1589803487-0876d3197a29278cfb9dacc2b305b032 (804028), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Нам нужнополучить для газа соотношение типа закона ГукаΔP  E гΔlΔV Eг.lVЕсли рассматривать давление P как функцию объемаV , то можно записатьΔP  dPdP ΔVdPΔV  V, E г  V.dVdVVdVЗнак “-“ стоит для того, чтобы получить E г  0 , так как для газанаходимdP 0 . Из уравнения (1)dVPdPP  γ , E г  Pγ , v s  γ .ρdVVДля идеального газа с помощью уравнения Клапейрона приходим к выражениюvs  γRT,μгде R - универсальная газовая постоянная, T - абсолютная температура, μ - молярнаямасса газа.Эффект Доплера – изменение частоты при движении источника звука относительнонаблюдателя.Пусть источник звука и приемникнеподвижны.

Обозначим частоту звукав этом случае через ν 0 . Тогда за 1секунду на расстоянии v s от источникауложится ν 0 гребней (максимумов)звуковой волны (рис. 2). Если источникдвижется, то такое же число гребнейуложится на меньшем расстоянии,равном v s  v ист . Следовательно,приемник воспримет длину волны ичастоту соответственно равныеλv s  v истν0, ν. (2)ν01  v ист / v sТаким образом, при приближении источника к приемнику ( vист  0 ) частота воспринимаемых колебаний возрастает, а при удалении от него ( vист  0 ) – уменьшается. Рассуждаяаналогичным образом можно получить формулу для частоты при неподвижном источнике идвижущемся приемникеν  ν 0 (1 v прvs).(3)И в этом случае при приближении приемника к источнику частота возрастает, а при удалении от него понижается.

Выражения (2), (3) отличаются друг от друга. Это связано с тем,что при движении источника звука среда будет возмущаться по другому по сравнению сослучаем неподвижного источника.Объединяя выражения (2), (3), можно получить формулу для частоты, когда и источник иприемник движутся вдоль соединяющей их прямойν  ν0v s  v прv s  v ист.ЛЕКЦИЯ 20Принципы относительности Галилея и Эйнштейна. Специальная теорияотносительности.Преобразования Галилея.Рассмотрим некоторую инерциальную системуотсчета S и другую систему отсчета S  ,движущуюся относительно S с постояннойскоростью V . Для простоты будем считать, чтов начальный момент времени t  0 обе системыкоординат совпадают и скорость V направленавдоль оси X . Тогда в дальнейшем оси X и X будут совпадать, а оси Y , Y  , Z , Z  будутоставаться параллельными друг другу (рис.

1).Пусть в момент t  0 ( t  t  в классическоймеханике) материальная точка находится в положении M с радиусами-векторами r и r  всистемах S и S  соответственно. Тогда получим r  r   OO   r   Vt , t  t  .Эти соотношения называются преобразованиями Галилея. Если выразить r через r  , тополучим обратные преобразования Галилея  r   r  Vt , t   t .При получении этих соотношений кроме абсолютности времени предполагалась также иабсолютность пространства, так как мы складывали векторы r и r  , измеренные в разныхсистемах отсчета.Принцип относительности Галилея (в современной формулировке).Уравнения Ньютона для материальной точки, а также для системы материальных точекодинаковы во все инерциальных системах отсчета (инвариантны относительнопреобразований Галилея).Принцип относительности Эйнштейна.Законы природы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того,к какой из инерциальных систем отсчета относятся эти изменения.Гипотеза мирового эфира.В XIX в.

получила широкое распространение гипотеза, согласно которой все пространствозаполнено особой средой – эфиром. Эфир абсолютно неподвижен и не участвует в движениител. При этом электромагнитные явления рассматриваются как некоторые процессы в такойсреде. В частности, световые волны представляются в виде колебаний эфира, подобно звуковым волнам в упругой среде.

При таком описании, скорость света по отношению к теламдвижущимся относительно эфира со скоростью v может принимать значения c  v , где c скорость света относительно неподвижных тел, то есть должен возникать так называемыйэфирный ветер. В опытах Майкельсона и Морли (1881 г. и 1887 г.) было показано, чтоникакого эфирного ветра нет. В них в качестве движущегося тела выступала сама Земля, авозможные изменения скорости света определялись по интерференционной картине в интерферометре.

В дальнейшем этот результат был сформулирован в виде следующего постулата.Постулат Эйнштейна.Скорость распространения света в вакууме не зависит от источника света и одинакова вовсех направлениях.Независимость скорости света от движениясистемы отсчета приводит к необходимостиизменения классических представлений опространстве и времени. Это можно проиллюстрировать, например, с помощью следующегопарадокса. Рассмотрим две инерциальныесистемы отсчета S и S  , совпадающие друг сдругом в некоторый момент времени. Пусть вэтот момент источник в точке N испускаетсветовой импульс. Тогда в системе S световоеизлучение достигнет сферы C , а в системе S - сферы C  (рис.

2). Это говорит о том, чтособытия одновременные в системе S (достижение излучением сферы C ) являются неодновременными в системе S  . Следовательно, припереходе от одной инерциальной системы отсчета к другой время должно преобразовываться вместе с координатами. Преобразования, которые сохраняют скорость света постоянной,но учитывают кроме изменения координат и изменение времени были получены Лоренцем.Мы приведем их для случая инерциальных систем, представленных на рис.

1.Преобразования Лоренца:x x  Vt1 β2t, y  y , z  z , t  Vc2x1 β2, βV.cОбратные преобразования Лоренца:xx   Vt1 β2t , y  y , z  z , t Vc21 βx2.При V  c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, то естьвыполняется принцип соответствия.Принцип относительности, постулат о постоянстве скорости света и преобразованияЛоренца легли в основу специальной теории относительности Эйнштейна (1905 г.),описывающей движение тел при скоростях, сравнимых со скоростью света.

Специальнойона называется потому, что справедлива только в инерциальных системах отсчета. Дляслучая произвольных систем отсчета Эйнштейном в дальнейшем была создана общая теорияотносительности, или релятивистская теория гравитации.Одним из эффектов теории относительности является замедление хода часов в движущейсясистеме отсчета. Если в S  в точке x  произошли два события в моменты времени t1 и t 2 ,то из преобразований Лоренца следует, что интервалы между этими событиями в S иS  связаны соотношениемΔt Δt 1 β2, то есть Δt  Δt  .ЛЕКЦИЯ 21Законы релятивистской механики.Преобразования Лоренца оставляют неизменной величинуs  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2  c 2 (t 2  t1 ) 2 ,называемую интервалом.

Ее можно рассматривать как расстояние между двумя точками вчетырехмерном пространстве (пространство Минковского) с координатамиx , y , z , ict , где i   1 .Для двух инерциальных систем отсчета S и S  , аналогичных тем, что мы рассмотрели впредыдущей лекции, с помощью преобразований Лоренца можно получить формулу сложения скоростей в релятивистской механике:vx v x  V1  Vv x / c 2, vy v y 1  β 21  Vv x / c 2, vz v z 1  β 21  Vv x / c 2.При V / c  1 эти выражения переходят в классическую формулу сложения (лекция 1).В случае v x  c получаем v x c V1  Vc / c 2 c .

Этот результат является выражениемпостулата о постоянстве скорости света во всех инерциальных системах отсчета.Можно показать, что импульс, определяемый классической формулой p  mv несохраняется в релятивистской механике. Для выполнения закона сохранения нужноиспользовать следующее определение релятивистского импульса:pm0 v1v2,c2Под m 0 здесь понимается так называемая масса покоя, которую имеет тело при v  0 , тоесть обычная классическая масса. Физический смысл этой величины мы рассмотрим далее.Второй закон Ньютона обобщается на случай релятивистского движения следующимобразом:m0 vdp d F , или()F.dtdt 1  v 2 / c 2Релятивистский импульс можно выразить в видеm0drp  m , где m - релятивистская масса.dt1  v2 / c2Если ввести “собственное время”dτ  dt 1  v 2 / c 2 ,то можно представить p в классической форме записиdrp  m0.dtВ релятивистской динамике вводится важная величина γ  1 / 1  v 2 / c 2 , называемаярелятивистским фактором.

При этом релятивистский импульс можно выразить какp  m0 γv . В случае v / c  1 γ  1 и уравнения релятивистской динамики переходят вклассические законы Ньютона. При скоростях тел, близких к скорости света γ  1 .Рассмотрим теперь выражение для релятивистской энергии. Его можно получить посредством вычисления элементарной работы силы F (лекция 5) ddA  Fv dt  (m0 γv )v dt .dtПосле несложных преобразований можно получитьdA  d (m0 γc 2  m0 c 2 )  dW .Константа  m 0 c 2 добавлена для того, чтобы кинетическая энергия W обращалась в нульпри v  0 . Таким образом релятивистская кинетическая энергияW  m0 c 2 (γ  1) .m0 v 2При v  c она переходит в классическое выражение W .2Величина E  mc 2 называется полной релятивистской энергией тела, а величинаE 0  m 0 c 2 - энергией покоя тела. Энергия покоя отражает глубокую физическую связьмежду массой тела и энергией, содержащейся в нем.

Она может изменяться в ядерныхвзаимодействиях. Так происходит, например, при образовании ядер из отдельных нуклонов(дефект массы ядер). При этом полная релятивистская энергия замкнутой системысохраняется.ЛЕКЦИЯ 22Движение тел в неинерциальных системах отсчета.Пусть ускорение материальной точки равно a в инерциальной системе отсчета S и равноa  в неинерциальной системе S  . Рассмотрим разность этих ускорений aн  a  a  .Для поступательного движения системы S  величина a н равна ускорению системы S относительно S . FВ инерциальной системе a , где F - сила, действующая на материальную точку соmстороны некоторого тела. Тогда ускорение a  можно представить в виде  F a   a  aн   aн .mУмножая это уравнение на массу m , получимma   F  ma н .Для того, чтобы сохранить вид 2-го закона Ньютона в неинерциальной системе отсчета,удобно ввести силу инерцииFin   ma н .Тогда 2-ой закон Ньютона в неинерциальной системе можно представить в виде ma   F  Fin .Сила инерции не является силой по определению, данному в лекции 3.

Это некотороеформальное понятие, удобное для описания движения в неинерциальных системах. Однако,как будет видно из дальнейшего рассмотрения, ее проявления являются совершеннореальными.В случае вращательного движения системы S так просто ввести силу инерции уже не удается,так как в этом случае разные точки S  движутсяс разным ускорением. Рассмотрим силы инерцииво вращающейся системе на простом примере.Будем считать, что система S  представляетсобой равномерно вращающийся с угловойскоростью ω плоский диск радиуса r (рис.

1).Пусть материальная точка массы m движетсяпо краю диска со скоростью v  относительнодиска. Скорость точки относительно S равнаv  v   ωr .Ускорение относительно инерциальной системыav 2 (v   ωr ) 2 v  2 2ωv   ω 2 r .rrrВ неинерциальной системе S a v2, ma   ma  2mωv   mω 2 r .rКак следует из опыта, реальная сила, действующая на материальную точку со стороныдругих тел, не зависит от системы отсчета, то есть F   F . Тогда последнее уравнениеможно переписать в видеma   F   Fк  Fц .Здесь Fк  2mωv  - сила Кориолиса, Fц  mω 2 r - центробежная сила.

Характеристики

Список файлов книги