1589806164-1a1a56808b8ec06d2ecaff7ccac4c5cb (804047), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

КОНТУР С ТОКОМ ВМАГНИТНОМ ПОЛЕОсновные понятия и законыЕсли зарядq движется со скоростью v в магнитном поле синдукцией B , то на заряд действует сила Лоренца (5.1)FЛ q[v B]или в скалярной формеFЛ = |q|vBsin ,(5.2)где - угол между векторами v и B .Направление силы Лоренцадля случаев положительного иBBотрицательного зарядов показаноFлна рис.5.1.vВектор силы Fл перпендикуляренvплоскости, содержащей v и В , Fлследовательно, сила ЛоренцаРис. 5.1работы не совершает.Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, тосила, действующая на заряженную частицу, определяется как  (5.3)F q(E [v B]) ,где Е – напряженность электрическогополя.На элементтока dL , расположенный в магнитном поле синдукцией B , действует сила Ампера (магнитная сила) (5.4)dFA i [dL B] .В скалярной форме закон Ампера (5.4) записывается в видеdFА= i dLBsin(5.5)где - угол между векторами dL и B .Рассмотрим контур с током i вM3однородноммагнитномполесFF34индукцией B .

Пусть контур представляет23собойпрямоугольнуюрамкусоВ2сторонами a и b. На каждую из сторонбудет действовать сила Ампера,4bпричем геометрическая сумма всехa nсил в однородном поле равна нулю.F12F41iНа стороны 2-3и  4-1 будут1действовать силы F23 и F41 , которыеРис. 5.2стремятся растянуть рамку.90На стороны 1-2 и 3-4 действуют силы F12 и F34 . Эти силыстремятся повернуть витоктак, чтобы его плоскость былаперпендикулярна к вектору B .Следовательно, на виток будет действовать пара сил, величинакоторых, согласно (5.5), одинакова и равнаF12 F34 ibB .Тогда на виток действует вращающий механический момент,модуль которого равенM i bB a siniS B sin ,(5.6)где S = a b площадь контура.Важнейшим понятием, отражающим главные свойства контура стоком в магнитном поле, является магнитный момент pm .

Магнитныммоментом плоского контура называется вектор, определяемыйсоотношением:(5.7)pm iSnгде n - единичный вектор нормали к плоскости контура, направлениекоторого определяется правилом буравчика.Следовательно, момент пары сил (5.6) может быть записан в виде:(5.8)M pm B sinгде - угол между вектором pm (нормалью n ) и вектором B .В векторном виде момент сил Ампера  (5.9)M [pm B] .Эта формула аналогична выражению для момента пары сил,действующей на электрический   диполь в электрическом поле (3.6).M [р e E] .Под действием момента M , контур воднородном магнитном поле разворачивается иFFустанавливается так, что вектор pm становитсяFnколлинеаренвектору B .

Таким образом, моментM в конечном положении контураpmiBобращаетсявноль.Этосоответствуетположению устойчивого равновесия контура.FnЕслипоместитьвитокстокомвнеоднородное магнитное поле (будем считатьFFдля простоты, что магнитное поле в центревиткаперпендикулярноплоскостивиткаРис. 5.3(рис.5.3)), то на него будет действовать сила,равная:FЗдесь pmdB x i.dx(pmx ,0,0), B (B x ,0,0) .pmx(5.10)91Под действием этой силы контур с током втягивается в более сильныеобласти магнитного поля, если направление pm совпадает с вектором B ,или выталкиваетсяиз магнитного поля, если направления векторовpm и B противоположны.В общем случае неоднородного поля, не перпендикулярного кплоскости витка, будут действовать и пара сил, стремящаясяповернуть виток, и сила, вызывающая поступательное перемещение.Работа по перемещению проводника в магнитном полеРассмотрим случай, когда прямой проводник Bдлиной L под действием силы Ампера переместился вFAперпендикулярном магнитном поле параллельносамому себе (рис.5.4) на отрезок dx.

Работа, совершеннаяiпри этом силой Ампера, выражается формулой:(5.11)dA FA dx iLB dx i BdS ,dxгде величина dS = L dx – площадь, описаннаяпроводником при движении.Рис. 5.4Если индукция B направлена иначе, не перпендикулярнодвижению, то ее всегда можно разложить насоставляющую Bn перпендикулярную dx и составляющую B параллельнуюdx. Составляющая B вызовет такую силу, что работа этой силы будетравна нулю.Поэтому в формулу для механической работы входит нормальнаясоставляющая индукции B n(5.12)dA i Bn dS .ВеличинаdФ m = B n.dS(5.13)называется магнитным потоком через площадку dS.Полный магнитный поток через поверхность S равен(5.14)ФmBndSB dS cos ,nBSSгде угол между направлением нормали n кплощадкеdS и направлением индукцииiSB (рис.5.5); B n - проекция вектора B нанормаль n .Единицы измерения магнитного потока вРис.

5.5системе СИ Вебер (Вб).Пользуясьпонятиемпотока,элементарнуюработупоперемещению проводника (5.12) можно представить в виде:(5.15)dA i d m .Если проводник совершает конечное перемещение, тоA i Фm i (Фm2 Фm1 ) ,(5.16)92где Ф m1, Ф m2 – магнитные потоки через поверхность S, охватываемуюконтуром с током, в начале и конце перемещения.Примеры решения задачЗадача 5.1. Протон массой m = 1,67.10–27 кги зарядом q = 1,6.10–19 Кл, пройдя разностьпотенциалов= 1000 В,влетаетв m,qоднородное магнитное поле с индукциейВ = 0,1 Тл параллельно его силовым линиям(рис.5.6).

Какой путь в магнитном поле пройдетпротон за время t = 1 мкс?Bv0m,qРис. 5.6РешениеНа частицу, движущуюся в магнитном поле, действует силаЛоренца (5.1), но она согласно (5.2) равна нулю, ибо векторы v 0 и Bколлинеарны. Таким образом, магнитное поле не будет действоватьна протон, и он будет двигаться равномерно и прямолинейно соскоростью v0. Очевидно, что путь протонаS = v0t .Из закона сохранения энергииmv 02=q ,2найдем начальную скорость v0 протона2q.mПодставляя числовые данные, получим путь протонаv0S=2qmt0,43 м.Задача 5.2.

В условиях задачи 5.1 протон влетает в магнитноеполе перпендикулярно его силовым линиям. Найти радиусокружности, которую будет описывать протон.РешениеНа протон будет действовать сила Лоренца (5.1).Так как угол между скоростью v и индукцией B= 90 ,томагнитнаясилавсегдабудетперпендикулярна вектору скорости протона. Поэтомупротон будет двигаться с постоянной скоростью v0по некоторой окружности радиусом R (рис.5.7).Запишем для протона второй закон Ньютонаmv 02qv0B =.Rv+BRРис.

5.7931 2mmv 0 m 2q==4,5.10–2 м.BqqB qBmЗадача 5.3. В условиях задачи 5.2 протон влетает в магнитноеполе под углом = 60 к его силовым линиям (рис.5.8). Определитьпериод обращения протона по окружности и шаг его траектории.Отсюда получаем: R =РешениеYРазложив вектор начальной скорости пооси ОХ (направление силовых линий) и пооси ОY (направление им перпендикулярное)v0x= v0cos =2qmcos ,v0y= v0sin =2qmsin ,vВm,qXZРис. 5.8находим, что в плоскости ZOY протон будет двигаться поокружности. Записав второй закон Ньютонаqv 0 yBmv 02 yR,получим радиус окружностиm v 0 y sin2m.RqBBqПериод Т (время одного оборота по окружности радиусом R) равен2 R 2 mТ==6,6.10–7 с.v0yqBВ направлении оси ОХ протон будет двигаться равномерно ипрямолинейно со скоростью v0x, так как направление силы Лоренцавсегда перпендикулярно оси ОХ.

Таким образом, траекториядвижения протона будет представлять собой спираль.За время одного оборота по окружности (период Т) вдоль оси ОХпротон пройдет расстояние, равное шагу винта траекторииh = v0xТ =2qmТ cos .Подставляя значение периода, получаемh=2 cosB2mq0,14 м.Задача 5.4.

Проволочный виток радиусом R = 5 см находится воднородном магнитном поле напряженностью Н = 2кА/м. Плоскостьвитка образует угол = 60º с направлением поля. По витку течет ток i= 4 А. Найти магнитный момент pm витка и механический момент М,действующий на виток.94РешениеСогласно определению (5.7), магнитный момент контура с токомpm i S i R 2 4 0,052 3,14 10 2 А м2 .Величина механического момента, действующего на контур стоком в магнитном поле, определяется формулой (5.8)M pm B sin( 2).) , так как вВ этой формуле необходимо ставить угол ( 2задаче дан угол между плоскостью контура и силовыми линиями, а вформуле (5.8) говорится об угле между нормалью к контуру исиловыми линиями поля.Учитывая, что согласно (4.1)B0H ,получаемM i R20Hsin( 2) 3,95 10 5 H м .Задача 5.5. Квадратная рамка из тонкого проводамассой m = 100 г может без трения вращаться вокругвертикальной оси OO проходящей через ее центрперпендикулярно двум противоположным сторонамрамки (рис.5.9).

Рамка помещена в однородное магнитноеполе с индукцией B = 0,1 Тл, перпендикулярноеплоскости чертежа. В рамке идет токi = 2 А.Определить циклическую частоту малых колебанийрамки около положения ее устойчивого равновесия.O`BiOРис. 5.9РешениеПри отклонении рамки от положения равновесия на некоторый уголна нее будет действовать моментсил Ампера (5.8), модуль которого равен:M pm B sin .2Так как p m= ia , где a - сторона рамки, и для малых углов можнозаписать sin, то получаемM i a2 B.Применим к рамке основное уравнение вращательного движенияJМ, - угловое ускорение, J - момент инерции рамки.гдеПодставляя значения М и в основное уравнение вращательногодвижения, учтем, что отклонение рамки от положения равновесия имомент силы противоположны по знаку:J = J  = – i·a 2B .Получаемдифференциальноеуравнениегармоническихколебаний рамкиia 2B0.J95Известно, что множитель причастота колебаний в квадрате, т.е.20Таким образоместь не что иное, как угловая0 , где20ia 2B.Jia 2B.J0Определим момент инерции рамки.

Характеристики

Список файлов книги