1589806164-1a1a56808b8ec06d2ecaff7ccac4c5cb (804047), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Из рис.4.3 расстояние от элемента тока до точкиА: r 2 R2 r02 . Следовательно, получаемidLdВ1 = 0.4(R 2 r02 )Вектор dB1 расположен в плоскости чертежа (рис.4.3),r и составляет уголперпендикулярен радиус-векторус осью тока.Проекция вектора dB1 на ось токаdB = dB1cos ,Rгде cos.2(Rr02 )1 2Подставляя, получаемdВ =i dL R04(R23r02 ) 2.Интегрируя по переменной L в пределах от нуля до 2 R, находимВ=iR04(R23r02 ) 22 R0dL =02(R2iR 23r02 ) 2.(4.9)Если положить r0 = 0, то приходим к формуле (4.4) для расчетаиндукции магнитного поля в центре кругового витка с токомiВ= 0.2R75Задача4.2.Определитьиндукциюмагнитного поля прямого отрезка ВС = L с токомi в произвольной точке А, отстоящей от отрезкана расстоянии r0, если радиус–векторы,проведенные из концов отрезка в точку А,составляют углы 1 и 2 с отрезком (рис.4.4).РешениеCidL2r0rdBA1Разделим отрезок на столь малые участки,чтобы каждый из них можно было считатьBэлементом тока.

 Рассмотрим один такойэлемент тока i dL . Он составляет уголсРис. 4.4радиус-вектором r . Этот элемент создает вточке А магнитное поле, вектор индукции которого dB определяется иззакона Био – Савара - Лапласа (4.3)idL sindВ = 0.24rВектор dB направлен перпендикулярно плоскости чертежа (от нас)(рис.4.4).

Используя метод, разобранный в задаче 1.10, получаем чтоrdrdL = 0 2 , r = 0 .sinsinПодставляя выражения для dL и r в выражение для dB, находимisin d .dВ = 04 r0Интегрируя по углув пределах от 1 до 2, получаем формулудля расчета поля, созданного прямым отрезком с током i:i(cos 1 cos 2 ) .В= 0(4.10)4 r0В частном случае для прямого бесконечного проводника ( 1 = 0 и2 = ) из (4.10) получаем формулу (4.5)iВ= 0.2 r0ADr1i2i1Задача 4.3.Определитьиндукциюмагнитного поля, созданного в вакууме двумяr2 r2одинаковонаправленнымипрямымиB2бесконечнымипараллельнымитокамиi1 = i2 = i = 10 А, расстояние между которыми BOr1 = 20 cм, в точке О, расположенной нарасстоянииr2 = r1 = 20 смоткаждогоB1проводника (рис. 4.5).Рис. 4.576РешениеB Магнитное поле создано системой токов.

Индукция магнитногополя от каждого бесконечно длинного проводника с током, согласноформуле (4.5), равнаiВ1 = В2 = 0.2 r2Однако векторы B1 и B 2 имеют различные направления: вектор B1перпендикулярен АО, а вектор B 2 перпендикулярен DO. По принципусуперпозициимагнитных полей (4.6)  результирующийвекторявляется геометрической суммой векторов B1 и B 2 B B1 B2 .Из треугольника ВОВ1 находим решение в общем видеi 3 .2 r2Произведя расчет в системе СИ, получим численный ответ4 10 7 10 1,73В==1,73.10–5 Тл.20,2В = В1 3 =0Задача 4.4.

Прямой бесконечный токi1 = 2Арасположенпараллельноплоскостикруговоготокаi2 = 5 А i2радиусом R = 4 м. Прямой ток и оськругового тока пересекаются в точке О1,отстоящей от центра кругового тока О нарасстоянииd = 8 м.Определитьнапряженность магнитного поля в точкеО2, если ОО2 = О2О1 (рис.4.6).H2ROНi1dO2H1O1Рис. 4.6РешениеМагнитное поле создано системой токов, магнитные поля которыхизвестны. Напряженность магнитного поля Н1 прямого тока в точке О2согласно формулам (4.1) и (4.5) равнаBi1iН1 = 1 == 1 .2 d2 d0Напряженность магнитного поля Н2 кругового тока в точке О2 наего оси получим из формул (4.1) и (4.4)B2i2R 2Н2 ==.322 202[R( d 2) ]Векторы H1 и H2 взаимно перпендикулярны (рис.4.6).По принципу суперпозиции (4.7):77 H H1 H2 .Из теоремы Пифагора получаем:2Н = н1н22 =i1d22i2R2[R222( d 2) ]30,23 А/м.2Задача 4.5.

Определить модуль вектора магнитной индукции Bмагнитного поля, созданного системой тонких проводников (рис.4.7),по которым идет ток i, в точке А {0, R, 0}, являющейся центромкругового тока радиусом R.РешениеМагнитноеполесоздается тремяYисточниками: полубесконечным прямымBпроводником ХО, круговым проводником3iрадиусом R, центр которого расположен вRточке А {0, R, 0}, а плоскость совпадает сB1плоскостью ZOY;и полубесконечнымAпрямым проводником OZ. По всемZпроводникамтечет один и тот же ток i.BВектор B1 магнитной индукции поля2Oiпроводника ХО лежит в плоскости ZOY иXB 2iнаправленпротив оси OZ (рис.4.7); векторB2 магнитной индукции кругового токаРис.

4.7расположен в плоскости ХOYи направленвдоль оси ОХ; вектор B3 магнитной индукции проводника OZнаходится в той же плоскости ХOY, но направлен противоположновектору B2 .Из формулы (4.10) находим модули векторов B1 и B3 (угол1 = /2, 2 = , или 1 = 0, 2 = /2)iВ1 = В3 = 0 .4 RСледует заметить, что ту же формулу для расчета магнитнойиндукции поля полубесконечного провода можно получить и извыражения (4.5) для бесконечного проводника:1 0 i0 iB1 B 3.2 2 r0 4 RИз формулы (4.4) определяем модуль вектора B2 в центре виткаiВ2 = 0 .2RПо принципу суперпозиции78BB1 B2B3 ,откудаВ=B12(B 2B 3 )2 =i4 R022(221) .Задача 4.6.

Найти индукцию магнитного поля в центре соленоидадлиной L = 20 см, радиусом R = 5 см с числом витков N = 200. Ток всоленоиде i = 5 А.РешениеРассмотрим соленоид, как систему круговых токов, соединенныхпоследовательно. Определим индукцию магнитного поля впроизвольной точке О на оси соленоида (рис.4.8).dxdR2r1ОrdLРис.

4.8Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков. Тогда научастке dx будет (ndx) витков, которые, согласно выражению (4.4),создадут в точке О на оси соленоида магнитное поле с индукцией20 iR ndxdB х,2r 3направленное вдоль оси соленоида.Из геометрических построений, показанных на рис.4.8, следуетRrdRdr; dx.sinsinsin 2Подставляя эти значения в dBx, имеем1dB x0in sin d .2Интегрируя, получаем выражение для расчета индукциимагнитного поля на оси соленоидаВBx1220in sin d10in2(cos1cos2 ),(4.11)79где 1 и 2 – углы между радиус–векторами, проведенными из точки Ок крайним виткам, и осью соленоида.Полученная формула (4.11) справедлива и для точек, находящихсяна оси соленоида вне него.

Заметим, что если точка О находится внутрисоленоида, то угол 2 будет тупой, а если вне соленоида, то угол 2 острый.В нашем случаеL2L;cos 1(L 2)2 R 2L2 4R 2L.cos 222L 4RУчитывая, что n N L (где N число витков в соленоиде), из (4.11)для средней точки на оси соленоида имеем0iN.B22L 4RПроизведем численный расчет:4 10 7 5 200B2,8 10 5 Тл .0,22 4 0,05 21Следует заметить, что в случае бесконечно длинного соленоида, тогда из (4.11) получаем0; 2(4.12)B0in .Задача 4.7. По прямому бесконечномуполому цилиндру, внутренний радиускоторого R1, а внешний R2, идет ток спостоянной плотностью j. Определитьиндукцию магнитного поля в точках А, В иС, отстоящих от оси цилиндра нарасстояниях, соответственно, r1, r2 и r3,причем r1 < R1, R1 < r2 < R2, r3> R2 (рис. 4.9).РешениеR1R2Сr3BАr2Аr1ОЗаконБио – Савара – Лапласанепосредственно применять нельзя, такРис.как он справедлив только для тонких4.9проводников.Тонким называется проводник, поперечный размеркоторого мал по сравнению с расстоянием, рассматриваемым вданной задаче.

В нашем случае поперечный размер проводника (R1 и R2)сравним с расстоянием (r1, r2 и r3), рассматриваемым в данной задаче.Применим теорему о циркуляции вектора магнитной индукции(4.8). Рассмотрим точку А (рис.4.9).1) Проведем через точку А  замкнутый контур (окружностьрадиусом r1). Циркуляция вектора B1 по окружности радиусом r180 B1dL = B1dL = B1.2 r1.L1L1Внутри окружности радиусом r1 токов нет. Следовательно, i1 = 0.По (4.8) находимB1.2 r1= 0.Таким образомB1 = 0.2) Рассмотрим точку В. Проведем через нее окружность радиусомr2. Циркуляция вектора B2 по этой окружности B 2 dL = B2.2 r2.L2Из определения плотности токаdij=,dSгде dS - элемент площади поперечного сечения проводника.Ток i2, охватываемый контуром (окружностью радиусом r2),i2jdSj (r22j dSSR12 ) .SПодставляя полученное значение тока в (4.8), получаемB2.2 r2 = 0j (r22 – R12 ).ОтсюдаB2 =0j2r2R12.r23) Для точки С по теореме о циркуляции (4.8) находимB3 =20 j(R 22r3R12 ).Задача 4.8 По прямому бесконечномусплошному цилиндрическому проводнику радиусомR течет ток с постоянной плотностью j.

Найти индукциюмагнитного поля в точках А и В, отстоящих от оси Вцилиндра на расстояниях, соответственно, r1 и r2, r2причем r1 < R, r2 > R (рис. 4.10).РешениеПроведем окружность через точку А. Ток,охватываемый этой окружностью, равенi1 j r12 .Тогда из теоремы о циркуляции (4.8) следуетB1.2 r1= 0j r12.RАОr1Рис. 4.1081ОтсюдаB1=0 jr1,2Теперь проведем окружность через точку В. Так как точка В лежитза пределами цилиндра, то эта окружность будет охватывать весьток, текущий по проводнику:i2 j R2Тогда согласно (4.8)B2 2 r1 j R2 .Следовательно, индукция магнитного поля в точке В равна20 jRB2 =.2r2Задача 4.9 В условиях задачи 4.8 плотность тока не постоянна илинейно зависит от r: j = r, где= const. Определить величинувектора индукции магнитного поля в точках А и В.РешениеПрименим теорему о циркуляции (4.8).Рассмотрим точку А. Проведем через нееокружность радиусом r1. Циркуляция вектора B1 .B1dL = B1 2 r1.drrLВ АОсталось рассчитать ток i1, охватываемыйОокружностью радиусом r1.

Разделим сплошнойпроводник на столь узкие толщиной drтонкостенные цилиндры, чтобы можно было вРис. 4.11пределах такого цилиндра приближенносчитать плотность тока постоянной (рис. 4.11).Рассмотрим один такой цилиндр радиусом r и толщиной dr. Понему идет токdi = jdS,где dS - площадь кольца:dS = 2 rdr.Учитывая, что j = r, получаемdi = 2 r2dr.Интегрируя последнее выражение от нуля до r1, определяем ток i1r12 r132i1= 2 r dr =.30Тогда из теоремы о циркуляции (4.8) находим82B1.2r1=B1=030 r123.Следовательноr12.3Для точки В ток i2, охватываемый контуром, можно найтиинтегрированием выражение для di от нуля до RR320R2i22 r dr.30Соответственно, индукция магнитного поля в этой точке равнаR3B2 = 0.3r2Задачи для самостоятельного решения4.10.

Тонкий прямой бесконечный провод покоторому идет ток i, согнут так, как показано нарис.4.12. Найти индукцию магнитного поля в центрекругового тока О.iiРис.4.124.12i4.11. Тонкий прямой бесконечный провод покоторому идет ток i, согнут так, как показано нарис.4.13. Определить индукцию магнитного поля в iцентре кругового тока О.iРис. 4.134.12. Бесконечно длинный тонкий проводник с током i = 50 А имеетизгиб (плоскую петлю) радиусом R = 10 см.

Определить в точке Омагнитную индукцию В поля, создаваемого этим током, в случаях а) –в), изображенных на рис.4.14.iiRОа)ОRб)Рис. 4.14RОв)i834.13. Бесконечно длинный тонкий проводник с током i = 50 А имеетизгиб (плоскую петлю) радиусом R = 10 см. Определить в точке Омагнитную индукцию В поля, создаваемого этим током, в случаях а) –в), изображенных на рис.4.15.iiRRiОа)iОRОiб)2 /3в)Рис. 4.154.14. Тонкий прямой бесконечный провод покоторому идет ток i, согнут, как показано нарис.4.16.

Характеристики

Список файлов книги