1589803487-0876d3197a29278cfb9dacc2b305b032 (804028), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Систему отсчета, в которой заданы скорости v1 , v 2 будем называть лабораторной системой отсчета. В ней мы рассматриваемпроцесс столкновения тел. Оказывается, что более удобно с вычислительной точки зренияизучать такой процесс в системе центра масс двух тел, движущейся со скоростью Vцм .Будем обозначать величины в системе центра масс индексом “0”. В силу того, что центрмасс в такой системе неподвижен, для импульсов до и после столкновения имеют местосоотношения  p 20  0.p10  p 20  0 , p10Тогда с помощью закона сохранения энергии2222p10p 20p10p 202m1 2m 2 2m1 2m 2легко получить, что22 2 , p 202 .p10 p10 p 20Это означает, что в системе центра масс импульсы тел достолкновения и после столкновения противоположнонаправлены и имеют одинаковую абсолютную величину(см. рис. 2). В результате взаимодействия тел происходитповорот импульсов в системе центра масс на некоторыйугол φ .

Значение этого угла можно найти только еслиизвестны силы взаимодействия между телами. Рассмотримважный частный случай, когда второе тело в лабораторнойсистеме покоится до столкновения v 2  0 . ТогдаVцм m1v1,m1  m 2m 2 v1m  .v10  v1  Vцм , Vцм  1 v10 , v1  Vцм  v10m1  m 2m2Эти соотношения приводят к удобному графическомуприему, представленному на рис. 3. Пусть m1  m2 .Тогда Vцм  v10 . Угол θ между вектором скоростиналетающей частицы v1 до столкновения и векторомскорости v1 после столкновения называется угломрассеяния.

Рассмотренный случай столкновениясоответствует, в частности, опытам Резерфорда порассеянию α - частиц на тяжелых ядрах. Эти опытыпривели в дальнейшем к созданию атомной физики.В случае, когда m1  m2 (налетающая частица тяжелеепокоящегося), Vцм  v10 и точка A будет лежать внеокружности.

При этом угол рассеяния будет ограничен некоторым значением θ max длякоторого отрезок A1 является касательной к окружности и A1O1 . Отсюда легкополучитьsin θ max m2.m1Система центра масс обычно используется для расчета движения двух взаимодействующихтел (задача двух тел).ЛЕКЦИЯ 7Момент количества движения. Момент инерции твердого тела.Мы рассмотрели два закона сохранения в механике: закон сохранения импульса и законсохранения энергии. Каждый из законов сохранения в физике является следствием соответствующего типа симметрии.

Так закон сохранения импульса вытекает из однородностипространства, а закон сохранения энергии из однородности времени. Изотропность пространства приводит к сохранению третьей важнейшей физической величины – моментаимпульса, или момента количества движения.Момент количества движения материальной точки LМодуль момента количества движения определяется как (см.

рис. 1)L  rp sin θ .Направление вектора L определяется по следующему правилу. Вектор L перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора r и p . При этом, если вращать вектор r понаправлению к вектору p , то направление L совпадает с движением правого винта притаком вращении (см. рис. 2).Такое действие над векторами r и p в векторной алгебре называется векторным произведением вектора r на вектор p и обозначается следующим образом L  r p  .Отметим, что в соответствии с таким правилом в векторном произведении важен порядоксомножителей. При перестановке сомножителей меняется знак векторного произведенияab   ba .Для вектора момента импульса можно получить уравнение аналогичное уравнению второгозакона Ньютона для импульса.

Вычислим для этого производную по времени от L :dL  drdt  dt    dp     dp   p   r   mv v   r   r F .  dt  dt  Слагаемое mv v  равно нулю по определению векторного произведения. Последнее слагаемое в правой части называется моментом силы и обозначается M  rF . Таким образом, уравнение, описывающее изменение момента импульса со временем имеетвид:dL M .dtОно очень похоже на уравнение второго закона Ньютона: вместо импульса стоит моментимпульса, а вместо силы – момент силы.Для системы n материальных точек n dL n   M i , где L   Li - полный момент импульса системы.dt i 1i 1Замкнутая система n материальных точекРассмотрим две точки с номерами i, k .По третьему закону НьютонаFki   Fik . Тогдаr F   r sin θ F  hF ,rk Fki   rk sin θk Fik  hFik иr F   r F   0 (см.

рис. 3).iikikiikikikiikВеличина h называется плечом силыотносительно т. О. Отсюда следует, чтоn Mi  0,i 1dL 0 , L  const .dtТаким образом, имеет место следующий закон.Закон сохранения момента количества движенияПолный момент количества движения замкнутой системы материальных точек остаетсяпостоянным.Момент количества движения твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси.Мысленно разобьем твердое тело на малые элементы, которые можно считать материальными точками.

Момент количества движения i – го элементаΔLi  ri p i   Δmi ri vi  .Направим ось Z вдоль оси вращения и представим вектор riв виде суммы векторов ri и ri , направленных соответственно параллельно и перпендикулярно к оси вращения (см. рис. 4).ТогдаΔLiz  {Δmi [(ri  ri )vi ]} z  Δmi ri v i .Так как каждый элемент вращается по окружности с угловойскоростью ω , то vi  ri ω . Следовательно, проекция полногомомента импульса на ось вращенияnni 1i 1L z   ΔL z  ω Δmi ri2  Iω .nВеличина I   Δmi ri2 при Δmi  0 называется моментом инерции тела относительноi 1заданной оси. Она описывает инерционные свойства вещества во вращательном движениитела.

Через момент инерции выражается также кинетическая энергия вращательногодвижения:Δmi v i2 1 2 nIω 22 ω  Δmi ri или Wвращ .222i 1i 1nWвращВычисление момента инерции в общем случае сводится к вычислению объемного интеграла:n Δmi ri2Δm 0I  limii 1mили I   r 2 dm   ρ(r )dV .0VПроизводя соответствующее интегрирование можно найти моменты инерции тел различнойформы относительно заданных осей. Приведем значения моментов инерции простейшиходнородных тел.1) Полый тонкостенный цилиндр с массой m и радиусом R . Ось совпадает с осьюсимметрии.I  mR 22) Сплошной цилиндр с той же осью.

I 3) Сплошной шар с той же осью I 1mR 2 .22mR 2 .54) Тонкий стержень длины l . Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец.1I  ml 2 .3Теорема ШтейнераПусть момент инерции тела массы m относительно оси, проходящей через центр масс равенI 0 . Тогда его момент инерции относительно любой оси параллельной оси, проходящейчерез центр масс и отстоящей от нее на расстоянии a равенI  I 0  ma 2 .ЛЕКЦИЯ 8Основной закон вращательного движения твердого тела.Δmi , которые можно считать n материальными точками.

Тогда для полного момента импульса L   Li и полногоСнова мысленно разобьем тело на малые элементыi 1n момента сил M   M i имеем (см. лекцию 7):i 1dL M .dt(1)Это уравнение называется основным законом вращательного движения в общем случае. Приэтом ось вращения может менять свое положение в пространстве и внутри тела.Вращательное движение твердого тела вокруг фиксированной осиРассмотрим очень важный частный случай вращениятвердого под действием внешних сил вокругфиксированной оси.

Направим ось Z системыкоординат вдоль этой оси. Разложим радиус-векторi - го элемента ri на векторы ri и ri , параллельный иперпендикулярный к оси вращения. Аналогичноеразложение проведем для силы Fi , действующей наi - й элемент. Тогда момент импульса этого элементаможно представить в виде  Li  [ri p i ]  [ri p i ]  L1i  L2i ,где L1iДля осесимметричного телаn L 2i  0OZ , L2i OZ .и при вычислении полного момента импульсаi 1останется только проекция на ось вращения:nL z   ri p i  Iω .i 1Проекция на ось Z момента силы, действующей на i - й элемент , очевидно, выражаетсятолько через ri и Fi : M zi  {[ ri Fi ]} z  ri Fi sin θ i  Fi hi ,где θ i - угол между векторами ri , Fi , hi - плечо силы Fi относительно оси.Проекция полного момента силы на ось ZnM z   M zi .i 1В проекции на ось Z уравнение (1) имеет вид:dL zdω M z , где L z  Iω .

Его можно переписать через угловое ускорение ε dtdtIε  M zЭто основной закон вращательного движения для случая фиксированной оси.Пример. Рассмотрим следующую задачу. Сплошной цилиндр радиусаR и массы M может вращаться вокруг оси, совпадающей с его осьюсимметрии. На цилиндр намотана невесомая нерастяжимая нить, кконцу которой прикреплено тело массы m . Нужно найти ускорениеэтого тела.Для решения этой задачи запишем 2 – й закон Ньютона для тела m впроекции на направление его движения и основной закон вращательного движения для цилиндра:ma  mg  T , T - сила натяжения нити,Iε  TR .Кроме этого используем связь между a и ε : a  εr (лекция 2).Решая эту систему уравнений и подставляя I 2mg1MR 2 , находим a .22m  MСуммарный момент сил, действующих на тело в поле тяжестиНа элемент Δmi действует момент силы тяжести(ось Z направлена на нас)M zi  Δmi gri sin θ  Δmi gxi .Тогда проекция полного момента силы тяжестиnni 1i 1M z  g  Δmi x i  mgxцм , m   Δmi - полная массатела, xцм 1 n Δmi x i - координата x центра массm i 1тела.

Значит при вычислении момента сил тяжести можно считать, что сила mg приложенак центру масс тела (центр тяжести).ЛЕКЦИЯ 9Общий случай вращательного движения твердого тела. Гироскопическиеявления.Рассмотрим движение плоского твердого тела в егособственной плоскости XOY . Выберем в нем двепроизвольные точки A и B . Так как тело являетсятвердым, то при его движении2rAB (rB  rA ) 2  const .Продифференцируем это соотношение по времени drB drA (rB  rA )()  (rB  rA )(v B  v A )  0 .dtdt Пусть в данный момент времени v A  0 .

Тогда для всех точек B имеем rAB v B  0 .Это означает, что скорости перпендикулярны соответствующим радиусам. Следовательно,можно говорить о вращении в данный момент времени вокруг оси, проходящей черезточку A .Мгновенная ось вращения - прямая, проходящая через точки тела, скорости которых вданный момент времени равны нулю.Например, для цилиндра, катящегося по плоскости, мгновенная ось вращения проходитчерез точки соприкосновения цилиндра с плоскостью (лекция 2).Имеет место важная теорема, относящаяся к движению тела с одной неподвижной точкой.Мы приведем ее без доказательства.Теорема ЭйлераТвердое тело, имеющее одну неподвижную точку, может быть переведено из произвольногоположения в другое произвольное положение путем поворота вокруг некоторой оси, проходящей через эту точку.Произвольное движение твердого тела.Его можно представить как совокупность поступательного движения всего тела со скоростью V его некоторой точки O (основная точка) и вращательного с угловой скоростьюω вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку.

При этом угловая скорость ω независит от выбора основной точки O .Выберем в качестве основной точки центр масс тела. Пусть vi - скорость вращательногодвижения i - го элемента тела относительно мгновенной оси. Тогда полную кинетическуюэнергию тела можно представить в видеW т Δm v 2Δmi ΔmiV 2 (v i  V ) 2   ( i i  VΔmi vi ) .222ш 1Последнее слагаемое в правой части равенства при суммировании дает нуль, так как осьпроходит через центр масс. Тогда приходим к выражению (теорема Кёнига)W2mV 2 I 0 ω.22Получим одно важное соотношение между энергией вращательного движения Wвращ имоментом импульса тела L . Оно понадобится нам в дальнейшем. Можно легко убедиться втом, что скорость вращения vi и угловая скорость ω связаны соотношением vi  [ωri ] .Тогда  vi2  v i v i  [ωri ]v i  ω[ri vi ] .Последнее из равенств доказывается в векторной алгебре. В этом случае для Wвращ получимWвращ 1 n1 ω Δmi [ri vi ]  Lω .2 i 12В частном случае вращения осесимметричного тела вокруг его оси L  Iω и Wвращ Iω 2.2Гироскоп – быстровращающееся осесимметричное тело, ось вращения которого можетизменять свое направление в пространстве.Движение гироскопа описывается основным законом вращательного движения в общемвидеdL M .dtПри этом ось вращения и момент импульса не обязательно совпадают с осью гироскопа.

Характеристики

Список файлов книги