1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

24.7I L I1  I2 . Токи I3 и I4 с контуром L не сцеплены.I4I1I3LI2Рис. 24.763Эту теорему иначе называют законом полного тока.200Теорема о циркуляции B полезна для расчёта магнитной индукции в отдельныхслучаях, в том числе при осевой симметрии распределения токов. Сначала направление B определяется методом суперпозиций, затем выбирается такой контур интегрирования, циркуляцию по которому легко вычислить.ПРИМЕРЫ1) Расчёт индукции магнитного поля тонкого прямого длинного провода с токомПо тонкому бесконечно длинному прямому проводу идёт ток I.

Найти индукциюмагнитного поля как функцию расстояния от провода.Принцип суперпозиции и закон Био-Савара-Лапласа указывают, что в каждойточке магнитная индукция направлена перпендикулярно току (проводу) и радиусу– перпендикуляру к проводу, проведённому в точку, где измеряется поле. Такимобразом, силовые линии магнитного поля представляют собой окружности. НаРИС. 24.8А изображён вектор индукции магнитного поля в точке A, лежащей в плоскости рисунка. РИС. 24.8Б – это РИС.

24.8А – вид сверху (провод перпендикуляренплоскости рисунка).II⊗⊗ArL⊙rALабРис. 24.8Теорема о циркуляции B Bdl  μ   I 0LL.Так как провод бесконечный, модуль B может зависеть только от r. Поэтому выбираем контур интегрирования L в виде окружности радиуса r, центр которой лежитна проводе (РИС. 24.8А, Б). В каждой точке контура L вектор магнитной индукциинаправлен по касательной и одинаков по модулю. Циркуляция B по контуру L Bdl   Bdl cos0  B  dl  B  2πr .LLLСумма сцепленных с контуром L токовI ПолучимLI .201μ0 I.2πrЭтот результат был нами получен РАНЕЕ по методу суперпозиций.B2πr  μ0 I ⇒ B 2) Расчёт индукции магнитного поля длинного прямого соленоида с токомПо бесконечно длинному соленоиду с плотностью намотки n идёт ток I. Найти индукцию магнитного поля внутри соленоида.По принципу суперпозиции поле соленоида складыLвается из полей бесконечного числа витков.

Внутри43соленоида суммарная магнитная индукция будет⊙⊙⊙I⊙направлена вдоль его оси (РИС. 24.9), более того, поле12B будет однородно, а вне соленоида поля витков будут скомпенсированы и результирующая магнитнаяиндукция равна нулю (студенты должны показатьэто самостоятельно).⊗⊗⊗⊗Применим теорему о циркуляции B Bdl  μ   I 0LLРис. 24.9.Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна из сторон (1-2)которого параллельна оси соленоида и лежит внутри него, противолежащая ей(3-4) – вне соленоида, а две другие (2-3 и 4-1) перпендикулярны оси соленоида(РИС. 24.9). Циркуляция B по контуру L234123123412 Bdl   Bdl   Bdl   Bdl   Bdl   Bdl cos0   Bdl cosL0l12 – длина прямоугольника L.Сцепленный с контуром L ток10I L2ππ  Bdl cos  B  dl  Bl12 ,2 4210 nl12I ,nl12 – число витков, приходящееся на отрезок соленоида длиной l12.

ПолучимBl12  μ0nl12I ⇒ B  μ0nI .(24.3)Как и должно быть, магнитная индукция на зависит от l12 – параметра произвольного контура интегрирования. Магнитная индукция также не зависит от формы иразмеров поперечного сечения соленоида.Полученный результат был достигнут нами РАНЕЕ с использованием метода суперпозиций.3) Расчёт индукции магнитного поля тороида с токомТороид – геометрическое тело, образованное вращением плоской фигуры вокругоси, лежащей в плоскости этой фигуры.Имеется тороид, внутренний радиус которого равен R1, внешний радиус – R2, с обмоткой из N витков, по которым идёт ток I (РИС.

24.10). Найти индукцию магнитного поля как функцию расстояния r от оси тороида.Магнитное поле тороида является суперпозицией магнитных полей его витков. Поэтому вне тороида (при r < R1 и r > R2) B = 0. Внутри же тороида вектор магнитной202индукции будет перпендикулярен радиусу, проведённому из центра тороида вточку A, где измеряется поле, модуль магнитной индукции будет зависеть толькоот r.

Применим теорему о циркуляции B Bdl  μ   I 0LL.Выберем контур интегрирования L в виде окружностирадиуса r с центром в центре тороида. Циркуляция Bпо контуру LIL Bdl   Bdl cos0  B  dl  B  2πr .LLLOСцепленный с контуром L токI Lr R2A NI .R1ПолучимB2πr  μ0 NI ⇒Bμ0 NI2πrРис. 24.10при R1 < r < R2.График зависимости B(r) представлен на РИС. 24.11.B0R1R2xРис. 24.11Предельный случайПри R1 ≈ R2 ≈ R (тонкий тороид)Bμ0 NI μ0nI ,2πR(24.4)N– плотность намотки тороида. Формула (24.4) совпадает с (24.3) – ин2πRдукцией магнитного поля длинного соленоида.где n 203Лекция 253.7.3.

Теорема Остроградского-Гаусса для магнитной индукцииТеорема Остроградского-Гаусса для B : поток вектора магнитной индукциисквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю: BdS  0 .SПоток вектора магнитной индукции – магнитный потокΦ   BdS ; [Φ] = Вб (вебер).SПоток магнитной индукции сквозь незамкнутую поверхность не зависит от формыэтой поверхностью, а зависит только от ограничивающего её контура.ДоказательствоПусть на контур L натянуты две поверхности S1 и S2S1L (РИС.

25.1). Составная поверхность S1 + S2 – замкнутая. По теореме Остроградского-Гаусса для BS2BdS  0 .S1  S 2При вычислении потока по замкнутой поверхности dS –внешняя нормаль. ПоэтомуРис. 25.1S1  S2BdS   BdS1   BdS2 .S1S2При расчёте же магнитного потока сквозь незамкнутые поверхности направлениенормали выбирается по правилу правого винта, соответственно, нормали dS1 иdS2 будут направлены в одну сторону; dS2  dS2 . Из этого следует, что BdS   BdS1S1S220 ⇒ BdS   BdS1S12 0 , ч. т.

д.S2ПРИМЕРПоток однородного магнитного поля сквозь полусферуНайти поток однородного магнитного поля с индукцией B сквозь полусферу радиуса R, при том что силоSвые линии магнитного поля направлены под углом αк нормали к основанию полусферы (РИС. 25.2).αRS′Полусфера S натянута на окружность радиуса R с ценOтром в центре полусферы – точке O. На ту же окружность натянуто и плоское основание S′. Следовательно, магнитные потоки сквози поверхности S и S′равны:Рис. 25.2Φ  Φ  BdS   BdS  cos α  B cos α dS  SS BS  cos α  πR2B cos α .S2043.7.4. Векторный потенциалРотор – векторная функция векторного аргумента – векторное произведение оператора векторного дифференцирования  на векторную функциюrot B   , B  .В декартовых координатахirot B xBxjyByk.zBzРотор вектора всегда перпендикулярен этому вектору.Из теоремы о циркуляции B в интегральной форме Bdl  μ  jdS0LS( j – плотность тока) следует, чтоrot B  μ0 j(25.1)– теорема о циркуляции B в дифференциальной форме.Векторный потенциал A – векторная величина – энергетическая характеристика магнитного поля – такая, чтоrot A  B ,(25.2)причёмdiv A  0 ;[A] = Тл·м.Подставим определение (25.2) в теорему о циркуляции B (25.1):rot rot A  μ0 j .Преобразуем левую часть этого равенства по известной формуле двойного векторного произведения: rot rot A    A     A     A  2 A ,02 A  μ0 j .В декартовых координатах:  2 Ax  2 Ax  2 Ax 2  2  2   μ0 jx ,yz x  2 Ay  2 Ay  2 Ay  μ0 j y , 2 22xyz 2 A 2 A 2 A 2z  2z  2z   μ0 jz .yz x(25.3)205Это три независимых дифференциальных уравнения второго порядка в частныхпроизводных.

Поэтому при известном распределении плотности тока в некоторыхслучаях удобнее решить эти уравнения по отдельности и найти все компонентывекторного потенциала, а затем по определению (25.2), проведя дифференцирование, найти магнитную индукцию.Выражение, подобное (25.3), можно получить и для электрической компонентыэлектромагнитного поля:E  φ , ρ2ρ  ⇒  φ E ε0ε0 (напоминаем, что φ – потенциал, ρ – объёмная плотность заряда).Единая энергетическая характеристика электромагнитного поля: icφ Ax A Ay A  z – 4-потенциал.Методы расчёта магнитной индукцииметод суперпозицийтеорема о циркуляциичерез3.8.

Действие магнитного поля на движущиеся заряды3.8.1. Движение точечного заряда в магнитном полеМагнитная составляющая электромагнитного поля действует на точечный зарядq, движущийся со скоростью v , с силойF2  q  v B – сила Лоренца (магнитная составляющая) (см. РАЗДЕЛ 3.1.3).Магнитная составляющая силы Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы. По этой причине магнитное поле не совершает работы.ПРИМЕРДвижение заряженной частицы в однородном магнитном полеЧастица массы m, имеющая заряд q > 0, влетает со скоростью v в область пространства, где имеется однородное магнитное поле с индукцией B (РИС.

25.3). Уголмежду v и B равен α. По какой траектории будет двигаться частица?Запишем II закон Ньютона для данной частицыma  F2 ,(25.4)где F2  q  v B  . Сила F2 и ускорение a изображены на РИС. 25.3А, Б в разных проекциях.206⊙ORαm, q ⊕ ⊙⊕m, qабРис. 25.3Сила F2 перпендикулярна скорости частицы, так же направлено и ускорение, т. е.a = an – нормальное ускорение. Следовательно, вдоль оси, параллельной линияммагнитной индукции, частица будет двигаться равномерно, а в проекции на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции (плоскость РИСУНКА 25.3Б)– по окружности.Спроецируем векторное равенство (25.4) на нормаль к проекции траектории частицы на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции:man  qvB sin α .v2По известной формуле кинематики (2.3) an , где v⏊ = v sin α, R – радиус траекRтории;mv2mv q v B ⇒ R .RqBМожно также найти шаг спирали, по которой движется частица.При q < 0 траектория будет закругляться в другую сторону.Демонстрация: Электронно-лучевая трубка3.8.2.

Действие магнитного поля на проводник с токомРассмотрим участок проводника длиной dl, находящийся в магнитном поле с индукцией B , по которомуидёт ток I (РИС. 25.4). Заряд носителей равен q (будемсчитать, что в проводнике движутся положительно за⊗q⊕ряженные частицы), скорость упорядоченного движеIния – v . На каждый носитель магнитное поле действуетс силой F2  q  v B  .

Всего на данном участке проводникаРис. 25.4находится dN носителей заряда, их общий зарядdQ  q  dN .Сила, с которой магнитное поле действует на все эти заряды,dFА  F2dN  q  vB  dN  dQ  vB  .207Представим v гдаdl(направим dl в сторону упорядоченного движения зарядов), тоdt dl  dQdl , B   I dl , B  ,dFА  dQ  B   dtdtdQ.dtЗакон Ампера:так как I dFА  I dl , B  ,где dFА – сила Ампера – сила, с которой магнитное поле действует на проводник стоком.ПРИМЕРВзаимодействие прямых проводов с токамиИмеются два прямых параллельных длинных провода с токами I1 и I2, текущими водну сторону (РИС. 25.5А).

Расстояние между проводами равно d. Найти силу, с которой магнитной поле одного провода действует на отрезок другого провода единичной длины.Направление индукции магнитного поля B1 провода с током I1 в точках, через которые проходит провод с током I2, и индукции магнитного поля B2 провода с токомI2 в точках, через которые проходит провод с током I1; dF 21 – сила, с которой полепровода с током I1 действует на элемент тока dl2 ; dF 12 – сила, с которой поле провода с током I2 действует на элемент тока dl1 показаны на РИС. 25.5А.I1I2⊙I2⊗⊗⊗ddабРис. 25.5По закону АмпераI1208dF 12  I2 dl2 , B1  , dF12  I2B1dl2 ,⇒dF21  I1 B2dl1 .dF 21  I1 dl1 , B2  Модули магнитной индукции (см. ПРИМЕР В РАЗДЕЛЕ 3.7.2)μIμIB1  0 1 , B2  0 2 .2πd2πdПри l1 = l2 = 1μIIF12  F21  0 1 2 .2πdПри одинаково направленных токах провода притягиваются.

Характеристики

Список файлов лекций