1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

30.2А, Б. Видно, что ток опережает заряд конденсатора (и напряжение на конπденсаторе) по фазе на .2Энергия электромагнитного поля в колебательном контуре (энергия колебательного контура) складывается из энергии электрического поля конденсатора иэнергии магнитного поля катушки:U t  q2 LI 2 qm2 LIm2 const ,(30.6)2C2 2C2где qm, Im – соответственно амплитуды заряда конденсатора и тока в цепи. Студенты доказывают утверждение (30.6) самостоятельно.W246qq0t0–qаIq0ω00t–q0ω0бРис.

30.23.13.2. Свободные затухающие колебанияПусть теперь электрическое сопротивление цепи отлично от нуля (см. схему наРИС. 30.3, содержащую элемент R).Обобщённый закон Ома для участка цепи 12:Lφ1  φ2 Es  IR .(30.7)RI Подставим в это уравнение выражения (30.2) и (30.3):1 2qdI  L  IR .CCdtРис. 30.3dqУчитывая, что I , запишем это уравнение какdtd 2q R dq q0;dt 2 L dt LCобозначим(16.1)1R ω02 ,  2β , где β – коэффициент затухания; получим уравнениеLCL247d 2qdq 2β ω02q  02dtdt(30.8)– дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (см. 1.14.3). Этооднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнениеλ2  2βλ  ω02  0 .(30.9)Корни этого уравненияλ1,2  β  β 2  ω02 .Эти корни могут быть как действительными, так и комплексными.

Общее решениедифференциального уравнения (30.8)q t   A1e λ1t  A2e λ2t ,A1 и A2 – постоянные интегрирования.1. Сильное затухание (β ≥ ω0)Корни характеристического уравнения (30.9) –действительные. Общее решение дифференциального уравнения (30.8)q t   A1eββ2ω02t  A e ββ2ω02tqq02– апериодическое решение (разрядка конденсатора). График этого решения представлен наРИС. 30.4 (q0 – заряд конденсатора при t = 0).0tРис. 30.42. Слабое затухание (β < ω0)Корни характеристического уравнения (30.9) – комплексные.

Общее решение дифференциального уравнения (30.8)q  t   A1e  β iω02  β 2 t A2e  β iω02  β 2 t e  βt A1ei ω02  β2 t A2e i ω02  β 2 t.Обозначимω  ω02  β 2– циклическая частота свободных затухающих колебаний. Общее решениеудобно представить в видеq t   A0e βt cos ωt  φ ,(30.10)где A0 и φ – постоянные интегрирования, значения которых определяются изначальных условий.Период затухающих колебаний2π2πT.ωω02  β 2Амплитуда затухающих колебанийAt   A0e βt ;248затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания с переменной амплитудой:q t   Acos  ωt  φ .График функции (30.10) при φ = 0 показан на РИС.

30.5.q0TtРис. 30.5Зависимость тока в цепи от времениdqI t   A0e  βt   β cos  ωt  φ   ω sin  ωt  φ     A0e  βt β 2  ω2 dtβωcos  ωt  φ  sin  ωt  φ     A0e  βt β 2  ω2 sin  ωt  φ  θ  ; β 2  ω2β 2  ω2sin θcos θβtg θ  .ωπТок отстаёт от напряжения по фазе на  θ .2Введём ещё некоторые характеристики затухающих колебаний.Логарифмический декремент затуханияδ  lnA t A t  T .Выразим логарифмический декремент через другие характеристики колебаний:A0e  βt2πβδ  ln βT . βt  βTA0e eωВремя релаксации – время, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз:249A t A0e  βte ⇒ e βτ  e ⇒ βτ  1 , βt  βτA t  τ A0e eτ1.βЧисло колебаний за время релаксации, т.

е. число колебаний, за которое их амплитуда уменьшается в e раз,τ1 1Ne   .T βT δОтсюда ясен физический смысл логарифмического декремента затухания.Добротность колебательного контураπ ππω ωQ  πNe .δ βT2πβ 2βЭта величина пропорциональна числу колебаний, за которое их амплитуда уменьшается в e раз.Энергия затухающих колебанийВ колебательной системе с затуханием происходит диссипация энергии. Так какэлектрическое сопротивление цепи отлично от нуля, энергия электромагнитногополя переходит во внутреннюю энергию проводников.Энергия колебаний пропорциональна квадратам амплитуд всех колеблющихся величин: W ~ qm2 ~ Im2 ~ Um2 ~ e2βt .Относительное уменьшение энергии за периодΔWWW t   W t  T При малом затухании (δ << 1)W t ΔWW 1  e 2βT  1  e 2δ . 2δ .

Тогда2π2πW.ΔWΔWWЧем выше добротность колебательной системы, тем медленнее убывает энергияколебаний.Q3.13.3. Вынужденные колебанияТеперь включим в колебательный контур источник с переменCR1 2 Lной ЭДС (РИС. 30.6), изменяющейся по гармоническому закону:E  U0 cosΩt~EРис. 30.6– вынуждающей ЭДС.Обобщённый закон ома для участка 12:φ1  φ2 E Es  IR .(30.11)Подставив сюда (30.2) и (30.3), получим250qdI  U0 cosΩt  L  IR ;Cdtс учётом I dqdtd 2qdq qL 2  R   U0 cosΩt ,dtdt Cd 2q R dq q U0 cosΩt .dt 2 L dt LC LОбозначим, как и ПРЕЖДЕ,UR1 ω02 ,  2β , а также 0  F0 . Уравнение (30.11) приметLLCLвидd 2qdq 2β ω02q  F0 cosΩt2dtdt(30.12)– дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний.

Этонеоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.Далее рассматриваем случай СЛАБОГО ЗАТУХАНИЯ.Общее решение дифференциального уравнения (30.12):q t   A0e βt cos ωt  φ  q0 cos  Ωt  φ0  .(30.13)общее решение ОДУ частное решение НДУОбщее решение однородного дифференциального уравнения [(30.8) или (30.12)без правой части] быстро затухает, далее мы его учитывать не будем.

Найдём коэффициенты q0 и φ0 в частном решении неоднородного уравнения [и убедимся втом, что это решение действительно имеет вид второго слагаемого в выражении(30.13)].Подставим в (30.12):q t   q0 cos  Ωt  φ0  ,I t  dq Ωq0 sin  Ωt  φ0  ,dtd 2q Ω2q0 cos  Ωt  φ0  ;dt 2получимΩ2q0 cos  Ωt  φ0   2βΩq0 sin  Ωt  φ0   ω02q0 cos  Ωt  φ0   F0 cosΩt .Преобразуем левую часть этого равенства:251q0  ω02  Ω2 cos  Ωt  φ0   2βΩsin  Ωt  φ0    q0ω02  Ω2ω02  Ω22 4β 2Ω2 q0cos θ Ω220220 Ω22 4 β 2Ω 2 sin  Ωt  φ0   2ω02  Ω2  4β 2Ω2 4β 2Ω2 cos  Ωt  φ0  θ  ,tg θ 2βΩcos  Ωt  φ0  ωωsin θ2βΩ.ω02  Ω2Итак,q0ω20 Ω22 4β2Ω2 cos  Ωt  φ0  θ   F0 cosΩt .Это равенство должно выполняться при любых t, поэтому2222 2q0 ω0  Ω  4β Ω  F0 ,cos  Ωt  φ0  θ   cosΩt .Отсюда получим:φ0  θ– колебания заряда опережают вынуждающую ЭДС по фазе на θ;q0 F0ω20 Ω22 4β 2Ω2– амплитуда заряда конденсатора.Запишем окончательные выражения зависимостей заряда конденсатора и силытока в цепи от времени:F0q t  cos  Ωt  θ  ,2222 2ω0  Ω  4β ΩI0 – амплитуда силы токаF0ΩI t   sin  Ωt  θ 2222 2ω0  Ω  4β ΩππТак как  sin  Ωt  θ   sin θ  Ωt   cos   θ  Ωt   cos  Ωt  θ   , ток отстаёт по22πфазе от заряда конденсатора на .2ОбозначимZU0I0– полное сопротивление (импеданс) цепи.

(Эта величина вводится по аналогии сзаконом Ома для участка цепи U = IR: если сопротивление R проводника – это коэф-252фициент пропорциональности между током и напряжением на этом участке, то импеданс Z – это коэффициент пропорциональности между амплитудным значениемтока и амплитудным значением напряжения на клеммах участка цепи, т. е. вынуждающей ЭДС.)Выразим полное сопротивление цепи, а также сдвиг фаз между зарядом конденсатора и вынуждающей ЭДС через параметры R, L, C:ZU0ω20 Ω2F0Ω2 4 β 2 Ω22U0 L  1R2 22Ω4Ω U0Ω  LC4L2222 LL2  1L2 R2 2Ω2L  1222ΩΩ ΩL  , R  R 2 2 2Ω  LCΩ  Ω L ΩC ΩLCtg θ 2RΩRR;2 1 L  1ΩL22L Ω   ΩL  Ω   ΩC LC  ΩLC2R 1Z  R2   ΩL  , tg θ . 1 ΩC ΩC  ΩL (30.14)253Лекция 313.13.3.

Вынужденные колебания (продолжение)Амплитуды силы тока в цепи и заряда конденсатораIU0U0, q0  0 .I0 22Ω 1 1R2  Ω R2   ΩL  ΩL  ΩC ΩCОбобщим сказанное в этом разделе и проанализируем, как изменяется ток и напряжения на разных элементах цепи.1. Заряд конденсатора:q t   q0 cos  Ωt  θ  .2. Сила тока:πI t   q0Ωsin  Ωt  θ   q0Ωcos  Ωt  θ   .23. Напряжение на резисторе:πUR t   IR  q0ΩR cos  Ωt  θ   .24. Напряжение на конденсаторе:q qUC  t    0 cos  Ωt  θ  .C CАмплитуда напряжения на конденсатореqUC 0  0 .CОтношение амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде токаXC UC 0 q0q1, 0 I0 CI0 Cq0Ω ΩCXC 1ΩC– ёмкостное сопротивление.5. Напряжение на катушке индуктивности:dIU L  t   Es  L  q0Ω2L cos  Ωt  θ  .dtАмплитуда напряжения на катушкеUL0  q0Ω2L .Отношение амплитуды напряжения на катушке к амплитуде токаXL U L0 q0Ω2L ΩL ,I0q0ΩX L  ΩL– индуктивное сопротивление.254Полное сопротивление цепи (30.14) можно выразить через ёмкостное и индуктивное сопротивление:Z  R2   X C  X L  .2Демонстрация: Роль катушки индуктивности в цепи переменного токаНайдём, при какой циклической частоте вынуждающей ЭДС амплитуды силы токав цепи и заряда конденсатора будут максимальны.

Условие экстремума 1  1 1U0    2 ΩL   2  L dI0 2   ΩC Ω C 0,0 ⇒322dΩ 2  1  ΩL  R   ΩC 11 ΩL  0 ⇒ Ω2 ,ΩCLC1Ω  Ωрез I  ω0 ;LCdq00 ⇒dΩ 1 1U0    2ΩR 2  2  Ω2L   2ΩL   2C2 2  1  ΩL  R   ΩC 320,1R212,R2  2  Ω2L  L  0 ⇒  Ω L C2LC1 R2 2  ω02  2β 2 .LC 2LГрафики зависимостей I0(Ω) (при разных сопротивлениях) и q0(Ω) представлены наРИС. 31.1А, Б.Мощность переменного тока по закону Джоуля-ЛенцаπN t   U t  I t   U0 cosΩt  I0 sin  Ωt  θ   U0 I0 cosΩt cos   Ωt  θ  2Ω  Ωрез q 1 ππ U I U0 I0  cos  Ωt   Ωt  θ   cos  2Ωt   θ    0 0 sin θ  sin  2Ωt  θ   .2 222(31.1)Здесь мы воспользовались формулой тригонометрии11cos α cos β  cos  α  β   cos  α  β  .22Усредним выражение (31.1) по времени:UIUIN  0 0 sin θ  0 0 cos φ ,22где cos φ – коэффициент мощности.255I0R=0R1R2 > R10ω0Ωаq0CU0ω ω00ΩбРис.

Характеристики

Список файлов лекций