1589806164-1a1a56808b8ec06d2ecaff7ccac4c5cb (804047), страница 21
Текст из файла (страница 21)
После некоторых преобразованийвыражение для тока принимает вид:iqmetcos( t0),где сдвиг по фазе может принимать значения от /2 до , то естьпри наличии сопротивления R ток в контуре опережает по фазенапряжение на конденсаторе более чем на /2.Затухание колебаний характеризуют следующие величины.1) Коэффициент затухания . Это величина, обратная временирелаксации , за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.1.2) Логарифмический декремент затухания - натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период T:lnA( t )A( t T )lnqm eqm et(t T)T.(7.11)Логарифмический декремент затухания – величина обратнаячислу колебаний, совершенных за время релаксации :1.Ne3) Добротность Q колебательного контура:QNe .(7.12)Чем меньше затухание, тем больше добротность контура Q.Учитывая, что β = R/2L, получаем, что в случае малого затухания( T T0 2 LC ) добротность контура равнаQ1 L.R CСледует заметить, что согласно (7.9), электромагнитныеколебания в контуре будут существовать при условии 02 > 2.2Если 20 , то вместо колебаний в контуре будет происходитьапериодический разряд конденсатора (T,0).
Активноесопротивление контура, при котором наступает апериодическийпроцесс, называют критическимRкр2L.C(7.13)122Вынужденные электромагнитные колебания.Рассмотрим случай, когда в контур включена внешняя переменнаяэ.д.с. ℰ, зависящая от времени по гармоническому закону:ℰ = ℰm sin в t .Под действием э.д.с. такого типа в реальном колебательномконтуре возникают установившиеся гармонические колебания спостояннойамплитудой.Электромагнитныеколебания,обусловленныедействиемвнешнейэ.д.с.,называютсявынужденными.Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитныхколебаний (в случае последовательного соединения L, C, R ивнешней э.д.с.) для заряда q на конденсаторе записывается в виде(7.2):q 2 q20qmcos t .LЧастное решение этого уравнения, описывающее установившиесявынужденные колебания, можно представить в виде:q = q m cos( t - );(7.14)где q m - максимальное значение заряда на конденсаторе;- разностьфаз между колебаниями заряда и внешней э.д.с.
ℰ,- циклическаячастота внешней э.д.с.В данном случае q m ине зависят от начальных условий иопределяются только свойствами контура и вынуждающей э.д.с. ℰ,причем > 0, поэтому колебания заряда q всегда отстают по фазе отвнешней э.д.с.Ток в контуре:iqqm sin( t)qm cost2или:i = im cos( t - );(7.15)где im - амплитуда токаim = ·q m ,- сдвиг по фазе между током и внешней э.д.с. ℰ:= - /2 .Для вычисления i m ипоступим следующим образом. Найдемпадение напряжения на сопротивлении U R, емкости U C,индуктивности U LURRi Rim cos t,123UCULimq qmcos( t)cos tCCCdiLLi m sin( t)Lim cos tdt2,2.Согласно закону Кирхгофа можно записать:U L+U R+U C = ℰm cost.Таким образом, сумма напряжений на индуктивности L,сопротивлении R и емкости C равна в каждый момент времени э.д.с.ℰ. Из последних соотношений следует, что U R находится в фазе стоком i, U C отстает по фазе от i на /2,U L опережает i на /2 .LimВсеэтоможнонаглядно1ℰmпредставить с помощью векторнойLimCдиаграммы, как показано на рис.7.3.МетодвекторныхдиаграммRim Ось токаimзаключается в том, что на графикеизображаются амплитуды напряженийCРис.
7.3im(U R)m = R im, (UC )m, ULm = Li mCи их векторная сумма, равная вектору величины ℰm. На векторнойдиаграмме каждое напряжение изображается в виде вектора, модулькоторого равен его амплитуде, а угол, который он составляет с осьютока, соответствует сдвигу по фазе между этим напряжением и током.Из диаграммы можно получить следующие выражения для im и :mim =R2Ltg1( L1RC.C)2,(7.16)(7.17)Метод векторных диаграмм оказывается весьма удобным прирешении многих конкретных вопросов.
Он позволяет наглядно, легкои быстро анализировать различные ситуации.ВеличинаZR2L1C2называетсяполнымсопротивлениемэлектрическойцепипеременного тока, где R - омическое сопротивление. L - индуктивноесопротивление, 1/ C - емкостное сопротивление.124Явление резонанса - это возбуждение сильных колебаний(возрастание амплитуды) при частоте внешней э.д.с., равной илиблизкой к собственной частоте колебательного контура.Графики зависимости амплитуд тока i,заряда q и напряжений U R, U C, U L от частоты imвнешней э.д.с.
ℰ называются резонанснымикривыми.Резонансные кривые для силы тока i m( )показаны на рис.7.4. Амплитуда силы токаимеет максимальное значение при условииL–1/ C = 0.Следовательно, резонансная частота длясилы тока совпадает с собственной частотойконтурарез0Рис. 7.41.LCМаксимум при резонансе оказывается тем выше и острее, чемменьше коэффициент затухания = R/2L.Примеры решения задачЗадача 7.1. Колебательный контур состоит из конденсатораемкостью C = 5 мкФ и катушки индуктивностью L = 0,2 Гн.Определить максимальную силу тока im в контуре, если максимальнаяразность потенциалов на обкладках конденсатора U m = 90 В.Сопротивлением контура R пренебречь.РешениеРассмотрим два способа решения задачи.
Первый из них основанна исследовании уравнения свободных электромагнитных колебаний,второй - на законе сохранения энергии.Первый способ.Так как R 0, то0 и в контуре будут незатухающие колебания,при этом согласно (7.5):q = q m sin( 0 t + 0) .Сила тока есть производная от заряда по времени. Поэтому длясилы тока в контуре выражение будет иметь видi = 0q m cos( 0 t + 0).Величина i m = 0 q m является амплитудным, то есть максимальнымзначением тока в контуре.
Учитывая, что1и qm CUm ,0LCопределим искомую величину125im0 qm1CUmLCUmC.LВторой способ.В процессе незатухающих электромагнитных колебаний полнаяэлектромагнитная энергия контура, равная сумме энергий2CUmэлектрического поля конденсатора Wэи магнитного поля2Li 2катушки WМ, остается постоянной. При этом в те моменты,2когда конденсатор максимально заряжен (U = U m), сила тока равнанулю, а полная энергия контураWэ2CUm.2В то время, когда конденсатор разряжен (U = 0), сила токадостигает максимального значения im, а полная энергия контура2L im.WМ2Приравняв правые части последних формул, найдем:C.im UmLПроизведем вычисление:im5 10900,261,45 A.Задача 7.2.
Разность потенциалов на конденсаторе идеальногоконтура Томсона изменяется по закону UC 0,5 sin(105 t2) (всепараметры заданы в единицах системы СИ). Определитьмаксимальное значение э.д.с. самоиндукции, возникающей в контуре.РешениеЭ.д.с. самоиндукции вычисляется по формуле (6.3)ℰsLdi.dtdq, q CU или q 0,5C sin 105 t, найдем2dtзакон изменения тока i в контуреdU.iCC 0,5 10 5 cos 10 5 tdt2ТогдаУчитывая, что i126ℰsПо0условиюLdidtLC 0,5 1010 sin 10 5 t2.задачи:U = U 0sin( 0t + 0),то1.1 LC 105 c-1 , следовательно LC1010Следовательно1ℰs0,5 1010 sin 105 t0,5 sin 105 t10210есть:2.Максимальная э.д.с. самоиндукции ℰs max = 0,5 В.Задача 7.3. Колебательный контур содержит конденсатор C икатушку с активным сопротивлением R и индуктивностью L.
Найтиотношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля вконтуре в момент максимума тока.РешениеДифференциальное уравнение затухающих колебаний (7.7)d2qdq qL 2 R0dt Cdtможно записать через токdiqLRi0.dtCdiВ момент максимума тока0 , следовательноdtqqили i.RiRCCЭнергия магнитного поляLi 2Lq2.WM22R 2C2Энергия электрического поляq2.WЭ2CПоэтому искомое отношениеWML.WЭ CR2Задача 7.4.
Найти индукцию магнитного поля в катушкеколебательного контура в момент времени t = 10–3 c, если при t = 0заряд на конденсаторе q C = 10–5 Кл, а начальный ток в контуре i0 = 0.Емкость конденсатора C = 10–5 Ф; индуктивность катушки L = 10–2 Гн;число витков на единицу длины в катушке n = 104 1/м; омическое127сопротивление контура R = 60 Oм. Длину катушки считать многобольше диаметра ее витков.РешениеТак как индукция магнитного поля в длинной катушке (4.12)B = 0ni,то необходимо определить ток в контуре.Уравнение затухающих колебаний в контуре (7.8)qq0 et0).sin( tОтсюда находим токdqq0 e t [ sin( tcos( t0)dtИз условия задачи определяем параметры колебаний:R3 10 3 c 1;2L1210 7 c 2 ;0LCi20210 3 c 1.Учитывая начальные условия, находим q0 иarctg0qCsinq00 )] .103q C0:;3 105Кл .0Тогда индукция магнитного поля в катушке равнаq0e t sin tcossin( 10 )10Произведя вычисления, получим: B 5,1.10–5 Тл.B0ni0nt10.Задача 7.5. Колебательный контур имеет емкость C, индуктивность Lи активное сопротивление R.
Найти, через сколько колебанийамплитуда тока в этом контуре уменьшится в e раз.Решение– tАмплитуда тока (i m e ) уменьшается в e раз за времяэто время совершится N e колебаний:1210Ne1.2T2202= 1/ . За128Учитывая, что20R, получим2L1иLCNe124LCR21.Задача 7.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
