1589803487-0876d3197a29278cfb9dacc2b305b032 (804028), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Он зависит от свойств вещества стержня.Можно записать закон Гука в другом виде:F  kΔl ,где k ES- коэффициент жесткости. Он зависит от свойств вещества и отlгеометрических размеров стержня.Потенциальная энергия упругой деформации растяжения (лекция 5)Ukx 2 ES 2 Eε 2Δl V,22l2где V  Sl - объем стержня. Важной величиной, характеризующей деформацию являетсяплотность энергии деформацииU Eε 2u .V2При растяжения стержня радиуса r на величину Δr изменяется также поперечный размерстержня. Из опыта следует, что для упругих деформацийΔrrΔl μ  const .lПостоянная величина μ называется коэффициентом Пуассона.

Она определяетсясвойствами вещества стержня.2. Деформация сдвига.В этом случае внешняя сила приложена по касательнойк одной из поверхностей тела имеющего формупараллелепипеда, закрепленного на противоположнойграни (рис. 2). В этом случае происходит сдвиг верхнейграни на расстояние a и соответствующий поворотвертикального ребра на угол φ .

Для описания такойдеформации вводят понятия относительного сдвига итангенциального напряжения:γ  tgφ aF, τ .bSЗакон Гука для деформации сдвига (при γ  1 ) имеет вид:τ  Gγ ,где G - модуль сдвига, зависящий от свойств вещества твердого тела.При перемещении верхней грани тела на расстояние a сила F совершает полную работуA1Fa , так как перемещение нижних слоев линейно спадает до нуля. Тогда потенциаль2ная энергия деформации сдвигаU  A11τSa  Gγ 2V .22Следовательно, плотность энергии деформации сдвигаu1 2Gγ .2Рассмотренные два вида деформаций относятся к однородным деформациям.

Неоднородныедеформации представляют собой совокупность однородных деформаций, имеющих разнуювеличину в разных точках тела. Рассмотрим две такие деформации.3. Деформация кручения.Рассмотрим цилиндрический стержень радиуса r , закрепленный на верхнем конце, книжнему концу которого приложена пара сил F и  F (рис. 3). При этом произойдетповорот начального положения радиусанижнего основания на угол φ . При φ  1имеет место закон Гука для деформациикручения:M  fφ ,где M  2 Fr - момент пары сил, f модуль кручения стержня, зависящий отматериала стержня и его размеров.Если мысленно разделить стержень на тонкие цилиндрические трубки, то деформациюкручения можно представить в виде набора деформаций сдвига для узких вертикальныхслоев, из которых состоит каждая из трубок.

Это приводит к тому, что модуль крученияпропорционален модулю сдвига.4. Деформация изгиба.Рассмотрим стержень, лежащий на двух опорах, прогнувшийсяпод действием силы тяжести (рис. 4). При этом центральнаялиния, отмеченная пунктиром не изменяет своей длины.Поэтому ее называют нейтральной линией. Слои вышецентральной линии сжимаются, а ниже – удлиняются.

Такимобразом, деформация изгиба представляет собой совокупностьдеформаций растяжения и сжатия. Точка O , отстоящая отцентральной линии на расстоянии радиуса кривизны Rназывается осью изгиба.Закон Гука для деформации изгиба имеет вид:σEξ,Rгде σ - нормальное напряжение вдоль слоя, отстоящего от нейтральной линии на расстоянии ξ . Напряжение вдоль нейтральной линии равно нулю. По этой причине нет необходимости использовать сплошные стержни для повышения прочности. Можно использоватьболее легкие профили типа швеллеров, у которых осевая часть имеет меньший поперечныйразмер (рис. 5).ЛЕКЦИЯ 18Скорость волны в упругой среде.

Стоячие волны.Вычислим скорость распространения малых продольных возмущений в стержне, возникающих в результате действия постоянной силы F , приложенной в некоторый моментвремени к его свободному концу. Другой конец стержня закреплен (рис. 1).Обозначим через v s - скорость распространениявозмущения в стержне, а через v - скорость движения вещества в возмущенной области. При этомv s  v . Через m обозначим массу деформированнойчасти стержня в момент t .

Тогда второй законНьютона для деформированной части примет вид:d (mv)F.dtЗа время t возмущение проходит путь l  v s t , значит масса возмущенной части m  ρSv s t .Выражая силу F через нормальное напряжение σ , запишем второй закон в видеρSv s v  σS .Относительное удлинение возмущенной части стержняεΔl vtv.lvs t vsТогда с помощью закона Гука можно представить скорость движения возмущения в виде:vs E.ρ(1)Для возбуждения продольной волны к концу стержня нужно приложить периодическуюсилу F  F0 sin ωt .

При этом скорость волны будет также определяться выражением (1).Стоячие волны.При наличии границ в упругой среде могут возникать колебания особого вида – стоячиеволны. Они, например, возникают в натянутой струне с закрепленными концами. Дляполучения уравнения стоячей волны рассмотрим две одинаковые волны, распространяющиеся в противоположных направлениях:ξ1  a cos(ωt  kx) , ξ 2  a cos(ωt  kx) .По принципу суперпозиции для суммарного возмущения имеемξ  2a cos2πxcos ωt .λУравнение (2) называется уравнением стоячей волны.(2)Из уравнения (2) следует, что амплитуда колебаний в стоячей волне зависит от x .Максимумы амплитуды (пучности):2πx  nπ , n  0,1,2,...λМинимумы амплитуды (узлы) :2πx1  ( n  )π .λ2Расстояние между узлами равно λ / 2 .

Фаза колебаний частиц между узлами одинакова.Слева и справа от узла фаза отличается на π (рис. 2).Пример. Колебания струны, закрепленной на концах.Для стоячей волны в струне длины l должно выполняться условиеλl  n , n  1,2,...2Следовательно, частоты возбуждаемых стоячих волн (собственные частоты колебанийструны) должны иметь значенияνn vv n,λn 2lгде v - фазовая скорость волны в неограниченной струне. Очевидно, скорость волныдолжна зависеть от свойств струны. Найдем эту зависимость.Скорость волны в натянутой неограниченной струне.Перейдем к системе отсчета, движущейся со скоростью волны v .

В такой системе формаизгиба струны будет неизменной, а она сама будет пролетать мимо наблюдателя соскоростью v . При этом мы пренебрежем скоростью поперечного движения частиц струны,считая колебания малыми. Выделим мысленно малыйэлемент струны длины s и радиуса кривизны R вблизи“горба” волны (рис. 3). На его концы действует силанатяжения T . Тогда результирующая сила, действующаяна негоF  2T sinαs Tα  T .2RОбозначим линейную плотность струны (массу единицыдлины) через δ . Второй закон Ньютона для элементаs можно записать в видеTv2ssδ T . Отсюда находим v .δRRЛЕКЦИЯ 19Звуковые волны в газе. Эффект Доплера.В газах могут распространяться только продольные волны.

Звуковые волны в воздухе имеютчастоты примерно от 16 Гц до 20 кГц. Волны с ν  16 Гц называют инфразвуком, а сν  20 кГц – ультразвуком.Интенсивность звука I - средняя по величине энергия, переносимая звуковой волной черезединичную площадку, перпендикулярную к направлению распространения волны в единицувремени. [I ]  1 Вт/м2 .Порог слышимости: I 0  10-12 Вт/м2. Уровень громкости: L  lgI, [L]  1 Белл (Б).I0Обычно измеряют уровень громкости в децибелах: 1 дБ = 0.1Б.

Для нормальной речиуровень громкости составляет порядка 60 дБ. Двигатель самолета на расстоянии 5 м даетгромкость около 120 дБ.Скорость звука в газе.Значение скорости звука в газе определяется упругими свойствами этого газа. Скоростьзвука можно вычислить, используя выражение для скорости волны в упругом стержнеvs E, полученное в лекции 18.

Вместо E в него нужно подставить значение “модуляρЮнга” E г для газа, вытекающее из связи между изменениями его давления и объема. Прираспространении звуковой волны в газе области сгущения и разрежения не успевают обмениваться теплом. Такие процессы в термодинамике называются адиабатическими. Онибудут подробно изучаться в курсе молекулярной физики. Здесь мы просто воспользуемсяуравнением Пуассона для адиабатического процессаPVγ const ,(1)где γ  C p / C v , C p и C v - соответственно теплоемкости газа при постоянном давлении ипостоянном объеме.Для нахождения E г вместо твердого стержнярассмотрим цилиндрический сосуд с поршнем,создающим давление P (рис. 1).

Характеристики

Список файлов книги