1589806164-1a1a56808b8ec06d2ecaff7ccac4c5cb (804047), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Чему равно амплитудное значение силытока в цепи?7.40. Катушка индуктивностью L = 50 мГн с активнымсопротивлением R = 65 Ом подключена к внешней переменной э.д.с.с амплитудой m = 120 B и частотой = 60 Гц. Определить сдвиг фазмежду током и э.д.с. Чему равно амплитудное значение силы тока вцепи?1357.41. Катушка индуктивностью L = 12 мГн, конденсатор емкостьюС = 30 мкФ и активное сопротивление R = 20 Ом подключены квнешней переменной э.д.с., изменяющейся по закону8,1sin 754 t [B] .Определить а) полное сопротивление цепи, б) сдвиг фаз между токоми э.д.с., в) амплитудное значение силы тока.7.42.

Катушка индуктивностью L = 35 мГн с активным сопротивлениемR = 2 Ом соединена последовательно с конденсатором емкостью C иисточником напряжения частотой = 360 Гц. Какую емкость должениметь конденсатор, чтобы напряжение и сила тока в цепи совпадалипо фазе? Чему в этом случае равно полное сопротивление цепи?7.43. Конденсатор емкостью С = 1200 пФ, катушка индуктивностьюL = 16 мкГн и активное сопротивление R = 2 Ом подключены квнешней переменной э.д.с., амплитудное значение которой ℰm = 12 В.Чему равна резонансная частота для тока в контуре? Определитьамплитудное значение силы тока в цепи при резонансе, а такжеамплитудные значения напряжения на конденсаторе и катушке.7.44.

Катушка индуктивностью L = 2,15 мГн с активнымсопротивлением R = 120 Ом соединена последовательно сконденсатором C и внешней переменной э.д.с., амплитудноезначение которой ℰm = 136 В. Какой должна быть емкостьконденсатора, чтобы резонансная частота для тока в контуресоставила рез = 33 кГц? Чему равна максимальная сила тока прирезонансе?7.45. Катушка индуктивностью L = 2,15 мГн с активнымсопротивлением R = 120 Ом соединена последовательно сконденсатором C и внешней переменной э.д.с., амплитудноезначение которой ℰm = 136 В. Емкость конденсатора выбрана такой,что резонансная частота для токов в контуре вдвое превышаетчастоту приложенного напряжения= 33 кГц.

Чему равноамплитудное значение силы тока в контуре?7.46. В цепь переменного тока (частота переменного питающегонапряжения= 50 Гц) последовательно включены катушкаиндуктивностьюL, конденсаторемкостью Си активноесопротивление R. Параллельно катушке и конденсатору подключенвольтметр, который показывает ноль при значении емкостиконденсатора С = 100 мкФ. Найти значение индуктивности L катушки.1368. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ТОК СМЕЩЕНИЯ.ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫОсновные понятия и законыУравнения Максвелла в интегральной форме являютсяобобщением основных законов электродинамики.

С их помощьюможно найти напряженность и индукцию электрического и магнитногополей для любых точек пространства и любого момента времени;уравнения справедливы для поверхностей и контуров любой формы.Уравнения Максвелла могут быть положены в основу истолкованияразличных электромагнитных явлений.

Они полностью описываютэлектромагнитное поле.Теория Максвелла рассматривает электромагнитное поле, какнеразрывную связь электрического и магнитного полей, которыемогут превращаться друг в друга и распространяться в пространстве.Первое уравнение Максвелла является обобщением законаэлектромагнитной индукции. Из закона электромагнитной индукцииФарадея следует, что переменное магнитное поле вызывает появлениевихревого электрического поля (с замкнутыми силовыми линиями)dФЗакон электромагнитной индукции Фарадея ℰiможет бытьdtзаписан в обобщенном виде.

Учитывая, что магнитный поток Ф и ЭДСиндукции ℰi могут быть записаны в видеBn dS и ℰiФEL dL(8.1)LSполучаем:EL dLLSили в векторном виде: EdLLSBndStB dS .t(8.2)(8.3)Физический смысл первого уравнения заключается в том, чтоисточником электрического поля могут быть не только электрическиезаряды, но и изменяющееся во времени магнитное поле. Максвеллпоказал, что переменное магнитное поле вызывает появлениевихревого электрического поля в пространстве независимо отналичия контура.Второе уравнение Максвелла являетсяобобщением теоремы оциркуляции вектора напряженности H магнитного поля по замкнутомуконтуру или закона полного тока.Согласно Максвеллу, источником вихревого магнитного поля могутбыть не только движущиеся электрические заряды, но и137изменяющееся во времени электрическое поле, условно названноетоком смещенияD,(8.4)jсмtгде D - вектор электрического смещения.Ток смещения может создавать в окружающем пространствемагнитное поле.

Если в проводнике имеется переменный ток (т.е.ускоренно движущиеся электрические заряды), то внутри проводникасуществует и ток проводимости, и ток смещения. Магнитное полеопределяется их суммой, т.е. полным током, плотность которого(8.5)jполн j пр j см ,где j пр плотность тока проводимости, j см - плотность тока смещения.Терема о циркуляции с использованием понятия полного токабудет иметь вид (8.6)HdL(i пр iсм ),Llгде токи проводимости и смещения соответственно равныD iпрj пр dS,iсмdS.tSS(8.7)Второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид D HdL( jпр)dS ,(8.8)tLSили в скалярном видеHL dLjп рLSDndS.t(8.9)Физический смысл второго уравнения заключается в том, чтоисточником вихревого магнитного поля могут быть не толькодвижущиеся электрические заряды, но и изменяющееся во времениэлектрическое поле.Из первого и второго уравнений Максвелла вытекает важнейшийвывод: переменное электрическое и переменное магнитное поле немогут существовать отдельно.

Они всегда существуют вместе,образуя единое электромагнитное поле.Третье уравнение системы уравнений Максвелла - это теоремаГаусса для потока вектора электрического смещения (илиэлектрической индукции) DdSdV, или(8.10)Dn dSdV ,SVSVгде- объемная плотность свободных (сторонних) электрическихзарядов.138Для расчета напряженности электрического поля используетсятеорема Гаусса в виде:qi iEd S.(8.11)0Четвертое уравнение Максвелла - это теорема Гаусса дляпотока вектора магнитной индукции (оно указывает на отсутствиемагнитных зарядов) (8.12)Bn dS 0 .BdS 0, илиSSПятоеи шестоевыражают для изотропных сред связь  уравнениявекторов D и E , B и H . (8.13)D 0 E; BH.0Седьмым уравнением является закон Ома в дифференциальной форме(8.14)jпрE,где - удельная электрическая проводимость среды.ИзуравненийМаксвелласледуетсуществованиеэлектромагнитных волн.

Электромагнитной волной называетсяраспространяющееся в пространстве электромагнитное поле,характеризуемое в каждой точке периодическим изменением векторанапряженности электрического и магнитного полей.BИзменение во времени магнитного поля ( ) вызывает появлениеtвихревого электрическогополя, а изменение во времениDэлектрического поля () возбуждает вихревое магнитное поле.

Заtсчетнепрерывноговзаимопревращенияэлектромагнитноевозмущение будет распространяться в пространстве.В электромагнитной волне, распространяющейсясо скоростью v,векторынапряженности электрического поля E и магнитной индукцииB всегда колеблются в одинаковых фазах, причем междумгновенными значениями E и B в любой точке существуетопределенная связь, а именно E = vB, или0E0H.Это означает, что E и H (или B)одновременно достигают максимума,одновременно обращаются в нуль и т.д.Векторы E , B и vвзаимноперпендикулярныиобразуютправовинтовую систему (рис.8.1).Итак, если в какой-либо точке(8.15)ESvНРис.8.1.Рис.8.1.139пространства создано изменяющееся во времени электромагнитноеполе, то оно не будет локализовано только в этой точке, а будетраспространяться в виде электромагнитной волны.Для решения задач мыограничимся простым видомэлектромагнитного поля, когда E и H (или B ) зависят только от однойкоординаты (например, x) и от времени t. Это - случай плоскойэлектромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси OX.

Тогда,волновые уравнения для E и H записываются в виде:22Ex2E002t2;2H(8.16)H.xt2Скорость v распространения электромагнитной волны в среде сдиэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью :1c,(8.17)v2000 0c 1/ 0 0 3 108гдем/сскоростьраспространенияэлектромагнитной волны в вакууме.Решения волновых уравнений (8.16) для E и H имеют вид:xx(8.18)E E0 sin ( t); H H0 sin ( t),vvили:E E0 sin( t kx ); H H0 sin( t kx ), (8.19)где- угловая частота, k = 2 / - волновое число.Электромагнитныеволныпереносятэнергию.Дляхарактеристикиволной введена величина - вектор переноса энергииS .

ВекторSПойнтингахарактеризует плотность потокаэлектромагнитнойэнергии,т.е.энергию,переносимуюэлектромагнитной волной за единицу времени через единичнуюплощадку,расположеннуюперпендикулярнонаправлениюраспространения волны (8.20)S [E H] .Мгновенное значение модуля вектора S :S E0H0 sin2 ( t kx ) .(8.21)На практике обычно измеряют среднюю по времени энергию,переносимую волной. Среднее значение модуля вектора ПойнтингаравноS1E0H0 ,2(8.22)1401.2так как среднее значение по времени (за период) sin2 ( t kx )Учитывая формулу (8.15), среднее значение вектора ПойнтингаS120E 02 .(8.23)0Таким образом, средняя энергия, переносимая электромагнитнойволной через единичную площадку, расположенную перпендикулярнонаправлению распространения волны, прямо пропорциональнаквадрату ее амплитуды. По существу, <S> является интенсивностьюволны.Вектор Пойнтинга S связан с объемной плотностью энергииэлектромагнитного поля в волне w соотношениемS w v,(8.24)где объемная плотность энергии электромагнитной волныскладывается из энергии электрического поля и энергии магнитногополей:220E0H.(8.25)w w эл wм22Электромагнитная волна, падающая на какое-либо тело скоэффициентом отражения r, оказывает на него давление(8.26)p (1 r )w .Для абсолютно поглощающей поверхности (r = 0)p w;(8.27)для абсолютно отражающей поверхности (r = 1)p(8.28)2w.Примеры решения задачЗадача 8.1.

Плоская электромагнитная волна с частотойраспространяется в слабо проводящей среде с удельнойпроводимостьюи диэлектрической проницаемостью . Найтиотношение амплитуд плотностей токов проводимости и смещения.РешениеПусть напряженность электрического поля в электромагнитнойволне изменяется со временем по законуE = E 0cos( t – kx) = E 0cos(2 t – kx),тогда плотность тока смещения равнаDjсм[ 0 E0 cos( 2 t kx )]sin( 2 t kx );0 E0 2ttгде амплитуда тока смещенияj0 см0E0 2 .141По закону ОмаjпрEt kx ) ,E0 cos(2где амплитуда тока проводимостиj0прE0 .Следовательно, отношение амплитуд плотностей токов равно:j0прE0.j0см 22 00E 0Задача 8.2. Ток, текущий по длинному прямому соленоиду,радиус сечения которого R, меняют так, что индукция магнитногополя внутри соленоида возрастает со временем по закону B = t 2, где- постоянная. Найти плотность тока смещения как функциюрасстояния r от оси соленоида.РешениеЧтобы определить плотность тока смещения j смDнадо найтиtнапряженность электрического поля, которое в данном случае будетвихревым, так как магнитное поле меняется со временем.

Характеристики

Список файлов книги