1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

6.4где t1 и t2 – моменты времени, в которые материальная точка проходит соответственно положения 1 и 2.По II закону Ньютона F  ma , а ускорение a t2t2v2dvmv2A   mavdt  m v dt  m  vd v dt2t1t1v1dv, поэтомуdtv2v1mv22 mv12 Wк2  Wк1  ΔWк2261(здесь v1, v2 – модули скорости материальной точки соответственно в положениях1 и 2).Теперь рассмотрим механическую систему. Для i-ой материальной точки, входящей в эту систему,Ai  Wк2i  Wк1i .Просуммируем это выражение по всем точкам:A   Ai  Wк2i  Wк1i  Wк2  Wк1  ΔWк , ч. т.

д.В этом доказательстве мы не делали никаких различий между внешними и внутренними силами и их работами, поэтому подразумевается, что A = Ae + Ai.1.8.4. Потенциальная энергия материальной точкиПоле (в математике) – величина как функция радиуса-вектора (или координат). Задать силу как функцию радиуса-вектора материальной точки, воздействие на которую описывается этой силой, значит задать силовое поле.Поле в физике – физический объект (см. РАЗДЕЛ 0.1 и, более подробно, 3.1.1).Поле потенциально (сила потенциальна), если работа поля при перемещении материальной точки по замкнутой траектории равна нулю (иначе говоря, циркуляция силы по замкнутому контуру равна нулю):A11  0 , Fdl  0 .LВ этом случае работа поля по перемещению материальной точки не зависит отформы её траектории, а зависит только от начального и конечного положенияточки.ДоказательствоПусть в потенциальном поле материальная точка пере32 мещается из положения 1 в положение 2 сначала по траектории 1-3-2, а затем по траектории 1-4-2 (РИС.

6.5). Работа по замкнутой траектории 1-3-2-4-114A13241  0Рис. 6.5по определению потенциального поля. Но, согласноопределению работы,A13241  A132  A241  A132  A142 ⇒ A132  A142 , ч. т. д.Изменением потенциальной энергии материальной точки при перемещенииточки из положения 1 в положение 2 называется работа потенциального поля, совершаемая при этом перемещении, взятая с обратным знаком:пΔWп12   A12.Потенциальная энергия материальной точки – работа потенциального поля поперемещению материальной точки в данное положение из точки, где потенциальная энергия принята равной нулю, взятая с обратным знаком:Wп 01Wп   A  пWп 0Fdl 1Fdl .62Физический смысл имеет изменение потенциальной энергии.

Сама же по себе потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной. Приответе на вопрос, чему равна потенциальная энергия, нужно обязательно указывать, где выбрано начало её отсчёта (нулевой уровень).ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА РАБОТЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ1. Работа силы сухого тренияПусть материальная точка B скользит по шероховатой плоской поверхности по траектории l, соединяющей начальную и конечную точки 1 и 2(РИС. 6.6). Сила трения F тр постоянна по модулю(Fтр = Fтр max, см.

РАЗДЕЛ 1.4.5) и всегда направленапротивоположно элементарному перемещениюBl21Рис. 6.6dl , т. е. F тр , dl  π . Элементарная работаdA  F трdl  Fтрdl cos π  Fтрdl ,работа при перемещении из точки 1 в точку 2A    Fтрdl  Fтрl .lВидно, что работа силы трения зависит от длины траектории, соединяющейначальную и конечную точки, следовательно, сила трения не является потенциальной.2.

Работа силы упругостиПусть пружина жёсткостью k растягивается из состояния с деформацией x1 до деформации x2 (РИС. 6.7). В промежуточном положении x сила упругости F упр  kxi .Элементарная работа при увеличении деформации на dl  dxidA  F упрdl  kxi  dxi  kxdx ;полная работа при растягивании пружины от x1 до x2x2kx 2A    kxdx  2x1x2x1 kx 2 kx 2   2  1  .2  2dxk0x1xx2xРис. 6.7Эта работа не зависит от того, каким образом пружина переходит от деформацииx1 к деформации x2, значит, сила упругости потенциальна.

Изменение потенциальной энергииΔWп12   A kx22 kx12.2263Положим начало отсчёта потенциальной энергии в положении недеформированной пружины: Wп(0) = 0; при этом потенциальная энергия деформированной пружиныWп kx 2.23. Работа силы тяжестиПусть материальная точка массы m перемещаетсяиз точки 1 в точку 2 по траектории l (РИС.

6.8). Элементарная работа силы тяжести Fт  mg на маломперемещении dl1mh1dA  Fтdl  Fтdl cos α  Fтdh  mgdh(знак «–» появляется из-за того, что изменениевысоты отрицательно). Полная работаh2A    mgdh  mg  h2  h1  ,ldhα2hh20Рис. 6.8h1где h1 – высота точки 1 над нулевым уровнем, h2 – высота точки 2. Эта работа независит от формы траектории l, а определяется только высотой начального и конечного положений материальной точки массой m, следовательно, сила тяжестипотенциальна. Аналогично, любое однородное поле будет потенциальным.Изменение потенциальной энергииΔWп12  mg  h2  h1  .Положим начало отсчёта потенциальной энергии на нулевом уровне: Wп = 0 приh = 0, тогда потенциальная энергия тела массы m в однородном гравитационномполе (поле тяжести)Wп  mgh 27.4.

Поле центральных силЦентральная сила – сила, модуль которой зависит только от расстояния от точки, называемой силовым центром, направленнаявдоль радиуса-вектора, соединяющего центрсилы с точкой приложения силы:1OrF  f r  .rПусть материальная точка B движется в полеРис. 6.9центральной силы F (силовой центр – точкаO) от точки 1 к точке 2 по траектории l (РИС. 6.9).Работа силы FlBα2Это выражение не является определением потенциальной энергии, как ошибочно полагают многие студенты.2764222111A12   Fdl   Fdl cos α   Fr dr .Эта величина может зависеть только от r1 и r2, поэтому центральное поле потенциально.

Потенциальная энергияWп 0Wп Fr  r  dr .(6.2)rЧастный случайГравитационное поле (см. РАЗДЕЛ 1.4.5)Пусть материальная точка массы m находится вгравитационном поле тела массы M на расстоянииmr от его центра масс (РИС. 6.10). По закону всемир- Mного тяготенияGMmРис.

6.10Fr  r    2 ,rG – гравитационная постоянная. Положим начало отсчёта потенциальной энергиив бесконечно удалённой точке: Wп(∞) = 0. Согласно (6.2),GMmGMmGMmWп    2 dr .rr rrr1.8.5. ГрадиентИз определения потенциальной энергииdWп  dA  Fdl ⇒ F  dWпdl.Это записывается какF  Wп   gradWп . – оператор «набла» – оператор векторного дифференцирования  d, в декарdlтовых координатахij k,xyz– частная производная функции трёх переменных x, y, z по x и т.

д.xГрадиент – произведение вектора  на скалярную функцию – векторная функцияскалярного аргумента; в декартовых координатахWпWпWп(6.3)gradWп  Wп ijk.xyzНаправление градиента совпадает с направлением наиболее быстрого возрастания скалярной функции. Из II закона Ньютона65F  ma,⇒aFgradWп  gradWп (здесь a – ускорение материальной точки, m – её масса).

Материальная точка ускоряется в направлении, противоположном градиенту потенциальной энергии. Вточках, где grad Wп = 0, a  0 и материальная точка находится в положении равновесия. Устойчивое равновесие имеет место в точках, соответствующих минимумупотенциальной энергии.ПРИМЕРДана зависимость потенциальной энергии материальной точки в некотором полеот декартовых координат: Wп = axyz, где a – постоянная.

Найти силу, с которой поледействует на материальную точку, как функцию координат.Из (6.3) получимWпWп  WF   gradWп    п i jk   a yzi  xz j  xyk .yz  xВидно, что F  0 в любой точке на всех трёх осях декартовой системы координат –там имеет место равновесие (устойчивое при a > 0 и неустойчивое при a < 0).1.8.6. Потенциальная энергия механической системыЕсли механическая система находится во внешних потенциальных полях, а такжевзаимодействие тел, входящих в эту систему, описывается потенциальными силами, то можно характеризовать состояние системы потенциальной энергией.

Потенциальная энергия механической системы равна работе внешних и внутренних потенциальных сил при переходе системы из данной конфигурации в конфигурацию, где потенциальная энергия системы принята равной нулю (конфигурациясистемы – это совокупность координат тел (материальных точек), входящих в этусистему):Wп  AWп 0   AWп 0 .ПРИМЕРПотенциальная энергия системы двух гравитирующих телРассмотрим систему из двух тел массами M и m, взаимодействующих гравитационно. Расстояние между центрами масс этих тел равно r (РИС.

6.10). Найти потенциальную энергию системы.Единственная сила, которая здесь учитывается, гравитационная сила – внутренняяи ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ. Положим начало отсчёта потенциальной энергии в бесконечноудалённой точке: Wп(∞) = 0. Найдём работу гравитационной силы при удалениитела массой m (или тела массой M) в бесконечность. Она будет равна потенциальной энергии системыGMmGMmGMmWп  Ar    Fr  r  dr    2 dr ,rrrrrrздесь G – гравитационная постоянная.66Лекция 71.8.7. Закон сохранения и изменения механической энергииРассмотрим механическую систему; тела, входящие в эту систему, претерпеваютвнешние и внутренние воздействия, описываемые потенциальными и непотенциальными силами, и конфигурация системы изменяется.

Изменение кинетическойэнергии системы (см. РАЗДЕЛ 1.8.3) равно сумме работ внешних и внутренних сил:ΔWк  Ae п  Ae нп  Ai п  Ai нп ,где Ae п – сумма работ внешних потенциальных сил, Ai нп – сумма работ внутреннихнепотенциальных сил и т. п. Перенесём работу потенциальных сил в левую частьэтого равенства:ΔWк  Ae п  Ai п  Ae нп  Ai нп .(7.1)ΔWпВ левой части равенства (7.1) стоит сумма изменений кинетической и потенциальной энергии системы. Введём величинуW  Wк  Wп– механическая энергия системы – сумма кинетической и потенциальной энергии.Соответственно левая часть уравнения (7.1) равна изменению механической энергии системы. Т.

е.ΔW  Ae нп  Ai нп– закон изменения механической энергии системы: изменение механическойэнергии системы равно сумме работ внешних и внутренних непотенциальных сил.Закон сохранения механической энергии: механическая энергия системы не изменяется с течением времени, если сумма работ внешних и внутренних непотенциальных сил равна нулю, а все внешние потенциальные силы стационарны (т. е.

Характеристики

Список файлов лекций