронуты мало.12 Движение гироскопа демонстрируется не как пример выполнения закона сохранения моментаимпульса, а лишь как пример сферического движения твёрдого тела.1125точка A переместилась по дуге окружности радиуса r в положение A . При этом отрезок OA (точка O – центр окружности, по которой движется точка A) повернулсяна угол Δφ.Это движение характеризует вектор углового переzмещения Δφ k ( k – орт оси вращения z).

Векторнаявеличина Δφ вводится лишь для малых угловых перемещений. Направление Δφ выбирается по правилу правого винта.Можно записатьOArΔφΔφ  Δφz k ,Δφz ≷ 0.Любой поворот твёрдого тела можно характеризовать скалярной величиной – углом φ. Можно задатьзакон вращательного движения твёрдого телаφ  φ t  .Рис. 2.3Единица измерения углового перемещения в СИ[φ] = рад (радиан – безразмерная величина);πрад . (При проведении численных расчётов следует обращать внима180ние на единицы измерения углового перемещения!)1 2.

Угловая скоростьУгловая скорость – векторная величина, характеризующая быстроту и направление вращения;ωdφрад 1с .;  ω dtс3. Угловое ускорениеУгловое ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту и направление изменения угловой скорости;εdω d2 φрад 2 ;  ε   2  с 2 .dt dtсПри вращении вокруг неподвижной оси Δφ ω ε k ( k – орт оси вращения); знакипроекций этих векторов на ось вращения могут быть различны.4. Частота вращенияЧастота вращения – скалярная положительная величина, характеризующаябыстроту вращения, равная числу оборотов тела вокруг оси вращения за единичный промежуток времени;νωоб 1с .; ν  2πс265. Период вращенияПериод вращения – скалярная положительная величина, характеризующая быстроту вращения, равная времени, за которое вращающееся тело совершает одинполный оборот вокруг оси вращения;T1 2π; [T] = с.ν ω1.3.3.

Связь между линейными и угловыми кинематическими параметрамиПусть твёрдое тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью ω и ускорениемε . Точка M отстоит от оси вращения на расстояние r; её скорость равна v (РИС. 2.4А).zΔSt + ΔtΔφrz⊙⊗MOtаMбРис. 2.4(Значки ⊙, ⊗ на РИС. 2.4 означают направление вектора, перпендикулярного плоскости чертежа – соответственно «на нас» и «от нас».)За время Δt точка M переместилась в положение M по дуге длиной ΔS (РИС. 2.4Б).Тело за это время совершило угловое перемещение Δφ;ΔS rΔφ ω r,ΔS  rΔφ , v ΔtΔtгде ω – среднее значение модуля угловой скорости за время Δt. При Δt → 0v  ωr ,а соответствующее векторное равенствоv  ωr (2.4)(направление можно проверить по РИС. 2.4А).

Здесь квадратные скобки означаютвекторное произведение векторов. (Следует помнить о том, что векторное произведение антикоммутативно!)Формула (2.4) справедлива и в произвольном случае сложного движения. Тогда v  ωr sin ω, r .Выразим компоненты линейного ускорения (т. е.

ускорения точки M), воспользовавшись формулой (2.3):aτ d v d  ωr dωdrr ω  εz r ,dtdtdtdt027an v2 ω2r 2 ω2r .rrПолное ускорение dr a  εr   ω   εr   ω ωr   . dt Для сложного движения твёрдого тела(2.5)v  vC  ω r  r C  ,где r C – радиус-вектор центра масс тела (см.масс.РАЗДЕЛ1.4.4), vC – скорость центра28Лекция 31.4. Динамика материальной точкиДинамика – раздел механики, изучающий влияние взаимодействия тел на механическое движение.1.4.1. Законы НьютонаI закон Ньютона: существуют такие системы отсчёта, в которых материальнаяточка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения дотех пор, пока воздействие других объектов не выведет её из этого состояния.II закон Ньютона: ускорение материальной точки совпадает по направлению с силой, с которой действуют на неё другие тела, и равно отношению этой силы к массеточки:aFm(см.

РИС. 3.1).III закон Ньютона: две материальные точки действуют друг на друга с силами,равными по модулю, противоположными по направлению и направленными вдольпрямой, соединяющей эти точки:F 12  F 21(см. РИС. 3.2).21mРис. 3.1Рис. 3.2Демонстрация: Тележки1.4.2. Инерциальные системы отсчётаС точки зрения физики покой и равномерное прямолинейное движение суть однои то же.Инерциальная система отсчёта (ИСО) – система отсчёта в которой материальная точка, не испытывающая внешних воздействий, движется равномерно и прямолинейно.I закон Ньютона можно сформулировать так: инерциальные системы отсчёта существуют.Примеры систем отсчёта, которые можно считать инерциальными в условии большинства задач:ИСОгелиоцентрическаятело отсчёта – Солнцелабораторнаятело отсчёта – лаборатория (земля)Все тела обладают инертностью – свойством сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения в отсутствие внешних воздействий.29Масса – физическая величина – характеристика тела, являющаяся мерой егоинертности;m  кг .1.4.3.

СилаСила – векторная величина – мера воздействия на данное тело другого объекта.Каждая сила описывает действие какого-либо объекта;F   Н (ньютон).Линия действия силы – прямая, вдоль которой направлена сила.Силовая линия – кривая, касательные к которой в каждой её точке совпадают понаправлению с силой.ПРИМЕРСиловые линии гравитационного поля Земли (РИС. 3.3)mOРис. 3.3Равнодействующая сила (главный вектор) – векторная сумма всех сил, описывающих действие на данное тело других объектов:nF   Fii 1(здесь n – число воздействующих объектов).Принцип независимости действия сил: если на материальную точку одновременно действует n объектов, то ускорение этой точкиnaFi 1im,где m – масса материальной точки, Fi – сила, описывающая воздействие i-го объекта на данную точку.Так как a d2 r, II закон Ньютона можно записать в видеdt 2md2 rFdt 230– дифференциальное уравнение движения материальной точки ( F – главныйвектор сил, с которыми другие объекты действуют на данную точку).

В проекциина оси декартовой системы координат это уравнение представляется в виде трёхдифференциальных уравнений d2xm 2  Fx , dt d2 ym 2  F y , dt d2zm 2  Fz . dt1.4.4. Центр масс механической системыВнешние силы – силы, описывающие действие объектов, не входящих в даннуюeмеханическую систему, на тела, входящие в неё. Будем обозначать такие силы F13.Внутренние силы – силы, описывающие взаимодействие тел, входящих в даннуюiмеханическую систему (обозначение F ).Для любой механической системы из III закона Ньютона следует, что сумма внутренних сил равна нулю:Fi0 .Рассмотрим механическую систему из N материальных точек.Центр масс механической системы – m1точка, для которойCNNmi ρi  0 или mi ri  rC  0 ,i 1i 1 mi m2где mi – масса i-ой материальной точки,ρi – радиус-вектор, соединяющий mNцентр масс с i-ой материальной точкой,ri – радиус-вектор i-ой материальнойточки, rC – радиус-вектор центра масс.(На РИС.

Характеристики

Список файлов лекций