1589806164-1a1a56808b8ec06d2ecaff7ccac4c5cb (804047), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Воспользуемсяпервым уравнением Максвелла для циркуляции вектора E : B EdLdS .tLSДля r<R:2 rEr2Btr 2 2 t , откуда: E = tr.2 rER2BtR 2 2 t , откуда: EДля r>R:Учитывая,что:jсмплотность тока смещения:jсмjсмГрафикрис.8.2.зависимости0E,tнайдемjсм00R2 t.rRr (для r<R);R2(для r>R).rj см(r) показан на00RРис. 8.2rЗадача 8.3. Найти амплитуду плотности тока смещения,возникающего в плоском конденсаторе, образованном двумяпроводящими дисками радиусом R, если расстояние между дискамиd = 1 см (d<<R) и напряжение на конденсаторе меняется по законуU = U 0sin t, где U 0 = 103 В, = 2 103 с–1.142EРешениеЭлектрическое полемежду пластинамиконденсатораоднородно.

Силовые линии магнитного поля H - окружности сцентрами на оси симметрии. Рассмотрим в качестве контура такуюокружность радиусом r в плоскости между пластинами конденсатора.Воспользуемся вторым уравнением Максвелладля циркуляциивектора напряженности магнитного поля H , учитывая, что токипроводимости в данной задаче отсутствуют.Имеем: D HdL HL H 2 rdS.tLSИнтеграл в правой части уравнения будем вычислять в предположении,что поле E вне конденсатора пренебрежимо мало. Тогда, при r<R:D DDD 2dSdSdSr .ttttSSSТак как:H2 rтоHПри r R:SD 2r ,tDr.t 2D dStDR2tH 2 r,откуда1 D R2H;2 t rНайдем максимальное значение тока смещения:Djсм.tU0 sin tUТак какD 0E 0,0ddD0U0тоcos t.tdМаксимальное значение тока смещенияD0u0( jсм. )max5,6 10t maxd3Aм2.Это весьма слабый ток, и обнаружить создаваемое им магнитноеполе не просто, поэтому во многих случаях можно пренебрегатьтоком смещения. Однако этот ток зависит линейно от частоты, и придостаточно больших частотах его учет становится необходимым.143Задача 8.4.

Пространство между двумя концентрическимиметаллическими сферами заполнено однородной слабопроводящейсредой с удельным сопротивлениеми диэлектрическойпроницаемостью . В момент t = 0 внутренней сфере сообщилинекоторый заряд. Найти ток смещения через произвольнуюзамкнутую поверхность, расположенную целиком в среде иохватывающую внутреннюю сферу, если заряд этой сферы в данныймомент равен q.РешениеВ пространстве между сферами возникаетток смещения i см: D iсмj смdSdSDdS .ttSSS По теореме ГауссаDdSqi q .iSСледовательно, ток смещения равен току проводимости:dqiсмiпр ,dtгде i пр - ток проводимости, S - произвольная замкнутая поверхность,расположенная между внешней и внутренней сферами. Такимобразом, доказано, что ток смещения равен току проводимости. 1  1   1 q,iпрjпр dSEdSEdSSгде учтено, что по закону Ома: EdSа по теореме Гаусса:jпрqS1E,S0.0SСледовательно, ток смещения:1 qiсм.0Задача 8.5.

Плоский воздушный конденсатор, обкладки которогоимеют форму дисков радиусом R = 6 см, подключен к переменномусинусоидальному напряжению частотой = 103 1/с. Найти отношениемаксимальных значений энергии магнитного поля и электрическогополя внутри конденсатора.РешениеПусть напряжение на конденсаторе меняется по законуU = U mcos t и расстояние между пластинами конденсатора h. Тогдаэлектрическая энергия конденсатора1440EWэ22V0E22R2 2Um cos 2 t .2hR 2h0Um cos t).hМагнитная энергия определяется по формулеB2WмdV .2 0(так как EVИндукциюмагнитного поля B найдем из теоремы о циркуляциивектора H по контуру произвольным радиусом r:D 2HL dL H 2 r jсм Srr ,tLотсюдаH1 Dr.2 tUm cos tDdE0Um, тоsin t .0tdthh0r Um1sin t .Тогда B0H0 02hВ качестве объема dV надо взять элементарный объем цилиндра,для которого dV = 2 rdr . h.ТогдаТак как HB,EUhRWм0B2dV2 020 01622R 4Umsin2 t .hОтношение максимальных значений энергии магнитного поля иэнергии электрического поля:Wм.maxWэ.max1820 0R25 1015.Задача 8.6.

Напишите уравнение плоской электромагнитнойволны, распространяющейся вдоль оси OX в однородной среде( = 4; = 1), если при t = 0 и x = 0 напряженность ее электрическогополя E = 5 В/м. Амплитуда волны E 0 = 5 В/м, длина волны = 1 м.РешениеЗапишем уравнение волны (с учетом начальной фазы )E = E 0 sin( t – kx + ).Для того, чтобы записать конкретный вид этого уравнения,необходимо определить угловую частоту , волновое число k иначальную фазу .145Волновое число k2; скорость волны v1Учитывая, что скорость vc0k.,0(где с - скорость электромагнитной волны в вакууме) получаемвыражение для угловой частоты и ее численное значениеv kc23 108 24 1 19,4 108 c 1 .Начальную фазу определяем из начальных условий: при t = 0 иx = 0, E = E 0.

Следовательно, E 0 = E 0 sin , откуда sin = 1; = /2.Объединяя полученные результаты, запишем уравнение волныE5 sin 9,4 10 8 t2 x2В/м.Задача 8.7. Оценить максимальное давление, производимое ввакууме лучом лазера на абсолютно поглощающую поверхность, еслиамплитуда напряженности электрического поля в луче лазераE0 = 1010 В/м.РешениеДавление электромагнитной волны для частично поглощающей ичастично отражающей поверхности (8.26)p (1 r )w ,где r - коэффициент отражения, w - объемная плотность энергии.В предложенной задаче r = 0, следовательно, максимальноедавление электромагнитной волны на абсолютно поглощающуюповерхность равно плотности энергии электромагнитного поля вэлектромагнитной волне:2p w8,85 10 12 1020 8,85 108 H / м2 .0E0Задача 8.8.

Вычислить энергию dW, переносимую за время dtчерез единичную площадку, перпендикулярную направлениюраспространения волны (в вакууме).РешениеЕсливместенахожденияэтойплощадкиизвестнызначенияиEB , то dW = w cdt, где w – объемная плотность энергии, c - скоростьэлектромагнитной волны в вакууме.w0E220H22.Для электромагнитной волны справедливо (8.15)220 E = 0H .146Это означает, что в электромагнитной волне плотностьэлектрической энергии в любой момент времени равна плотностимагнитной энергии в той же точке, и можно записать для плотностиэнергии:2w m w эл0E .Тогда энергия волны за время dtdW0E2cdt0E 2 dt .0Эту же величину dW можно представить через модуль вектораПойнтинга S :dWSdtEHdt0E 2 dt .0Таким образом,результату.обавыраженияприводяткодинаковомуЗадача 8.9. На пути плоской электромагнитной волны длиной= 10 м и амплитудой E0 = 70 В/м расположена абсолютнопоглощающая поверхность, имеющая форму полусферы радиусомR = 1 м, обращенная своей сферической поверхностью к падающейволне.

Волна распространяется в вакууме. Определить энергию,поглощаемую сферической поверхностью за время t = 5 мин.РешениеПокажем, что промежуток времени t = 5 мин значительно большепериода T электромагнитной волны.Период T1c103 1083,3 10 8 c , то есть t>>T.В этом случае можно вычислить среднюю по времени энергию,переносимую волной, т.е. среднее значение модуля вектораПойнтинга110SE 0H0E 02 .220В условиях данной задачи энергия, падающая на поверхностьполусферы, будет равна энергии, падающей на поверхность кругаплощадью R 2.

Тогда на поверхность R 2 за время t падает иполностью поглощается ею энергия, переносимая электромагнитнойволной10WSR2 tE02 R 2 t 6,5 10 3 Дж .20147Задача 8.10. Протоны, имеющие одинаковую скорость v ,образуют пучок круглого сеченияс током i. Найти направление имодуль вектора Пойнтинга S вне пучка на расстоянии r от его оси.РешениеИз риc.8.3 видно, что вектора S ипараллельны. Найдем модуль вектора S :S = EH,где E и H зависят от r.По теореме Гаусса E 2 r,0vESHvРис. 8.3где- заряд на единицу длиныпучка.Потеореме о циркуляции вектора HH 2 r i.Определяя E и H из последних двух уравнений и учитывая, чтоi = .v, получаемii2.S EH2 r 0 2 r 4 2 0v r 2Задачи для самостоятельного решения8.11.

Покажите, что в типичных металлах, например меди с удельнойпроводимостью6,3.107 См/м, плотность тока смещения мала посравнению с плотностью тока проводимости. Численную оценкусделать для частоты тока = 103 МГц (дециметровый диапазон волн).8.12. Найти плотность тока смещения jсм в плоском конденсаторе,пластины которого раздвигаются со скоростью v, оставаясьпараллельными друг другу. Расстояние d между пластинами остаетсявсе время малым по сравнению с линейными размерами пластин.Рассмотреть два случая: 1) заряды на пластинах конденсатораостаются постоянными; 2) разность потенциаловU междупластинами остается постоянной. Объяснить полученный результат.8.13.

В слабопроводящей среде с удельной проводимостью= 10–2 См/м и диэлектрической проницаемостью= 9распространяется плоская электромагнитная волна с частотой= 10 МГц. Найти отношение амплитуд плотностей токов проводимостии смещения.А8.14. Напряжение на пластинах плоского воздушногоконденсатора изменяется по закону U = U0.sin t.Определить ток смещения через сечение АА (рис.8.4.).Площадь пластин конденсатора S, расстояние междуАпластинами d.Рис. 8.41488.15. Пространствомеждудвумяобкладкамиплоскогоконденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполненослабопроводящей средой с удельной проводимостьюидиэлектрической проницаемостью.

 Пренебрегая краевымиэффектами, найти модуль вектора H между обкладками нарасстоянии r от их оси, если напряженность электрического полямежду обкладками меняется со временем по закону E E0 cos( t ).8.16. Скорость изменения магнитной индукции в бетатронеdB dt = 60 Тл/с. Вычислить напряженность Е вихревого электрическогополя на орбите электрона, если ее радиус r = 0,5 м.8.17. Электрон в бетатроне движется по орбите радиусом R = 3 м.Какую скорость приобретает электрон в конце первого витка, еслинапряженность магнитного поля изменяется по закону Н = .t, где= 105 А/(м.с)?8.18. Рассчитать кинетическую энергию W к, которую приобретаетэлектрон в бетатроне, сделав n = 1,2.106 оборотов, если средняяскорость изменения магнитного потока в бетатроне Ф / t = 50 Вб/с.Определить путь L, пройденный электроном, если радиус орбиты R = 0,2 м.8.19.

Двигаясь в бетатроне по орбите радиусом r = 0,4 м электронприобретает за один оборот кинетическую энергию Wк = 20 эВ. Определитьскорость изменения магнитной индукции B / t за время одного оборота.8.20. Средняя скорость изменения магнитного потока в бетатроне,рассчитанном на энергию Wк = 60 МэВ, составляет Ф / t = 50 Вб/с.Определить: 1) число оборотов n электрона на орбите за времяускорения; 2) путь L, пройденный электроном, если радиус орбитыR = 20 см. Заряд электрона е = 1,6·10-19 Кл.8.21.

Плоский конденсатор образован двумя дисками, междукоторыминаходитсяоднороднаяслабопроводящаясреда.Конденсатор зарядили и отключили от источника. Пренебрегаякраевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутриконденсатора отсутствует.8.22. Заряженный и отключенный от источника плоскийконденсатормедленноразряжаетсятокамипроводимости,возникающими в диэлектрике между обкладками из-за наличияслабой проводимости. Вычислить напряженность магнитного полявнутри конденсатора. Объяснить полученный результат.8.23. Плоский воздушный конденсатор, площадь каждой пластиныкоторого S = 100 см2, включен последовательно в цепь переменноготока.

Найти амплитуду напряженности электрического поля вконденсаторе, если амплитуда синусоидального тока в проводящихпроводах i0 = 1 мA и частота тока = 1,6.107 с–1.1498.24. Радиусы обкладок сферического конденсатора равны а и b (a<b).Пространство между обкладками заполнено веществом с диэлектрическойпроницаемостьюи удельной проводимостью . Первоначальноконденсатор не заряжен. Затем внутренней обкладке сообщается заряд q0.Найти закон изменения заряда q на внутренней обкладке. Показать,что несмотря на наличие токов проводимости, текущих в радиальныхнаправлениях, напряженность магнитного поля Н в зазоре этогоконденсатора равна нулю.

Характеристики

Список файлов книги