1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

4.9ется вокруг своей оси с угловым ускорением ε .Будем решать задачу на основании законов динамики: для груза – II закон Ньютона(4.5), для маятника – теорема о движении центра масс (4.6)23 и основное уравнениединамики вращательного движения (4.7):Ma  F т1  T1 ,(4.5)0  F т2  N  T2 ,(4.6)Iε  MFт2  M N  MT2 .(4.7)Здесь I – момент инерции маятника с грузами массы m относительно его оси; леваячасть уравнения (4.6) равна нулю, так как центр масс маятника находится на неподвижной оси и, следовательно, его ускорение равно нулю.Уравнение (4.6) не содержит информации, нужной для решения данной задачи; оно здесь записывается потому, что теорема о движении центра масс часто бывает необходима при решении задачпо динамике твёрдого тела.2346Представим эти законы в скалярном виде: спроецируем уравнения (4.5) и (4.6) навертикальную ось y, а уравнение (4.7) – на ось z маятника (произвольно выберемнаправление оси y вниз, а оси z – «от нас»):Ma  Fт1  Т 1 ,(4.8)0  Fт2  N  Т 2 ,Iε  T R.2Эта система содержит 3 уравнения с 7 неизвестными.

Запишем дополнительныесоотношения:Fт1  Mg (из закона всемирного тяготения),T2  T1  T (нить невесома),εa(нить нерастяжима и не проскальзывает по шкиву),RI  I0  4mr 2 .Второе уравнение в системе (4.8) содержит две неизвестные Fт2 и N, которые ненужны для получения ответа данной задачи, мы далее не будем его записывать.Подставив дополнительные соотношения в систему (4.8), получимMa  Mg  T ,2 a I0  4mr R  TR.Эта система содержит 2 уравнения с 2 неизвестными a и T и имеет одно и толькоодно решение.

Исключим T:T  M  g  a  , I0  4mr 2 a  MgR2  MaR2 ;aMgR2.I0  4mr 2  MR2(4.9)Для нахождения времени движения груза решим кинематическую задачу. Запишем закон равноускоренного движения материальной точкиr t   r0  v0t at 2,2здесь r – радиус-вектор груза массы M. Спроецируем это уравнение на ось y:at 22(начальная координата и скорость груза по условию равны нулю). В искомый момент времени τ груз будет иметь координату h:y t  y τ   h aτ 22h⇒ τ.2aПодставляя сюда результат (4.9), получимτ2h I0  4mr 2  MR2MgR2.47Проанализируем ответ задачи. При увеличении расстояния r грузов массы m от осимаятника время опускания груза увеличивается, а при увеличении массы M наматывании нити на шкив большего радиуса R – уменьшается.

Это можно проверитьэкспериментально.Демонстрация: Маятник Обербека48Лекция 51.5.5. Динамика плоского движения твёрдого телаКачение без проскальзывания – плоское движение, приCкотором скорость точек тела, соприкасающихся с опорной поверхностью, относительно этой поверхности,равна нулю. Ось, проходящая через эти точки, непо⊗движна и называется мгновенной осью вращения (ось zzна РИС. 5.1). (Ускорения точек мгновенной оси не равнынулю!) Качение без проскальзывания можно предстаРис.

5.1вить как вращение вокруг мгновенной оси.Качение без проскальзывания возможно благодаря трению. Оно характеризуетсясилой трения покоя24 (так как точки, соприкасающиеся с поверхностью, не движутся относительно неё).Демонстрация: Скатывание цилиндров с наклонной плоскостиПРИМЕРСкатывание цилиндра с наклонной плоскостиЦилиндр массы m и радиуса R, момент инерции которого относительно его оси равен IC, скатывается без проскальзывания с плоскости, наклонённой к горизонтупод углом α (РИС. 5.2). Найти ускорение центра масс цилиндра.Объект исследования – цилиндр –yтвёрдое тело.Система отсчёта – лабораторная.⊗На цилиндр действуют: Земля с сиmR⊗лой тяжести Fт , наклонная плосz0 ⊗ C⊗zαРис. 5.2xкость с силами реакции опоры N(упругая составляющая) и тренияпокоя F тр (неупругая составляющая).

Цилиндр совершает плоскоедвижение, вращаясь с угловымускорением ε , при этом его центрмасс движется с ускорением aC .Запишем законы динамики – теорему о движении центра масс (5.1) и основное уравнение динамики вращательногодвижения (5.2):maC  Fт  N  F тр ,(5.1)Iε  M Fт  MN  M Fтр ,(5.2)здесь I – момент инерции цилиндра относительно оси.Т. н. сила трения качения в нашем курсе не рассматривается. Трение качения обусловлено наличием ненулевого момента силы реакции опоры (её упругой и неупругой составляющих) относительно оси, проходящей через центр масс тела, и приводит к замедлению вращения катящегосятела. Трение качения возможно, лишь если опорная поверхность не является абсолютно твёрдой; взадачах нашего курса всегда по умолчанию полагается обратное.2449Спроецируем векторные уравнения на координатные оси: уравнение (5.1) – на осиx (направлена вдоль наклонной плоскости) и y (направлена перпендикулярнонаклонной плоскости); уравнение (5.2) – либо на ось z0, проходящую через центрмасс цилиндра, либо на ось z – мгновенную ось вращения.

Выберем ось z0;maC  Fт sin α  Fтр ,0  N  Fт cos α ,I ε  F R.трC(5.3)Эта система содержит 3 уравнения с 5 неизвестными. Запишем дополнительныесоотношения:Fт  mg ,aC(кинематическая связь – отсутствие проскальзывания).RПосле их подстановки в систему (5.3) получится система уравненийεmaC  mg sin α  Fтр , aC FтрR. IC R(Отсюда мы исключили второе уравнение в системе (5.3), так как оно содержитлишнюю неизвестную N.) Решив эту систему уравнений относительно aC, получимmgR sin α.aC IC  mR2Чем больше момент инерции цилиндра, тем меньше ускорение его центра масс и,следовательно, конечная скорость, что мы и наблюдали в эксперименте.

В частноg sin αmR2сти, для полого цилиндра IC = mR2 и aC , а для сплошного цилиндра IC 22R2 g sin αи aC . Сплошной цилиндр скатывается быстрее полого.3R1.5.6. Момент импульсаПреобразуем основное уравнение динамики вращательного движения с учётомdωтого, что по определению ε ( ω – угловая скорость тела):dtIε  M ⇒ I d IωdωM,M ⇒dtdtdLMdt– основное уравнения динамики вращательного движения в дифференциальной форме, гдеL  Iω– момент импульса твёрдого тела относительно оси;(5.4)50 L кг  м2.сПри M  0dL0dt– закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы относительно любой оси не изменяется с течением времени.На самом деле закон сохранения момента импульса ниоткуда не выводится, а является выражением свойств пространства-времени (см.

РАЗДЕЛ 1.1.2).Более подробно закон сохранения момента импульса рассмотрим ДАЛЕЕ.1.6. Закон сохранения импульсаЗаконы сохранения позволяют найти связь между характеристиками механической системы до и после взаимодействия, не вдаваясь в подробности произошедшего процесса. Сначала подробно рассмотрим закон сохранения импульса.Вспомним основные соотношения (см.

РАЗДЕЛ 1.4.8):Импульс материальной точки:p  mvИмпульс механической системы:P   pi  M vCТеорема о движении центра масс:edPFdtЕсли система замкнута, тоdP 0 ⇒ P  const .dtЗакон сохранения импульса: импульс замкнутой системы остаётся неизменным стечением времени.Замкнутых систем в строгом смысле этого слова в природе не бывает, но во многихслучаях импульс системы можно считать сохраняющимся:Fe0.1.Внешние силы скомпенсированы:2.Движение системы рассматривается в течение короткого промежутка времениΔt:eeΔP F , ΔP  F Δt .ΔtЕсли Δt мало, то и ΔP мало и им можно пренебречь.

С чем сравнивать эти величины? Речь идёт о влиянии взаимодействий, описываемых внешними и внутренними силами, на движение отдельных тел, входящих в рассматриваемуюмеханическую систему, при взрыве, ударе и т. п. Изменение импульса этих телпод действием внутренних сил велико по сравнению с изменением импульсапод действием внешних сил тогда, когда модуль главного вектора внутреннихсил, приложенных к какому-либо телу, входящему в систему, много больше модуля равнодействующей внешних сил, приложенных к этому же телу: Fii Fie .513. dPe F  0  , но проекция главного векВнешние силы не скомпенсированы  dtтора внешних сил на какое-либо направление равна нулю:dPFxe  0 ⇒ x  0 ⇒ Px  constdt– проекция импульса механической системы на это направление (ось x) остаётся неизменной с течением времени.ПРИМЕРПружинная пушкаПушка массы M стоит на горизонтальных рельсах и стреляет в горизонтальномнаправлении снарядом массы m, вылетающим со скоростью v (РИС.

5.3). Найти скорость пушки после выстрела.Рассмотрим механическую систему пушкаmснаряд. Будем работать в лабораторной сиMстеме отсчёта.xСчитаем, что в момент выстрела сохраняется проекция импульса системы на гориРис. 5.3зонтальное направление (Px = const); изменением импульса системы под действием трения пушки о рельсы пренебрежём. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось x:0  mv  Mu ;получимmvu.MЧем массивнее снаряд, тем больше начальная скорость пушки и расстояние, на которое она откатится после выстрела.

Проверим это экспериментально.Демонстрация: Пружинная пушка1.7. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса1.7.1. Момент импульсаМомент импульса – векторная величина (псевдовектор), характеризующая инертность тела в движении.1. Момент импульса материальной точки относительно точкиМомент импульса материальной точки относительно точки (полюса) равенвекторному произведению радиуса-вектора этой точки на её импульс (РИС.

Характеристики

Список файлов лекций