1589806164-1a1a56808b8ec06d2ecaff7ccac4c5cb (804047), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Сторона рамки а = 2 см. Найти работу А,которую надо совершить, чтобы повернуть рамкувокруг ее оси на 180 .i2abaРис. 5.185.59. В центре тонкого длинного соленоида расположенмаленький виток площадью S = 1 cм2. По витку идет ток i0 того женаправления, что и в соленоиде. Плотность намотки соленоида n = 20витков/см. Сила тока в соленоиде i = 5 A. Виток перемещают в серединуоснования соленоида, совершая при этом работу А = 2 10–5 Дж. Найтивеличину тока i0 в витке.1056. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ.ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯОсновные понятия и законыЯвлениеэлектромагнитнойиндукциизаключаетсяввозникновении электрического тока в проводящем контуре приизменении магнитного потока, пронизывающего этот контур.
Этот токназывается индукционным.Возникновение индукционного тока показывает, что в проводникепоявляетсяопределеннаяэлектродвижущаясила.Этаэлектродвижущая сила определяется законом электромагнитнойиндукции Фарадея: при всяком изменении магнитного потока сквозьповерхность, ограниченную контуром, в последнем возникает э.д.с.индукции, равная скорости изменения магнитного потокаdФmℰi.(6.1)dtЗнак минус в законе отражает правило Ленца: э.д.с. индукциисоздает ток такого направления, что он своим магнитным полемпротиводействует изменению магнитного потока, вызвавшего этотток.Закон Ленца применим, если проводник движется, а магнитноеполе остается постоянным, а также, когда проводники неподвижны, аизменяется магнитное поле.
В этих случаях индукционные токивызывают такие поля, которые стремятся противодействоватьизменениям внешнего поля, вызвавшего эти токи.Явление электромагнитной индукции наблюдается всегда, когдаизменяется магнитный поток, пронизывающий контур.
В частности,этот поток может создаваться самим током, текущим врассматриваемом контуре. Поэтому при всяком изменениисобственного тока в каком-либо контуре в нем возникает э.д.с.индукции, которая в этом случае называется э.д.с. самоиндукции ℰs.Согласно закону Био – Савара - Лапласа величина магнитнойиндукции в любой точке поля пропорциональна силе тока в контуре(4.2).
Поэтому и магнитный поток пропорционален силе тока(6.2)Фm Li .Коэффициент пропорциональности L называется коэффициентомсамоиндукции или индуктивностью контура. Индуктивность контуразависит от геометрической формы, размеров контура и магнитныхсвойств среды. Единицей индуктивности в системе единиц СИ служитГенри.Подставляя в формулу э.д.с. индукции (6.1) значение потока(6.2) получаем закон Фарадея для э.д.с. самоиндукции106di.(6.3)dtТо есть э.д.с. самоиндукции пропорциональна быстротеизменения тока в контуре.Реальная катушка индуктивности обладает электрическимсопротивлением, поэтому ее можно представить вRАвиде последовательно соединенных индуктивностиL и сопротивления R.В KПри подключении и отключении источникаLпостоянного тока в цепи, показанной на рис.6.1, токUчерез катушку индуктивности будет изменяться.Следовательно, в катушке возникнет э.д.с.самоиндукции, препятствующая изменению тока вРис.
6.1контуре.В качестве примера рассмотрим подробнее отключение источникаиз цепи (ключ К переводят из точки А в точку В). В этом случае ток вцепи поддерживается за счет э.д.с. самоиндукции в катушке:diiRL .dtРазделяя переменные, проинтегрируем это уравнениеLsii0diitRdt ,L0где i0 –сила тока в цепи при t = 0 .iRlndt ,ПолучаемioLRt .(6.4)LТ.е. при отключении источника ток в цепи экспоненциальноубывает до нуля.Аналогично можно получить, что при подключении источника токбудет нарастать по законуилиiio expii0 1 expRtL.(6.5)Энергия магнитного поляВсякий электрический ток создает магнитное поле, обладающееэнергией. Плотность энергии магнитного поля определяетсяформулой:2B20H(6.6)wm22 0107Для определения энергии неоднородного поля применяютинтегрирование. Очевидно, что энергия dWm магнитного поля вэлементарном объеме dV равна(6.7)dWm wm dV .Интегрируя это выражение по всему объему магнитного поля,находят энергию неоднородного магнитного поля:0HWmV22dV или WmVB 2 dV.2 0(6.8)Примеры решения задачЗадача 6.1.
В вакууме внутри соленоида, имеющего длинуL = 50 см и число витков N = 300, находится металлическое кольцо,которое площадью S = 5 см2. Сопротивление кольца R = 2 Oм.Плоскость кольца перпендикулярна оси соленоида. Ток в соленоиденарастает по закону i = kt, где k = 1 А/с. Определить индукционный токв кольце.РешениеПоскольку ток в соленоиде переменный, то вдоль оси соленоидавозникает переменное магнитное поле индукцией (4.12)NiB = 0ni = 0 ,Lа, следовательно, и магнитный поток Ф через сечение соленоидабудет меняться (увеличиваться с течением времени)0NiS0Nkt SBS.mLLПеременный магнитный поток приведет к возникновению э.д.с.индукции (6.1) в металлическом кольце, находящемся в соленоидеdФm0Nk Sℰi.dtLЗнак «–» показывает, что индукционный ток в кольце направлентак, чтобы создаваемое им магнитное поле препятствовалоувеличению магнитного потока в соленоиде.Величина индукционного тока, возникающего в кольцеiiiR0NkSLR4300 1 5 100,5 241,89 A .Задача 6.2.
Пусть в магнитном поле имеется замкнутый контурсопротивлением R = 5 Ом, пронизываемый потоком магнитнойиндукции Ф = 3 мВб. Предположим, что этот поток уменьшится до 0.Вычислить величину заряда, прошедшего по цепи.108РешениеМгновенное значение э.д.с. индукции в процессе исчезновениямагнитного потока выражается формулой (6.1)dФmℰi.dtСледовательно, мгновенное значение силы индукционного тока позакону Ома будет равно:1 dФm.iR dtТогда величина прошедшего зарядаФq1 m 2 dФ mdtRФdti dtm1Так как Ф m2 = 0, получаемФm1qRФR6 104Ф m1 Ф m2.RКл .Задача 6.3.
Прямолинейный проводник длиной L = 2 м движетсяпараллельно самому себе в однородном магнитном поле с индукциейB = 7 мТл со скоростью v = at (м/с), где a = 0,3 м/с2. Скоростьнаправлена перпендикулярно проводнику и силовым линияммагнитного поля. Найти э.д.с. индукции, возникающую в проводникечерез t = 5 с после начала движения.РешениеЕсли мгновенное значение скоростипроводника есть v, то за малое время dtпроводник опишет площадь (рис.6.2)dS = Lv dt = Lat·dtВivи за это время пересечет все линиимагнитной индукции, проходящие черезплощадку dS.Поэтому магнитный поток dФ черезповерхностьdS,пересекаемуюпроводником за время dt запишется:dФm Bn dS B Lv dt BLat dt.v dtРис. 6.2Здесь B n - составляющая магнитной индукции, перпендикулярная кdS.Величина э.д.с.
индукции согласно (6.1)|ℰi|dmdtB Lat7 1032 0,3 521 мВ .109Задача 6.4. В центре круглой рамки, состоящей из N 1 = 50 витковрадиусом r = 20 см каждый, расположена маленькая рамочка,состоящая из N 2 = 100 витков, площадью S = 1 см2 каждый. Эта рамкавращается вокруг одного из диаметров большой рамки с постояннойугловой скоростью= 300 с–1 (рис.6.3). Найти максимальноезначение возникающей э.д.с. индукции, если в обмотке первой рамкитечет ток i =10 А.РешениеТак как вторая рамка мала по сравнению спервой (ее радиус 0,5 см), индукцию поля вее пределах можно считать постоянной иBiравной индукции магнитного поля в центрепервой рамки (4.4), то есть0iBN1.n02rСогласно определению (5.13), магнитныйпоток через N2 витков маленькой рамочкиРис.
6.3Ф0 BSN2 cos ,где - угол между нормалью n0 к плоскости рамочки и индукцией B .При вращении маленькой рамочки поток будет менятьсявследствие изменения угла . Так как скорость вращения рамкипостоянна, то в любой момент времени= t и поток,пронизывающий маленькую рамочку, равенФmBSN2 cos t.Подставляя величину индукции поля, получаемФm0i2rSN1N2 cos t.При изменении магнитного потока сцепления в маленькой рамочкебудет возникать электродвижущая сила индукции (6.1)dФmdtℰi0i2rSN1N2 sin t .Максимального значения ℰi будет достигать каждый раз, когдаsin t = 1, то есть когдаt(2n 1) .2Максимальное значение э.д.с. индукции в рамочке равноℰi m =0i2rSN1N24,7 103B.110Задача 6.5.
Определить индуктивность L длинного соленоида снемагнитным сердечником, состоящего из N = 500 витков с площадьюпоперечного сечения S = 0,3 см2. Длина соленоида l = 20 см.РешениеСогласно (4.12) внутри бесконечно длинного соленоида с током iсуществует магнитное поле индукцией0Ni,B0nilнаправленное вдоль оси соленоида.Соответственно, магнитный поток внутри соленоида запишется0NiSBS.lИндуктивность соленоида определим из формулы (6.2), учитывая,что магнитный поток, пронизывающий все витки соленоида, равен(NФm):2N m0N SL.(6.9)ilПодставляя числовые значения, получаемmL4107500 2 0,3 100,244,7 105Гн .Задача 6.6. Катушку сопротивлением R = 20 Ом отключают отисточника постоянного напряжения, не разрывая при этом цепи.
Ток вкатушке уменьшается на 20% от своего первоначального значения завремя t = 0,15 мс. Определить индуктивность катушки.РешениеЗакон изменения тока в цепи при отключении источника (6.4)iio expRt .LОтсюдаiRt ln o .LiПолучаем формулу для определения индуктивности катушкиRtL.ln(io i)Подставляя заданное значение тока iLRtln 1,250,8 io , получаем20 1,5 10ln 1,2540,013 Гн .111Задача 6.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
