1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

19.7). Найти зависимость напряIжённости электрического поля от расстоя50QSIIIISI ния r от центра сферы Er(r) .Заряд распределён сферически симметрично. В каждой точке пространства напряO Rжённость электрического поля E направrBлена радиально.Будем выбирать поверхности интегрироваrния в виде сфер радиуса r,где r – расстояниеот центра сферы до точки, где измеряетсяAнапряжённость поля.Разобьём пространство на две области – внесферы и внутри сферы.

Вид зависимостиEr(r) в этих областях должен быть различным.Рис. 19.7Здесь и далее в подобных примерах мы находим именно проекцию векторного поля на указанноенаправление – величину, которая содержит информацию и о модуле, и о направлении векторногополя. В зависимости от знака заряда проекция напряжённости электрического поля может быть какположительной, так и отрицательной.50156I. r > RТеорема Остроградского-Гаусса: q EIdSI SIε0SI.Выберем поверхность SI в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфере(РИС. 19.7). В каждой точке этой поверхности (например, в точке A на рисунке)напряжённость электрического поля E I направлена радиально, а по модулю одинакова.

Вектор внешней нормали dS I сонаправлен E I . Поток напряжённости электрического поля E dS   EISIISIIrdS I cos0  EIr  dS I  EIr S I  EIr 4πr 2 .Заряд, охваченный поверхностью SI,SI1qSIQ– весь заряд заряженной сферы. ПолучимQQ⇒ EIr .EIr 4πr 2 ε04πε0r 2II. r < RТеорема Остроградского-Гаусса:EIIdS II  qSIIε0SII.Выберем поверхность SII в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфере(РИС. 19.7).

Направления E II и dS II показаны на рисунке. Поток напряжённостиэлектрического поля, аналогично выражению для области I,EIIdS II  EIIr 4πr 2 .SIIЗаряд, охваченный поверхностью SII,qS II 0,так как заряды внутрь поверхности SII не попадают.

ПоэтомуE IIr  0 .График зависимости Er(r) представлен на РИС. 19.8.При r = R график Er(r) терпит разрыв, так как на поверхности r = R сосредоточенысвободные заряды. Разрывы конечной величины на графиках можно соединятьсплошной линией.157Er0RrРис. 19.82) Электрическое поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямойнитиБесконечно длинная прямая нить равномерно заряжена с линейной плотностью ττ(РИС. 19.9). Найти зависимость напряжённости электрического поля от расстоянияr от нити Er(r).BРаспределение заряда имеет осевую симметрию. Теорема Остроградского-Гауссаrh  q S .EdSASε0Выберем поверхность интегрирования ввиде цилиндра радиуса r (r – расстояниеSот нити до точки, где измеряется поле –точка A на РИС. 19.9) и произвольной выРис.

19.9соты h, ось которого совпадает с нитью.Напряжённость электрического поля направлена радиально и зависит только от r.Векторы внешней нормали направлены: для боковой поверхности dS бок E , дляторцов dS торц  E . Поток напряжённости электрического поля1π 0EdSEdSEdSEdScos02EdScosбок  2торц rбокrторцS2SбокS торцSбокS торц Er dSбок Er Sбок  Er 2πrh.SбокЗаряд, охваченный поверхностью S, qS τh– заряд участка нити длиной h. Получимτhτ⇒ Er .Er 2πrh ε02πε0r158Результат не зависит от h, как и должно быть. Это же решение было получено намиметодом суперпозиций (см.

РАЗДЕЛ 3.2.3).График зависимости Er(r) представлен на РИС. 19.10.Er0rРис. 19.10159Лекция 203.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённостиэлектрического поля (продолжение)3) Электрическое поле равномерно заряженной плоскостиПлоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ.

Найти зависимость напряжённости электрического поля от расстояния от плоскости: Ex(x).σCABS0xРис. 20.1Распределение заряда имеет плоскую симметрию. Теорема Остроградского-Гауссаq EdS Sε0S.Выберем поверхность интегрирования в виде цилиндра высотой 2 x (x – координата точки, где измеряется поле – точка A на РИС. 20.1) и произвольного сеченияSторц, расположенного симметрично относительно заряженной плоскости. Напряжённость электрического поля направлена перпендикулярно плоскости и можетзависеть только от x. Векторы внешней нормали направлены: для боковой поверхности dS бок  E , для торцов dS торц E .

Поток напряжённости электрического поля EdS   EdSSSбокбок2EdS торц S торц E dSxбокcosSбок 2Eπ 2  E x dS торц x cos0 2 SторцdS торц  2ES торц .S торцЗаряд, охваченный поверхностью S, q S σSторц– заряд участка плоскости площадью Sторц. ПолучимσSσ2ES торц  торц ⇒ E ε02ε05151;Эта формула справедлива при σ > 0. Для σ < 0 знак σ нужно изменить на противоположный.160σx0:E,x2ε0 x  0: E   σ .x2ε0По каждую сторону от заряженной плоскости поле однородно. График зависимостиEx(x) представлен на РИС.

20.2.Ex0xРис. 20.2Демонстрация:Сетка Кольбе3.2.4. ПотенциалI уравнение Максвелла для электростатического поля Edl  0 .LУмножим это уравнение на пробный заряд q0:q0  Edl   q0 Edl   F1dl  0LLL– работа электростатического поля по перемещению пробного заряда по произвольной замкнутой траектории равна нулю. Это означает, что электростатическоеполе потенциально (см. РАЗДЕЛ 1.8.4).[Можно прийти к этому выводу по-другому: кулоновская сила центральна, а полецентральных сил потенциально (см. 1.8.4).]Потенциальная энергия заряженной частицы в электростатическом поле равнаработе внешних сил при перемещении этой частицы из точки, где потенциальнаяэнергия принята равной нулю, в данную точку, или работе поля при этом перемещении:Wп   Aполя  A* .Потенциальная энергия – характеристика и поля, и заряда:Wп  f q0 , E .ОтношениеWпне зависит от q0 и является энергетической характеристикой поля:q0161φWп;q0– потенциал;[φ] = В (вольт).Эта величина определяется с точностью до произвольной постоянной.

Физическийсмысл имеет разность потенциаловA1поляA1*22Δφ12  φ2  φ1  q0q0– работа поля по перемещению пробного заряда из начального положения в конечное, отнесённая к модулю этого заряда и взятая с обратным знаком, или работавнешних сил при том же перемещении, отнесённая к модулю пробного заряда.Связь напряжённости и потенциала электростатического поляРабота электростатического поля при перемещению пробного заряда из точки 1 вточку 2222111Aполя   F1dl   q0 Edl  q0  Edl ;разность потенциалов2Aполя   Edl ;q01Δφ12  интегрирование проводится по произвольной кривой, соединяющей точки 1 и 2.Интегральная связь напряжённости и потенциала электростатическогополя2211Δφ12    Edl    E l dl ,1φ1  1Edl   φ 0  φ 0 E l dl– потенциал поля в точке 1.Элементарная работа поляδAполя  F1dl  q0 Edl ;элементарное приращение потенциалаdφ  E δAполя Edl ,q0dφ  grad φdl– дифференциальная связь напряжённости и потенциала электростатичеdφского поля (определение вектора градиента φ см.

в РАЗДЕЛЕ 1.8.5).dl162Эквипотенциальная поверхность – геометрическое место точек, потенциал которых одинаков.Так как E   gradφ , вектор напряжённости электрического поля перпендикуляренэквипотенциальным поверхностям.ПРИМЕРПотенциал поля точечного зарядаНапряжённость электрического поля точечного заряда qEq r.4πε0 r 3Эквипотенциальные поверхности – сферы (РИС. 20.3).Положим начало отсчёта потенциала в бесконечно удалённой точке: φ(∞) = 0. Интегрирование в формуле интегральной связи напряжённости и потенциала проведёмпо радиальной прямой:rrrrq drq 1qφ    Edr    Er dr   .24πε0 r4πε0 r  4πε0r⊕qrРис.

20.3Принцип суперпозиции (в применении к потенциалу): потенциал электростатического поля системы заряженных тел равен сумме потенциалов полей, создаваемыхкаждым из этих тел по отдельности:φ  φi , φ   dφ .ДоказательствоИмеем систему N заряженных тел. По принципу суперпозиции напряжённостьэлектрического поляE   Ei .Интегральная связь напряжённости и потенциала для поля в точке AAφ φ 0 AEdl    φ 0  Ei dl  A φ 0 E i dl   φi , ч. т. д.Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды и найти потенциал по методу суперпозиций. Таким образом проще рассчитать потенциал, чемнапряжённость электрического поля, так как потенциал – скалярная величина, анапряжённость – векторная.ПРИМЕР1) Поле равномерно заряженного тонкого кольцаПо тонкому кольцу равномерно распределён заряд Q > 0 (РИС.

20.4). Найти зависимость потенциала от координаты в точке на оси z кольца: φ(z).Положим потенциал равным нулю в бесконечно удалённой точке. Разобьём кольцона малые участки с зарядами dq и воспользуемся методом суперпозиций:dqφ   dφ , dφ .4πε0r163Расстояние r до точки A, где измеряется потенциал одинаково для всех элементов dq;zr  R2  z2 .Проинтегрируем выражение для потенциала по q:Qφ0dq4πε0 R 2  z 2Q4πε0 R 2  z 2A.rQНайдём напряжённость электрического поля как функцию zчерез дифференциальную связь напряжённости и потенциала:dφE   grad φ  kdzzROdqРис. 20.4( k – орт оси z), так как в точках на оси z напряжённость электрического поля направлена вдоль этой оси и может зависеть только от z;Ez   1Q    2z 2dφdz4πε0 R2  z 232Qz4πε0 R2  z 232.Этот же результат мы получили РАНЕЕ методом суперпозиции E .2) Поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нитиБесконечно длинная прямая нить равномерно заряжена с ли- τнейной плотностью τ (РИС.

20.5). Найти зависимость потенциала электрического поля от расстояния r от нити: φ(r).Воспользуемся результатом решения ЗАДАЧИ о напряжённости электрического поля этой системыτEr r2πε0rи интегральной связью напряжённости и потенциала.Начало отсчёта потенциала возьмём в точке O на расстоянииr0 от нити52;rr0Orτ drτrln .2πε0 r 2πε0 r0r0φ    Er dr   r0AРис. 20.5График зависимости φ(r) показан на РИС. 20.6.В случае, если заряды располагаются в бесконечно удалённых точках, нельзя взять начало отсчёта потенциала в бесконечности.52164φr0Q0rРис. 20.63) Поле равномерно заряженной сферыСфера радиуса R равномерно заряжена зарядом QQ(РИС.

Характеристики

Список файлов лекций