1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

42.4ε334Лекция 436.3. Тепловое излучение. Фотонный газ6.3.1. Тепловое излучение и его характеристикиТепловое излучение – электромагнитное излучение, испускаемое телами за счётих внутренней энергии. Оно свойственно всем телам при любой температуре. Речьпойдёт о равновесном излучении, т.

е. находящемся в термодинамическом равновесии с излучающим телом.Энергетическая светимость (интегральная излучательная способность) –энергия, испускаемая телом в единичный промежуток времени с единичногоучастка поверхности тела по всем направлениям:RT dWВт,  RT   2 .dSdtмСпектральная излучательная (испускательная) способность – энергия, испускаемая с единичного участка поверхности тела в единичный промежуток временипо всем направлениям в единичном интервале частот79 (длин волн):rω ,T dWdW, rλ ,T ;dSdtdωdSdtdλВтДжrω ,T   2 , rλ ,T   3 .ммСвязь интегральной и спектральной излучательных способностей:dRdRrω ,T  T , rλ ,T  T ;dωdλ00RT   rω ,T dω   rλ ,T dλ .Связь rω, T и rλ, T:2πv 2πv dλ  d   2 dω ;ω ω dωdω  ω2 4π 2 v2 2πv 2π v rω ,Trω ,T  2 rω ,T ,dλ2π vdω 2π vλ2λздесь v – скорость света в среде.rω,T dω  rλ ,T dλ ⇒ rλ ,T  rω ,T(43.1)Спектральная поглощательная способность – безразмерная величина, равнаядоле энергии, падающей на поверхность тела в интервале частот от ω до ω + dω,которая поглощается этим телом:aω ,T dWпогл.dWпадПлотность энергии излучения – энергия излучения в единичном объёме:В этом параграфе частота – это циклическая частота ω.

Все формулы, содержащие эту величину,ωможно записать через частоту ν .2π79335dWДж, wT   3 .dVмСпектральная плотность энергии излучения – плотность энергии излучения,приходящаяся на единичный интервал частот80:wT uω ,T dwTДж  c, uω ,T  .dωм3Связь uω, T и wT:wT   uω ,T dω .0Спектральная и интегральная плотность энергии равновесного теплового излучения не зависят от природы излучающего тела, а зависят только от температуры ичастоты.6.3.2. Чёрное и серое тело. Закон КирхгофаСерое тело – тело, спектральная поглощательная способность которого не зависит от частоты (длины волны) падающего излучения, притом что она меньше единицы:aω,T  aT  1 .Чёрное тело (абсолютно чёрное тело) – тело, поглощающее всё падающее нанего излучение:aω0 ,T  aT0  1 .Модель чёрного телаАбсолютно чёрных тел в природе не бывает, но можносоздать объект, по своим оптическим свойствамсколь угодно приближенный к чёрному телу.

В закрытом сосуде (лучше с зачернённой внутренней поверхностью) нужно сделать малое по сравнению с размерами сосуда отверстие (РИС. 43.1). Если на это отверстие падает свет, то, проходя через отверстие, он либопоглощается внутренней поверхностью сосуда, либоотражается от неё, затем снова падает на внутреннююповерхность, опять поглощается или отражается иРис. 43.1т. д. Таким образом, свет, падающий на отверстие,практически не выходит из него, т.

е. отверстие является чёрным телом.Демонстрация: Модель абсолютно чёрного телаЗакон Кирхгофа: отношение спектральной излучательной и поглощательной способностей тела не зависит от его природы, а является универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры, равной спектральной излучательной способности чёрного тела;rω ,Taω ,T80Аналогично можно ввести uλ, T, aλ, T. rω0,T .336ДоказательствоПусть внутри чёрной оболочки помещено нечёрное тело (РИС. 43.2). Так как оба тела находятся вравновесии с излучением, энергия, поглощённаяучастком поверхности нечёрного тела площадьюdS в любом малом интервале частот dω за времяdt, равно излучённой энергии в том же интервале:dWпогл  dWизл .чёрное телонечёрное телоРис.

43.2По определению спектральной поглощательнойспособностиdWпогл  aω,T dWпад ,где dWпад – энергия излучения в том же диапазоне, падающего на ту же площадку втот же промежуток времени; по определению спектральной излучательной способностиdWизл  rω,T dωdSdt .На участок поверхности чёрного тела площадью dS падает за время dt столько жеизлучения, что и на участок поверхности нечёрного тела той же площади:0.dWпад  dWпадНо чёрное тело поглощает всё падающее на него излучение и, следовательно,столько же излучает:000dWпад dWпогл dWизл rω0,T dωdSdt .Из этих равенств следует, чтоrω,T dωdSdt  aω,T rω0,T dωdSdt ⇒Демонстрация:0ω,TСвязь rrω ,Taω ,T rω0,T , ч.

т. д.Кубок Леслии uω, T:vrω0,T  uω ,T .4(43.2)ДоказательствоПусть на чёрную стенку летит поток фотонов, падающих по нормали к поверхноститела. Плотность потока фотонов равна n, т. е. на единичный участок стенки падаетв единичный промежуток времени vn фотонов. При поглощении каждый фотон пеεредаёт стенке импульс p  , где ε – энергия фотона. Общий импульс, т. е. давлениеvсвета на стенку,nε n ωP  np  .vvПусть в единичном объёме полости, заполненной равновесным тепловым излучением, находится dnω фотонов с частотой от ω до ω = dω.

Энергия этих фотоновdW  εdnω  ωdnω  uω,T dω .337Фотоны летят внутри полости по всем направлениям. Число ударов фотонов о1стенку в единичный промежуток времени равно vdnω . Поэтому4vdW  ωdnω .4Эта же величина равна rω0,T dω . Из этого следуетrω0,T dω r0vvvωdnω  uω ,T dω ⇒ ω ,T  , ч. т. д.uω ,T 4446.3.3. Фотонный газ. Подсчёт числа фотонов с энергией от ε до ε + dεТак как фотоны – бозоны (спин фотона s = 1), они подчиняются статистике БозеЭйнштейна; функция распределения по фазовым ячейкам1f  εi   εi  μ.kTe1Разберёмся, чему равен химический потенциал μ фотонного газа. Число частицN ≠ const, так как фотоны непрерывно поглощаются и излучаются. Фотонный газстремится к минимуму внутренней энергии U за счёт изменения N:U0.N U Но по определению химического потенциала μ  .

Поэтому N V constS  constμ 0 .С учётом равенства нулю химического потенциала функция распределения запишется как1f ε  εe kT  1(здесь и далее в этом разделе мы опускаем индекс i).По определению функции распределенияdNf ε   ε ,dgгде dNε – число фотонов с энергией от ε до ε + dε, dg – число ячеек, соответствующихэтой энергии.Число фазовых ячеек в фазовом объёме dΓ, в котором энергия частиц лежит ε доε + dε,dΓdg  3 ,h 2так как h3/2 – объём фазовой ячейки.

Поскольку энергия фотона не зависит от координаты,338dΓ    dxdydz  dpx dp y dpz  VdΓp , Vгде V – объём полости, в которой находится фотонный газ, dΓp – элемент объёма вподпространстве импульсов. Так как энергия фотона зависит только от модуля импульса, а не от его направления, выбираем dΓp в виде тонкого сферического слоярадиуса p и толщины dp (РИС. 42.3):dΓp  4πp2dp .Так как энергия фотона ε = cp (c – скорость света в вакууме; если излучение распространяется в веществе, в всех формулах этого параграфа следует заменить c на v),εdε4πε 2dεp  , dp ⇒ dΓp ;c3ccdg V  2  4πε 2dε 8πV 2 3 3 ε dε ;c 3h3chdNε 8πV ε 2dεc 3h3 kTεe 1илиdNε V2 3πcε 2dε3eεkT.(43.3)16.3.4.

Спектральная излучательная способность чёрного телаЭнергия фотонов с энергией ε до ε + dε в объёме VdW  εdN ε .Так как ε = ħω, спектральная плотность энергии излученияωdNεdWuω ,T .VdωVdωПодставив сюда выражение (43.3), получимuω ,T ω VV π 2c 323ω2 dωω3.π 2c 3 kTω kTωe 1 e  1  dωИз соотношения (43.2) следует, чтоcrω ,T  uω ,T  2 244π cИз (43.1)ω3eωkT1.339rλ ,T 8π 3c 34π 2c 2152π c2π cλλ3  e λkT  1  e λkT  1 212πc h1 5.2π chcλ  λkT λkT 1e e  12πc2πcrω ,T  2 2 22λ4π c λ4π 2c 2λ5Итак,rω ,T ω34π 2c 2eωkT, rλ ,T 12πc 2h15hcλ  λkT e  1(43.4)– формула Планка.График функции rω, T представлен на РИС.

43.3, а функции rλ, T – на РИС. 43.4.rω, Tω0Рис. 43.36.3.5. Законы излучения чёрного тела1. Закон Кирхгофа2. Закон Планка3. Закон Стефана-Больцмана: интегральная излучательная способность чёрного тела пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры:RT  σT 4 ,где σ  5,67  108Вт– постоянная Стефана-Больцмана.м  К42ДоказательствоИнтегральная излучательная способность чёрного тела1 ω kT RT   rω ,T dω   2 2 ω  e kT  1  dω  2 2 4π c4π c 003431ω  ω ω   kTe0  kT    1  d  kT  .340Обозначимωξ ;kTRT k44π 2cT 4  ξ 3 eξ  131dξ .0Интеграл в этом выражении – это константа, табличная величина.

Поэтому RT ~ T4,ч. т. д.4. Закон смещения Вина: длина волны, соответствующая максимуму спектральной излучательной способности чёрного тела, обратно пропорциональна еготермодинамической температуре;λmT  b ,где b = 2,90∙10–3 м∙К – постоянная Вина.ДоказательствоУсловие максимума спектральной излучательной способностиdrλ ,T 0.dλИз формулы Планкаhc hchc5λ6  e kTλ  1   λ5e kTλ0,kTλ2hc5e kTλ  5 Обозначимhchc kTλe 0.kTλhc x ; получимkTλxe x  5e x  5  0 .Это трансцендентное уравнение, имеющее корень x0:hchc, λmT x0  const , ч. т.

Характеристики

Список файлов лекций