1598082858-6569a6dfdd5f5256840e639f93a97b0b (805659), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

д.kx0kTλmНа РИС. 43.4 показано, как изменяется спектральная излучательная способность rλ, Tв зависимости от температуры излучающего чёрного тела. Более нагретое тело излучает больше во всём диапазоне длин волн; максимум его спектральной излучательной способности смещён в сторону более коротких волн.Демонстрация: Закон Вина341rλ, TT2 > T1T10λ2m λ1mРис.

43.4λ5. Формула Рэлея-ДжинсаИз классических соображений можно получить формулуω2kT4π 2c 2– формула Рэлея-Джинса. Из этой формулы следуетrω ,T RT   rω ,T dω  0– «ультрафиолетовая катастрофа». Получается, что энергия излучения телабесконечно велика, что противоречит закону сохранения энергии.Ультрафиолетовая катастрофа была преодолена Планком, который при выводе формулы для спектральной излучательной способности воспользовалсягипотезой о том, что энергия гармонического осциллятора может приниматьтолько дискретный ряд значений: ħω, 2ħω, 3ħω и т. д., кратных кванту энергии.Формула Рэлея-Джинса – частный случай формулы Планка при малых частотах ωизлучения 1 : kTrω ,T ω34π 2c 2ωe kT  1ω3kT ω2kT 2 2 2 2.4π cω4π c342Лекция 446.3.6.

Оптическая пирометрияОптическая пирометрия – совокупность оптических методов измерения температур, основанных на законах теплового излучения. Приборы, которые при этомиспользуются, называются пирометрами.Пирометрырадиационныерегистрируют интегральноеизлучение нагретого телаоптическиерегистрируют излучениенагретого тела на узкомучастке спектраВведём ряд энергетических характеристик излучения81.dΩПоток излучения Φ – средняя мощность оптическогоφизлучения за время, много большее периода световойdSволны.Энергетическая освещённость – поток излучения,приходящийся на единичный участок поверхностиРис. 44.1тела, на которое падает свет:dΦE.dSЭнергетическая сила света – поток излучения тела в определённом направлении(под углом φ к нормали поверхности излучающего тела), приходящийся на единичный телесный угол:dΦI.dΩЭнергетическая яркость – энергетическая сила света, испускаемого с единичного участка поверхности тела в направлении нормали:dIB.dS cos φСмысл обозначений dS, dΩ, φ показан на РИС.

44.1.Спектральная плотность энергетической яркости – энергетическая яркость вединичном диапазоне частот (длин волн):dBdBbω , bλ .dωdλРадиационная температура Tр – температура чёрного тела, при которой егоэнергетическая яркость равна энергетической яркости исследуемого тела:B0 Tр   B .Следует отличать вводимые ниже характеристики от аналогичных фотометрических величин,которые вводятся для видимого излучения и привязаны к чувствительности глаза к оптическомуизлучению.81343Яркостная температура Tя – температура чёрного тела, при которой его спектральная плотность энергетической яркости равна спектральной плотности энергетической яркости исследуемого тела для данной длины волны:bλ0 Tя   bλ .Цветовая температура Tц – температура чёрного тела, при которой относительные распределения спектральной плотности энергетической яркости исследуемого тела и чёрного тела близки в видимой области спектра:bλ0  λ1 ,Tц b  λ2 ,Tц 0λbλ  λ1 ,T bλ  λ2 ,T .Обычно λ1 = 660 нм (красный) и λ2 = 470 нм (зелёно-голубой).Цветовая температура серого тела совпадает с его истинной (термодинамической)температурой и может быть найдена из закона смещения Вина.6.4.

Электронный газ в металле6.4.1. Общие положения. Модель свободных электроновЭлектронные оболочки в узлах кристаллической решётки перекрываются, в результате этого валентные электроны обобществляются и становятся свободными.Можно считать, что сила, с которой кристаллическая решётка, а также соседниеэлектроны действуют на электрон, равна нулю. Поэтому в первом приближенииэлектронный газ можно представить как коллектив нейтральных частиц с массойm = me, находящихся в сосуде объёмом, равном объёму образца металла.Свойства электронного газа1.

Электроны находятся внутри потенциального ящика. Энергия электроновквантована.2. Электронный газ вырожден (критическая температура Tкр ~ 5·104 К).13. Спин электрона s  . Электроны подчиняются статистике Ферми-Дирака.2Функция распределения (плотность заполнения фазовых ячеек)1f  εi   εi  μ.e kT  16.4.2. Распределение электронов по энергиямПодсчитаем число электронов с энергией от εi до εi + dε. По определению функциираспределенияdNεi.f  εi  dg(Далее индекс i опускаем.) Число фазовых ячеек, в которых энергия частицы лежитот εi до εi + dε,dΓ 2VdΓdg  3  3 p ,h 2hздесь V – объём образца, dΓp – элемент фазового объёма в подпространстве импульсов;344dΓp  4πp2dp .Выразим импульс электрона через его энергию:p  2mε , dp 2mdεmdε;2 ε2mε4π  2mε  mdεdΓp  4πm 2mεdε ;2mε2V4πV32dg  3 4πm 2mεdε  3 2mεdε .hhЧисло электронов с энергией от ε до ε + dεdNε 4πV322m3 hεdεeεμkT.1Функция распределения электронов по энергиямdNF ε  ε ,dεF ε 4πV322m3 hεeεμkT.1График этой функции представлен на РИС.

44.2.F(ε)0εРис. 44.26.4.3. Электронный газ при T = 0 К1. Функции распределения электронов по энергетическим ячейкам и по энергиямВ потенциальной яме имеется система энергетических уровней. При T = 0 заполняNетсянижних уровней (N – общее число электронов). Последний заполненный2энергетический уровень при T = 0 – уровень Ферми, а энергия электрона, соответствующая этому уровню, – энергия Ферми εF. При T = 0 заполнены все энергетические ячейки с εi ≤ εF. Поэтому функция распределения по энергетическим ячейкампри T = 0345 f  εi   1, εi  εF , f  εi   0, εi  εF ;график этой функции изображён на РИС.

44.3А. С другой стороны, подставляя T = 0в функцию распределения Ферми-Дирака, получим 1 e   1  1, ε  μ0 ,1f  ε   ε  μ01 0, ε  μ0 ,e kT  1 T 0   e  1здесь μ0 – химический потенциал электронного газа при T = 0. Таким образом,μ0  εF(в общем случае μ ≠ εF).Функция распределения электронов по энергиям32 4πVε , ε  μ0 ,4πV32 3  2mF  ε   3  2mε f ε    hh0, ε  μ0 .График этой функции представлен на РИС. 44.3Б.f(ε)F(ε)10εμ0 = εF0μ0 = εFаεбРис.

44.32. Расчёт энергии ФермиУсловие нормировки функции F(ε):N   dNε   F  ε  dε .0При T = 0εF324πV4πV8πV323 2 εF322mεdε0dε2m 3  2m  εF3 2 ,33hh3 2 3h0εFN 3Nh3 εF   8πV 231  3n 2m  π 23h2,8m(44.1)346N– концентрация электронов.VЧисленная оценкаn ~ 10–28 м3, m ~ 10–30 кг ⇒ εF = (3 ÷ 10) эВгде n 3. Расчёт средней энергии электронаСреднее значение энергии электрона εF  ε  dεε 0 F  ε  dε.N0При T = 0ε521 F 4πV4π8π32 323 2 εF32ε   3  2m ε dε  3  2m 2m εF5 2 .3N0 hnh5 2 5nhТак как из (44.1) следуетπεF3 2  8mn3h3328π 2m εF5 2 3h332ε 332F5h πε 8m32,3 εF .5Численная оценкаСредняя энергия электрона3ε   5 эВ  3 эВ ;5среднеквадратичная скорость электронаvкв 2εm 106м.с4.

Внутренняя энергия электронного газаВнутренняя энергия 1 моля электронного газаU  NA ε ,NA – число Авогадро.Найдём эффективную температуру классического идеального газа, внутренняяэнергия 1 моля которого равна внутренней энергии 1 моля электронного газа приT = 0:332εNA ε  NA εид ⇒ kTэфф  εF ⇒ Tэфф  F .5k25Численная оценкаВнутренняя энергия 1 моля электронного газа при T = 0U  6  1023  3  1,6  1019 Дж  300 кДж .347Для сравнения: внутренняя энергия 1 моля классического идеального газа приT = 300 К3Uид  RT  3,7 кДж !2Здесь R – универсальная газовая постоянная.Эффективная температура классического идеального газа при εF = 5 эВTэфф 2 5  1,6  1019 2  104 К .235 1,38  10Между классическими и квантовыми представлениями огромная разница!6.4.4.

Влияние температуры на функции распределенияПри повышении температуры от абсолютного нуля до T электрон приобретаетэнергиюΔε  kT .Повышение температуры влияет на электроны, находящиеся вблизи уровняФерми в полосе шириной kT82.Можно получить, что химический потенциал электронного газа π 2  kT 2 μ  εF 1   . 12  εF  Так как kT << εF, можно считать, что μ ≈ εF.Функция распределения электронов по фазовым ячейкам1f  ε   ε εF,e kT  1график этой функции показан на РИС. 44.4А.Функция распределения по энергиямF ε 4πV322m3 hεeε εFkT,(44.2)(44.3)1график на РИС. 44.4Б.При kT ≈ εF функция распределения (44.2) превращается в функцию распределенияМаксвелла-Больцмана.Критерий вырождения газавырожденный газневырожденный газКритическая температура электронного газаЭто выражение нужно понимать так: энергия электронов отличается от уровня Ферми не более,чем на величину порядка kT.82348Tкр εF 5  104 К .kTf(ε)2kT10εεFа2kTF(ε)0εF0εбРис.

44.46.4.5. Теплоёмкость электронного газаПри T ≠ 0 средняя энергия электрона23  5π 2  kT  ε  εF 1  .5 12  εF  Молярная теплоёмкость электронного газаCэл  NA ε35π 2 k 2 2T π 2 kRT, NA εFT 512 εF22 εF2R = kNA.По закону Дюлонга и Пти молярная теплоёмкость кристаллической решёткиCреш  3R .Сравним эти теплоёмкости:Cэл π 2kT.C реш6εF349При низких температурах Cэл << Cреш.350Лекция 456.5. Электропроводность металловПри возникновении в проводнике электрического поля напряжённостью E возникает электрический ток, т. е.

упорядоченное движение электронов – дрейф. Средняя скорость этого движения – скорость дрейфа u . Электроны, находящиесявблизи уровня Ферми, под действием электрического поля переходят на вышележащие уровни.Рассмотрим малый участок проводника сечением S, который электрон со средней дрейфо⊝вой скоростью проходит за время dt (РИС. 45.1).Модуль плотности токаudtdQ enS udtj enu ;S dtS dtРис.

45.1где n – концентрация электронов; с учётом знаказаряда электронаj  enu .Численная оценкамм, среднеквадратичная скорость теплового движениясмэлектрона (см. 6.4.3) vкв  106 ⇒ vкв >> u.сНайдём, как зависит дрейфовая скорость электрона от напряжённости электрического поля. Рассмотрим процесс резкого включения и выключения поля: послевключения поля электроны не сразу разгоняются, а после включения не сразу останавливаются.

Поэтому изменение тока запаздывает по отношению к изменениюполя.Запишем II закон Ньютона для электрона в металле:Дрейфовая скорость u  1m*dv eE  Fс ,dt(45.1)где m* – эффективная масса электрона, v – его скорость, Fс – тормозящая сила, описывающая влияниесоударений электрона с неоднородностями и узламикристаллической решётки (РИС. 45.2).

Характеристики

Список файлов лекций