1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

3.4 точка C – центр масс, O –Рис. 3.4начало отсчёта.)Как найти положение центра масс системы? Из определения центра масс следуетONNN m r    m  ri 1i ii 1iC⇒ rC m ri ii 1M,Nгде M   mi – масса механической системы. В декартовой системе координатi 113В «живой» лекции лучше использовать обозначения русскими буквами:Fвнеши т. п.31NxC  mi xii 1MNN, yC  mi yii 1M, zC m zi ii 1M.(3.1)ПРИМЕРНахождение центра масс системы двух материальных точекДве материальные точки массами m1 и m2 находятся на расстоянии l друг от друга(РИС. 3.5).

Где находится центр масс системы?Центр масс C системы, очевидно, долженm1m2Cнаходиться на прямой между материальOными точками. Радиусы-векторы, соединяюxxСlщие центр масс и материальные точки, показаны на РИС. 3.5. Введём ось x, как показано наРис.

3.5рисунке, и совместим начало отсчёта с материальной точкой массы m1; тогда координата точки массой m2 равна l. Из формулы(3.1) получимm x  m2 x2m2l.xC  1 1m1  m2m1  m2Если тело (механическая система) центральносимметрично, то его центр масс совпадает с центром симметрии. Если же тело осесимметрично, то центр масс лежитна оси симметрии.Теорема о движении центра масс: центр масс механической системы движетсякак материальная точка с массой, равной массе системы, к которой приложенасила, равная равнодействующей внешних сил, приложенных к системе,eMaC  F .ДоказательствоРассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек.

Дифференциальное уравнение движения i-ой точкиNeid 2 rimi 2  Fi   F ki ,dtk 1, k ie(3.2)iгде Fi – равнодействующая внешних сил, приложенных к i-ой точке; F ki – внутренняя сила, с которой k-я точка действует на i-ую точку.Просуммируем равенства (3.2) по всем N точкам системы:N miid 2 ri N e N N  Fi    F ki .2dti 1i 1 k 1, k i(3.3)0Второе слагаемое в правой части этого равенства равно нулю, так как оно равносумме всех внутренних сил, описывающих взаимодействие тел, входящих в расi 1eсматриваемую систему.

Первое слагаемое есть главный вектор внешних сил F .Преобразуем левую часть равенства (3.3), учитывая, что ri  rC  ρi (РИС. 3.4):Nmii 1ed 2 rC Nd 2 ρimF ,i22dtdti 132d 2 rCdt 2Ноed2 Nmi  2  mi ρi  F .dt i 1i 1Nd2 rC aC – ускорение центра масс,dt 2N mi  M – масса системы, аi 1N m ρ  0 , такi 1iieкак точка C – центр масс системы. Поэтому MaC  F , ч. т. д.1.4.5. Некоторые силы141. Гравитационная силаСила, описывающая гравитационное воздействие материальной точки15 массой m1на материальную точку массы m2, находящуюся на расстоянии r от точки массой m1(РИС.

3.6):F 12  Gm1m2r 12r3(3.4)Н  м2– закон всемирного тяготения; G  6,67  10– гравитационная постоянкг2ная. Знак «–» означает, что тела притягиваются.11Om1RmM m2Рис. 3.6Рис. 3.7ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙСила тяжести – гравитационная сила вблизи поверхности ЗемлиFт  mg .Действительно, пусть материальная точка массы m находится вблизи поверхностиЗемли, т. е.

на расстоянии от центра Земли, равном радиусу R Земли (РИС. 3.7). Позакону всемирного тяготения (3.4)mMFg  Fт  G 3 r ,Rздесь M – масса Земли. Модуль этой силыMFт  G 2 m  mg ,RВ данном разделе рассматриваются силы, фигурирующие в задачах I семестра.В этом определении можно заменить слова «материальная точка» на «тело» с поправкой, что r –это расстояние между центрами масс тел.141533Mм 9,81 2 16 – ускорение свободного падения (вернее, модуль этого2Rсускорения).

По II закону Ньютонагде g  Gma  mg ,вектор g направлен к центру Земли. Центры масс всех тел, падающих свободно(т. е. без каких-либо внешних воздействий, кроме гравитационного) вблизи поверхности Земли, движутся с ускорением g .2. Сила упругостиУпругая деформация – деформация тела, которая полностью исчезает после прекращения взаимодействия, являющегося её причиной. Воздействие деформированного тела на тело, вызвавшее деформацию, описывается силой упругости.Линейная деформация подчиняется закону Гука:F упр  kΔl ,где Δl – вектор деформации (РИС.

3.8А), k – коэффициент упругости (жёсткость) деформируемого тела. Знак «–» означает, что деформированное тело сопротивляется деформации – пытается восстановить форму.На РИС. 3.8 представлены разные типы деформируемых тел: А) пружина, Б) нить(сила натяжения T ) и В) опорная поверхность (сила реакции опоры N ).km0mабmвРис. 3.8(На РИС. 3.8 m – масса груза, 0 – положение недеформированной пружины.)Сила реакции опоры всегда направлена перпендикулярно опорной поверхности отнеё, а сила натяжения – вдоль натянутой нити от натягивающего её тела.Вес тела – сила, описывающая действие тела на опору или подвес; по модулю равенсиле упругости (по III закону Ньютона P  T или P  N ).Природа упругости – в межмолекулярном, т. е.

электромагнитном взаимодействии(см. РАЗДЕЛ 0.3), однако, при изучении механики это для нас не имеет значения.Демонстрация: ДинамометрыПри необходимости проведения вычислений с достаточно высокой точностью следует учитывать, что ускорение свободного падения зависит от географической широты. На широтеМосквы g = 9,8156 м/с2.16343. Сила сухого тренияСила трения – составляющая силы взаимодействия соприкасающихся тел, параллельная поверхности их контакта (РИС.

3.9А). Наличие этой составляющей обусловлено неупругими деформациями тел.Мы рассматриваем сухое трение, т. е. обе соприкасающиеся поверхности являютсятвёрдыми (в смысле агрегатного состояния; вязкое трение рассматривается в РАЗДЕЛЕ 2.9.2).Закон сухого трения (закон Кулона):Fтр max  μN ,где Fтр max – максимальное значение модуля силы трения – сила трения скольжения, N – модуль силы реакции опоры, µ – коэффициент трения – безразмернаявеличина, зависящая от материала и состояния соприкасающихся поверхностей.Направлена же сила трения скольжения всегда против скорости тела относительноопорной поверхности.FтрµNm0аFµNбРис. 3.9График зависимости модуля силы трения от модуля силы F представлен наРИС. 3.9Б. До тех пор пока F < µN, тело покоится относительно опорной поверхности,а F = Fтр (наклонный участок на графике).

При F ≥ µN тело начинает скользить иFтр = Fтр max = µN.Демонстрация: Сила тренияТрение также имеет электромагнитную природу.1.4.6. Кинематические связиКинематическая связь – ограничение, накладываемое на движение тела.1. Координатная связьКоординатная связь – ограничение, накладываемое на координаты точек и ихпроизводные при движении тела.ПРИМЕРТело скользит по горизонтальному рельсу.Перемещение, скорость и ускорение тела должныбыть направлены вдоль рельса (РИС.

3.10):r  xi ; y , z  0 ;v  vx i ; v y , vz  0 ;a  ax i ; ay , az  0 .xРис. 3.10352. НитьПри решении многих задач нити полагаются невесомыми и нерастяжимыми.а) Невесомая нитьВо всех точках натянутой нити модуль силы натяжения одинаков:T  const .ДоказательствоРассмотрим участок натянутой нити 1-2 (РИС. 3.11).По условию невесомости масса этого участкаΔm = 0.

Участки нити, находящиеся по обе стороныот данного участка, действуют на него с силами T1Δm = 012Рис. 3.11и T2 .Применим к этому участку нити теорему о движении центра масс:Δma  T1  T2 ⇒ T2  T1 ⇒ T1  T2 , ч. т. д.0б) Нерастяжимая нитьМодуль скорости всех точек нити одинаков:v  const .ДоказательствоБудем отсчитывать координаты точекнити по её длине от некоторой точки(например, одного из концов нити). Рассмотрим участок нити 1-2 (РИС. 3.12). Координата точки 1 равна l1, координататочки 2 соответственно равна l2 По условию нерастяжимости длина этогоучастка должна оставаться постоянной:Δl = l2 – l1 = const.Модули скоростей точек 1 и 2dldlv1  1 , v2  2 ;dtdt21Рис. 3.12dl2 dl1 d  l2  l1  0 ⇒ v2  v1 , ч. т.

д.dt dtdt0Из этого следует, что равны и тангенциальные ускорения всех точек нити:aτ 2  aτ 1 .v2  v1 1.4.7. План решения задач по динамике171. Выбор объекта исследования и его модели: материальная точка, твёрдое тело,механическая система (указать, какие тела в неё входят)Аналогичный план подходит и для решения задач по динамике вращательного движения, в т. ч.

сиспользованием законов сохранения. Различия – в законе, на котором основано решение задачи.Подробное обсуждение этого плана и обучение решению задач проводится на практических занятиях.17362. Выбор системы отсчёта (в большинстве случаев – лабораторная)3. Рисунок (или несколько рисунков)4. Определение воздействующих объектов. Расстановка обозначений на рисунке:сил, ускорений и т.

д.5. Запись II закона Ньютона (теоремы о движении центра масс) в векторнойформе6. Выбор системы координат (можно вводить разные системы координат дляразных тел)7. Запись закона в проекциях на оси системы координат8. Подсчёт числа уравнений и числа неизвестных. Запись дополнительных уравнений (другие законы, уравнения связей и т. п.)9. Решение полученной системы уравнений в общем виде10. Анализ результата и проверка размерностей1811. Численный расчёт и оценка его результата1.4.8. Импульс.

Другая форма II закона НьютонаПреобразуем выражение II закона Ньютона:ma  F dvd v  ⇒ m dt  F ,adt   Fd mvdt(3.5)– II закон Ньютона в дифференциальной форме.В этом выражении под знаком дифференциала стоит векторная физическая величина, характеризующая инертность и движение тела – импульс материальнойточкиp  mv ; p кг  м.сИз (3.5) получим d mv  Fdt ,Fdt – импульс силы. II закон Ньютона можно сформулировать так: изменение импульса материальной точки равно импульсу силы.По определению, импульс механической системы равен сумме импульсов тел(материальных точек), входящих в эту систему:P   pi .Пример решения задачи по динамике рассматривается на СЛЕДУЮЩЕЙ ЛЕКЦИИ .18 Рекомендуется контролировать размерности в течение всего решения задачи.37Импульс механической системы равен произведению массы M системы на скоростьvC её центра масс:P  M vC .ДоказательствоИсходя из определения импульса механической системы,P   pi  mi vi  mi(см.РИС.dri d mi ridt dt3.4)19, vi – скорость i-ой материальной точки.

В обозначениях этого ри-сунка ri  rC  ρi . Поэтому0, т. к. точка C – центр массdrdmi rC  mi ρi   mi  C  M v , ч. т. д.dtdtПреобразуем выражение теоремы о движении центра масс:PeMaC  F ⇒ Md M vCeed vCF ,F ⇒dtdtedPF .dteЕсли система замкнута, то F  0 иdP 0 ⇒ P  constdt– закон сохранения импульса механической системы: импульс замкнутой системы остаётся неизменным с течением времени.На самом деле закон сохранения импульса не выводится, а следует из свойств пространства-времени (см. РАЗДЕЛ 1.1.2).Более подробно закон сохранения импульса будет рассмотрен в ПАРАГРАФЕ 1.6.19Разумеется, в «живой» лекции этот рисунок нужно сделать заново.38Лекция 41.5.

Характеристики

Список файлов лекций