1589803487-0876d3197a29278cfb9dacc2b305b032 (804028), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

При γ  ω0 имеет местоапериодический процесс, при котором точка возвращается в положение равновесия, несовершив ни одного колебания.Вынужденные колебанияРассмотрим колебания материальной точки при наличии периодической внешней силыFвн  F0 cos ωt ,действующей вдоль оси x . Уравнение движения в этом случае принимает вид:mx   kx  βx  F0 cos ωt , или в приведенном видеx  ω02 x  2γx F0cos ωt .m(2)Уравнение (2) называется неоднородным дифференциальным уравнением 2 – го порядка, ауравнение (1) соответствующим ему однородным уравнением.В теории дифференциальных уравнений доказывается следующая теорема.Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общегорешения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.Общее решение однородного уравнения:~  ω2  γ 2 .~t  φ~ ) , где ωx  A0 exp(γt ) cos(ω00(3)Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:x  A cos(ωt  φ0 ) .(4)Следует отметить, что амплитуда A и фаза φ0 в этом решении уже не определяются лишьначальными условиями как в свободных колебаниях, а зависят от параметров колебательнойсистемы.

Подставляя решение (4) в уравнение (2), можно получить следующие выражениядля A и φ0AF0 / m(ω02  ω 2 ) 2  4γ 2 ω 2,φ0  arctg2γω2ω  ω02.Общее решение уравнения (2) является суммой решений (3) и (4). При t  τ 1решениеγ(3) станет пренебрежимо малым и установятся вынужденные колебания вида (4). По этойпричине величина τ называется временем установления колебаний.На рис.

2 приведена зависимость амплитудывынужденных колебаний A от частотывынуждающей силы ω . Амплитуда имеетмаксимальное значение приω рез  ω02  2γ 2 .Это явление резонанса вынужденных колебаний. С ростом коэффициента затухания γрезонансная частота ω рез и резонанснаяамплитуда A рез уменьшаются. В отсутствиезатухания ( γ  0 ) ω рез  ω0 и A рез   .Физически это происходит из-за того, что в колебательную систему непрерывно поступаетэнергия за счет работы внешней силы, а потери энергии отсутствуют.При ω  0 амплитуда A  Aстат  F0 / mω 2 . Величина Q называется добротностью колебательной системы.A резAстатω0 π2γ δЛЕКЦИЯ 13Параметрический резонанс.

Автоколебания.Параметрическое возбуждение колебаний – один из параметров колебательной системыпериодически изменяется со временем с частотой ωвн . Оно проявляется в известном всемнам с детства процессе. Человек, стоя на качелях, может сам себя раскачать, перодическиприседая и поднимаясь во весь рост с частотой в два раза большей собственной частотытакого физического маятника.Простой пример: маятник с переменной длиной.Будем считать, что при прохождении положенияравновесия длина маятника уменьшается на величинуd ( d  l ) , а в крайнем положении – увеличиваетсяна то же значение.

В среднем за период колебанийдлина маятника остается неизменной. Такое изменение длины соответствует условиюωвн  2ω0 ,(1)где ω0 - собственная частота.Рост энергии колебаний со временем объясняетсятем, что опускание маятника происходит в наклонном положении и работа внешней силы за каждоеподтягивание и опускание равнаmgd  mgd cos φ0  mgd (1  cos φ0 ) 1mgdφ02 ( φ0  1 ).2Полная работа внешней силы за период колебаний2mv 021d mv 02ΔA  2( mgdφ0 d)  6.2ll 2Здесь v 0  lφ0 ω0 - скорость маятника в нижнем положении. Второе слагаемое в скобкахучитывает дополнительную работу для создания нормального ускорения a n v 02.lВ силу того, что ΔA  0 энергия маятника постоянно возрастает.

Учитывая малость ΔAможно записатьdE ΔAddE6d 6 2 E , или 2κE , где κ .dtTlTdtlTРешение этого дифференциального уравнения имеет вид:E  E 0 exp(2κt ) , E 0 - начальная энергия.Таким образом, при выполнении условия (1) энергия колебаний экспоненциально растет современем. Это явление называется параметрическим резонансом.

При наличии трения энергия экспоненциально уменьшается со временем по законуE  E 0 exp(2γt ) .Сравнивая два последних выражения, получаем, что параметрический резонанс имеет местопри условии κ  γ . Величина κ пропорциональна амплитуде колебаний длины маятника d .Следовательно, параметрический резонанс, в отличие от обычного резонанса, рассмотренного в лекции 12, может возникать лишь при амплитуде, превышающей некотороепороговое значение.Параметрические колебания играют очень важную во многих физических системах (генераторы электромагнитных колебаний, установки с лазерным термоядерным синтезом и т.

д.).Рассмотренные два типа незатухающих колебаний существуют благодаря постоянномувводу энергии в колебательную систему за счет работы внешних сил. Существует еще одинважный тип незатухающих колебаний – автоколебания. В этом случае система сама регулирует поступление энергии от некоторого источника для компенсации потерь на трение. Этоосуществляется с помощью некоторого устройства, управляемого посредством обратнойсвязи с колебательной системой.В отличие от свободных колебаний, амплитуда автоколебаний определяется не начальнымиусловиями, а свойствами самой системы. Примеры механических автоколебаний: механические часы, колебания струны под действием смычка, движение поршня паровой машины ит.д.

Важным частным случаем автоколебаний являются так называемые релаксационныеколебания, при которых в системе в течение длительного времени накапливаются изменения, а затем происходит резкий переход в первоначальное состояние.ЛЕКЦИЯ 14Колебания в системах с медленно изменяющимися параметрами.В качестве примера такой системы можно снова рассмотреть маятник с переменной длинойпри выполнении условияdlT  l .dt(1)Условие (1) означает, что длина маятника l (t ) мало изменяется за период колебаний T .Такие изменения параметров колебательной системы называются адиабатическими.Рассмотрим гармонический осциллятор, описываемый уравнениемmx   kx ,у которого коэффициент k  k (t ) адиабатически изменяется со временем.

В этом случаеполная энергия E зависит от времени. Вычислим производную от E по t :dEdvdx x 2 dk x 2 dk1 dk mv kx U ( x).dtdtdt2 dt2 dtk dtПри этом движение имеет характер колебаний с медленно изменяющимися периодом иамплитудой. Будем считать, что величина1 dkтакже изменяется медленно. Тогда ееk dtможно представить в виде:1 dk  1 dk  (1  α )k dt  k dt  0Индекс “0” означает, что значение величины в скобках берется в середине периода колебаний. Малая поправка α является величиной более высокого порядка малости, чемdk.dtТогда изменение энергии осциллятора за период колебанийΔE  E (t  T )  E (t ) t TtdE1 dk  t Tdt     U (1  α )dt  .dt k dt  0 tОтбросим в этом выражении α и индекс “0” у множителя перед интегралом.

Это приведет кошибке 2 – го порядка малости поt  0 . Тогда получимΔE 1 dk TU ( x(t ))dt .k dt 0dk. В силу периодичности решения можно положитьdt(2)Полагая x  A cos(ωt  φ0 ) и проводя интегрирование в выражении (2), находимΔE E dkΔkTE.2k dt2kСчитая, что E  E (k ) , приходим к уравнениюdE dk 0.E 2kИнтегрируя и учитывая, что ω lnEk const ,Ek const , илиk, получимmE const , ET  const .ωТаким образом, при адиабатическом изменении параметров колебательной системысуществуют функции ее параметров, которые остаются постоянными. Такие функцииназываются адиабатическими инвариантами.Адиабатические инварианты являются эффективным средством исследования колебательных систем различной природы.

Они широко используются в теории ускорителейзаряженных частиц, в физике плазмы, в атомной физике и т. д.Пример. Движение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле.Заряженная частица с зарядом q , как известно из школьного курса физики, движется вмагнитном поле по винтовой линии вдоль направления вектора индукции B (рис. 1).На частицу действует сила ЛоренцаFL  q[v B ] ,которая изменяет лишь направление скорости частицы,оставляя неизменной ее кинетическую энергию.Разложим вектор скорости на составляющие вдоль B иперпендикулярно B v  v  v .В плоскости, перпендикулярной к B второй закон Ньютона имеет вид:mmv v 2qv  B , отсюда rL (ларморовский радиус).rLqBТаким образом, в плоскости x, y частица вращается по окружности радиуса rL с угловойv  qB(ларморовская частота).

В продольном направлении силаrLmЛоренца не влияет на движение частицы, то есть v  const .скоростью ω B В проекции на ось x уравнение движения приводится к уравнению осциллятораx  ω B2 x  0 .Рассмотрим теперь движение заряженной частицы в неоднородном магнитном полеB  B (z ) , ω B  ω B (z ) . Если за период вращения в плоскости x, y магнитное полеизменяется мало, то его изменение является адиабатическим. В этом случае, как былопоказано выше существует адиабатический инвариантW ( z )mv 2 const , где W - кинетическая энергия поперечного движения.ωB ( z )2Обычно при рассмотрении таких движений в качестве адиабатического инвариантавыбирается магнитный моментμW const .BИз этого соотношения следует, что при движении в сторону усиливающегося магнитного поля поперечная энергия частицы возрастает.

Характеристики

Список файлов книги