1589803487-0876d3197a29278cfb9dacc2b305b032 (804028), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Рассмотримдвижение гироскопа с одной неподвижной точкой (т. Она рис. 2). Тогда по теореме Эйлера в каждый моментвремени происходит вращение вокруг мгновенной оси проходящей через т. О. Разложим вектора ω, L насоставляющие вдоль оси гироскопа и перпендикулярные к оси гироскопа (см. рис. 2). Физический смысл суммы векторов ω  ω  ω состоит в том, что приэтом тело вращается вокруг собственной оси с угловойскоростью ω , а сама эта ось вращается вокруг осиперпендикулярной к собственной со скоростью ω .Момент импульса гироскопа можно представить в виде L  L  L  I ω  I  ω ,где I , I  - моменты инерции гироскопа относительно соответствующих осей.

ТогдаWвращ 1  11Lω  ( I ω  I  ω )(ω  ω )  ( I ω 2  I  ω2 ) .222Свободный гироскоп ( M  0 ).В этом случае выполняются законы сохранения момента импульса и энергииL  I ω  I  ω  const ,Wвращ 1( I ω 2  I  ω2 )  const .2Отсюда следует, что при движении свободного гироскопа значения ω , ω , L , Lостаются постоянными.

Это означает, что имеет место так называемая свободная регулярнаяпрецессия: в каждый момент времени движение свободного гироскопа есть вращение вокругмгновенной оси, проходящей через неподвижную точку опоры; направление вектора Lнеизменно в пространстве, а ось гироскопа и мгновенная ось вращения вращаются вокругL с постоянной угловой скоростью ω .Вынужденная прецессия гироскопаПри кратковременном воздействии на гироскоп ΔL  MΔt мало по сравнению с L в силубольшой угловой скорости вращения вокруг собственной оси. То есть имеет место устойчивость движения свободного гироскопа.

Это находит применение в многочисленныхприложениях (автопилоты, гирокомпасы, движение мотоциклов и велосипедов и т. д.).Совсем по-другому ведет себя несвободный гироскоп, находящийся под действием постоянной силы.Рассмотрим движение гироскопа с одной неподвижнойточкой в поле тяжести (рис.

3).Будем считать, что ω  ω (приближенная теориягироскопа). В этом случае момент импульса гироскопанаправлен вдоль его оси и равен I ω . Основной законвращательного движения имеет вид:dL  dL [l mg ] . С другой стороны можно считать, чтоdtdtявляется “скоростью движения” конца вектора L . Тогда поаналогии с формулой v  [ωr ] можно записать, что dL [ΩL ] . Отсюда [ΩL ]  [l mg ] или ΩI ω sin θ  lmg sin θ . Отсюда находимdtΩmgl.I ωОсь гироскопа в этом случае описывает конус, совершая вращение с угловой скоростью Ω .Такое движение называется вынужденной прецессией гироскопа под действием внешнейсилы. Гироскопические явления играют важную роль в самых разнообразных физическихсистемах, от механических до атомных.ЛЕКЦИЯ 10Движение тел при наличии трения.Существует два основных типа сил трения: сухое трение и вязкое трение.1. Сухое (внешнее) трение.Такое трение возникает при относительном перемещении двух соприкасающихся тел.1) Силы трения покоя и скольжения.Сила трения покоя равна по величине и противоположно направлена внешней силеFтр.пок.

  Fвн .Максимальное значение силы трения покоя равно силе тренияпропорционально силе нормальной реакции, действующей на телоскольженияиmaxFтр.пок.  Fтр.скольж. , Fтр.скольж.  μN .Коэффициент μ называется коэффициентом трения. Он зависит от вещества и качестваповерхностей тел. Силы трения покоя и скольжения обусловлены взаимодействием молекул,находящихся вблизи поверхности соприкосновения тел. Такое взаимодействие происходит вобласти малых участков соприкосновения.

Участки взаимодействия, или “пятна”составляют порядка 10-3 от полной площади соприкосновения. Их общая площадьпропорциональна силе давления или нормальной реакции. Поэтому сила трения скольженияпропорциональна N и не зависит от площади соприкосновения тел.Силы трения покоя и скольжения приводят к целому ряду практически важных явлений.Явление застояТакое явление возникает, если на тело действует упругая сила, пропорциональная смещеmaxнию. При условии F упр  Fтр.пок. тело может занять любое положение. Оно практическиникогда не остановится в среднем положении, определяемом условием F упр  0 . Явлениезастоя может приводить к неправильным показаниям измерительных приборов, содержащихудерживающие пружины.Явление заносаПусть некоторое тело покоится на наклонной плоскости с углом наклона α .

В этом случаеmaxFтр.пок.  mg sin α . Если заставить тело скользить поперек наклонной плоскости, ононачнет соскальзывать вниз, так как в этом случае исчезнет сила трения покоя, а сила тренияскольжения в начальный момент будет направлена против скорости. Исчезновение силытрения покоя в направлении, перпендикулярном скорости, называется явлением заноса.

Онопроявляется при резком торможении автомобиля, когда исчезает сила трения покоя в поперечном направлении и автомобиль “заносит”.1) Трение каченияЕсли тело цилиндрической или сферической формы без скольжения катится по твердойповерхности, то появляется другой тип силы трения – трение качения. Причина ее возникновения связана с пластической деформацией поверхности и соответствующим наклоном силыF , действующей на тело.

Ее можно разложить на горизонтальную составляющую Fтр.кач.и вертикальную составляющую N (рис. 1). Из опытных данных следует законFтр.кач.  κN,rгде κ - коэффициент трения качения, r - радиус тела. Дляодинаковых материаловFтр.кач.  Fтр.скольж. .κ μ , то естьrЭто свойство используется в подшипниках для уменьшениятрения во вращающихся деталях машин.2. Вязкое (внутреннее) трение.Этот вид трения обусловлен взаимодействием молекул жидкости или газа при движении вних тела. При малых скоростях движения из опыта следует законFтр   βv .Коэффициент вязкого трения β зависит от свойств тела и той среды, в которой онодвижется. При больших скоростях зависимость Fтр от скорости становится квадратичнойFтр  κv 2 .Что понимается в этих законах под малыми и большими скоростями мы обсудим в дальнейшем при рассмотрении явлений гидродинамики.В качестве примера движения тела при наличии вязкого трения рассмотрим задачу одвижении тела в вязкой среде под действием постоянной силы F .

Второй закон Ньютона впроекции на направление действия силы имеет вид:mdv F  βv .dtОчевидно, сила F может ускорять тело лишь до предельной скорости v пр  F / β . Разделяя переменные ипроводя интегрирование, получаем зависимость скороститела от времениv  v пр [1  (1 v0t) exp( )] ,v прτгде v 0 - начальная скорость тела, τ  m / β - характерноевремя достижения скорости v пр .ЛЕКЦИЯ 11Гармонические колебания. Физический маятник.Периодическое движение – через равные промежутки времени (период T ) движениеповторяется.Гармоническое колебание материальной точки – координата точки изменяется по гармоническому законуx  A cos(ωt  φ0 ) .Здесь A - амплитуда колебания, ω - круговая (циклическая) частота, ω  2πν , ν  2π / T- частота, ωt  φ0 - фаза колебания, φ0 - начальная фаза.Скорость материальной точки, совершающей гармоническое колебание:vdxπ  Aω sin(ωt  φ0 )  A cos(ωt  φ0  ) .dt2Исходя из этого выражения, можно говорить, что при гармоническом колебании скоростьопережает по фазе координату наπ.2Ускорение колебательного движения:ad2xdt2  Aω 2 cos(ωt  φ0 )  ω 2 x .Таким образом, мы приходим к уравнению осциллятораx  ω 2 x  0 ,(1)составляющему основу теории колебаний (производная обозначена точками).Собственные колебания возникают за счет собственных сил, существующих в самойсистеме.

Частота таких колебаний называется собственной частотой.Пример. Пружинный маятник.mx   kx , x  kmkx  ω 2 x . Значит собственная частота ω , T  2π.mkmПолная энергия материальной точки при гармонических колебаниях:Emv 2 kx 2 mA 2 ω 2 const .222Средние за период значения кинетической и потенциальной энергии:mv 2 1 T mv 2mω 2 A 2 E dt  ,2T 0 242kx 2 mω 2 A 2.24Таким образом, при гармонических колебанияхW  U (частный случай общей теоремы вириала).Математический маятник – тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити, размеркоторого намного меньше длины нити.Физический маятник – тело, закрепленное на оси, расположенной выше центра масс.Основной закон вращательного движения для такого тела   mga sin φ   mgaφ ( φ  1 ).

Преобразуем его к виду (1)Iφmgaφ  0.ImgaIТогда ω , T  2π- период колебаний физическогоImga φмаятника.Если размеры тела малы по сравнению с расстоянием a (материальная точка), то I  ma 2 и мы приходим к известной формуле дляпериода математического маятникаT  2πa.gПриведенная длина физического маятника – это длина математического маятника с тем жепериодом колебаний, что и у физического.

Приравнивая выражения для периодов, получимl пр I.maОбозначим через O1 точку, лежащую на продолжении отрезкаOC и отстоящую от точки подвеса на расстоянии l пр . ТочкаO1 называется центром качаний физического маятника. Можнопоказать, что физический маятник обладает следующим важнымсвойством: если физический маятник подвесить за центркачаний, то период его колебаний не изменится.ЛЕКЦИЯ 12Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс.В любой колебательной системе со временем происходит затухание колебаний, обусловленное потерей энергии под действием неконсервативных сил. Рассмотрим затухание колебаний материальной точки под действием силы вязкого трения (лекция 10)Fтр   βv .В этом случае 2-ой закон Ньютона для материальной точки под действием возвращающейсил и силы трения в проекции на ось x можно представить в видеmx   kx  βx .(1)Коэффициент k необязательно должен иметь смысл коэффициента жесткости.

Он можетописывать возвращающую силу любой природы.Можно показать, что при условииβkрешение уравнения (1) имеет вид2mmx  A0 exp(γt ) cos(ωt  φ0 ) ,β- коэффициент затухания,2mk- частота затухающих колебаний, ω0 - собственная частота.mгде A0 - начальная амплитуда колебаний, γ ω  ω02  γ 2Функция A(t )  A0 exp(γt ) представляет собойамплитуду затухающих колебаний (рис. 1). Дляхарактеристики скорости затухания колебанийвводится логарифмический декремент затуханияδ  lnA(t ) γT .A(t  T )Затухающие колебания существуют при выполненииусловия γ  ω0 .

Характеристики

Список файлов книги