1589803487-0876d3197a29278cfb9dacc2b305b032 (804028), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Это метод Лагранжа, в котором задаются координаты и скоростикаждой частицы жидкости, и метод Эйлера, в котором исследуется зависимость от коорди  нат и времени скорости потока жидкости v  v ( r , t ) . Мы будем вести рассмотрение врамках метода Эйлера. Определим несколько важных понятий в таком описании.Линии тока – линии, касательные к которым в каждойточке совпадают с направлением скорости жидкости(рис. 1). Густота линий тока пропорциональна скоростижидкости в данной части потока.Трубка тока – часть жидкости, ограниченная линиямитока. Такое определение означает, что частицыжидкости никогда не пересекают стенок трубки тока.Стационарное течение – скорость жидкости не зависитот времени в каждой точке пространства.Рассмотрим тонкую трубку тока ( v  const по сечению трубки) в идеальной несжимаемойжидкости.

При этом количество жидкости между двумя произвольными сечениями S1 иS 2 должно оставаться постоянным. Следовательно,через S1 и S 2 за 1 сек должно проходить одинаковоеколичество жидкости, то естьS1v1  S 2 v 2 , или S  v  const .Это утверждение называется теоремой о неразрывностиструи. Из него, в частности, следует, что если сечениетрубки тока переменно, то жидкость движется с ускорением. Это означает, что вдоль трубки тока изменяетсядавление жидкости.

Получим связь между скоростью жидкости и давлением с учетом влияния силы тяжести. Для этого снова рассмотрим тонкую трубку тока с двумя сечениями навысотах h1 и h2 . За время Δt пройдут объемы жидкостиΔV  S1, 2 v1, 2 Δt  S1, 2 Δl1, 2 .Изменение за время Δt энергии объемажидкости, заключенного в начальный моментмежду S1 и S 2 , равно разности энергий малыхобъемов ΔVΔE ρΔVv 22ρΔVv12 ρΔVgh2  ρΔVgh122Это изменение равно работе сил давленияA  p1 S1Δl1  p 2 S 2 Δl 2  ( p1  p 2 )ΔV .Приравнивая друг другу два последних выражения, получаемρv12ρv 2 ρgh1  p1  2  ρgh2  p 2  const .22В пределе при S1, 2  0 , Δt  0 объемы ΔV стягиваются в точки, а трубка токапереходит в линию тока. Таком образом на заданной линии тока выполняется уравнениеБернуллиρv 2 ρgh  p  const.2Течение вязкой жидкости.При движении слоев жидкости друг относительнодруга между ними возникают силы вязкого трения.Они связаны с переходом молекул из одного слоя вдругой и их взаимодействием.

Рассмотрим опытНьютона, с помощью которого был получен закондля сил вязкости (рис. 4). В этом опыте тонкаяпластина с площадью S двигалась под действиемсилы F по поверхности жидкости с постояннойскоростью v 0 . Глубина жидкости в сосуде равнаh . Сила вязкости Fв , действующая на пластину,равна по величине и противоположна внешней силе.

На основании проведенных измеренийНьютон сформулировал следующий закон:Fв  ηSv 0.hКоэффициент η в этой формуле зависит только от свойств жидкости и называется коэффициентом вязкости. Его размерность в СИ [ η]  1н  сек, а в СГС - [ η]  1м2В приближении идеальной жидкости мы полагаем η  0 .дн  сексм 2 1 Пуаз.Из опыта следует, что вблизи пластины скорость жидкости близка к v 0 . Она спадает сглубиной по линейному закону, обращаясь в нуль на дне сосуда. Если направить ось zвверх, а начало координат поместить на дне сосуда, то распределение проекции скорости наось x можно представить в виде (рис.

4):v( z ) v0z.hВ общем случае, при изменении скорости потока вдоль направления z , проекция на ось xсилы вязкого трения, действующей между слоями с площадью S может выражена какFв   ηdvS.dzЗнак “-“ показывает, что слой с большей скоростьютормозится слоем с меньшей скоростью.В качестве примера использования закона вязкого тренияНьютона рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкостив цилиндрической трубе длины l и радиуса R .

Из условиянесжимаемости следует, что скорость жидкости не меняетсяв направлении движения. Однако, она может изменяться порадиусу трубы. Выделим мысленно тонкий цилиндрическийобъем жидкости радиуса r и высоты dx , ось которогосовпадает с осью трубы (рис. 5). На боковую поверхностьвыделенного цилиндра действует сила вязкого тренияdFв  2πrdxηdv,drа на его основания – сила разности давленийdF p  πr 2 [ p ( x)  p ( x  dx)]  πr 2dpdx .dxПри стационарном течении dFв  dF p .

Отсюда получаем2ηp  p1dpdvrr 2.drdxlПоследнее равенство вытекает из независимости v от x . Здесь p1 , p 2 - давления налевом и правом концах трубы соответственно ( p1  p 2 ). Производя интегрирование сучетом граничного условия v(R )  0 , получимvp1  p 2 2(R  r 2 ) .4 ηlИз этого выражения видно, что на оси трубы скорость достигает максимального значенияv max p1  p 2 2R4 ηlи спадает по квадратичному закону до нуля при удалении от оси. Введем еще одно важноепонятие.Расход жидкости Q – количество жидкости, протекающее за единицу времени черезпоперечное сечение трубы.С помощью выражения для v(r ) и суммирования потоков по тонким кольцевым сечениямрадиуса r и ширины dr приходим к формуле ПуазейляRQ   2πrdrρv  πρ0p1  p 2 4R .8ηlЛЕКЦИЯ 26Ламинарное и турбулентное течения.

Движение тел в жидкостях и газах.Ламинарное течение – течение жидкости, в котором можно указать точное значениескорости в данной точке в данный момент времени (можно построить линии тока).Турбулентное течение – течение жидкости, в котором скорость в данной точке изменяетсясо временем беспорядочным образом (нельзя построить линии тока).Так же, как и в предыдущей лекции, будем считать, что все сказанное о свойствах жидкостиотносится и к газу.Рейнольдс экспериментально установил, что переход от ламинарного течения к турбулентному определяется значением безразмерной величиныRe ρva,ηназываемой числом Рейнольдса. Здесь ρ , v - плотность и скорость жидкости соответственно, a - характерный поперечный размер потока, η - коэффициент вязкости жидкости.Существует некоторое критическое значение числа Рейнольдса Re кр  2000 .

ПриRe  Re кр течение является ламинарным, а при Re  Re кр - турбулентным.Понятие числа Рейнольдса связано с так называемым методом подобия, играющем важнуюроль в гидродинамике. Оказывается, что совершенно различные по своим параметрампотоки, обладающие одинаковым числом Рейнольдса, не только имеют одинаковый типтечения, но обладают и другими одинаковыми свойствами. Это обстоятельство, например,позволяет по результатам обдува в аэродинамической трубе макета самолета малыхразмеров получать информацию о технических параметрах реального самолета.Рассмотрим обтекание твердого тела потокомжидкости или газа. Вблизи поверхности телавзаимодействие его молекул с молекуламижидкости приводит к “прилипании” жидкости кповерхности твердого. Если характеризовать этоявление более строго, то речь идет о существовании слоя вблизи поверхности, в которомскорость жидкости относительно тела изменяетсяот нуля до скорости основного потока (рис.

1). Онназывается пограничным слоем, а ширина соответствующей области его эффективной толщиной. Кпотоку вне пограничного слоя можно применитьтеорему Бернулли. Из распределения линий токана рис. 1 видно, что v1  v 2 и v3  v 2 . Значит p1  p 2 и p 3  p 2 . По этой причинепозади тела возникает сила разности давлений, закручивающая траектории частиц в верхнейчасти пограничного слоя.

Это приводит к явлению отрыва, при котором пограничный слойотрывается от задней части тела и в виде хаотических вихрей уносится потоком жидкости.Движение этих вихрей является турбулентным и область их локализации позади тела называется турбулентным следом. Из-за большой скорости вихревого движения давление в этойобласти ниже давления перед телом, что приводит к добавочной силе сопротивления. Чемуже турбулентный след, тем меньше эта сила. Поэтому быстро движущимся в жидкостях игазах телам придают обтекаемую форму.Движение тел в жидкостях и газах.Рассмотрим равномерное движение шара радиуса a в жидкости со скоростью v .

Применимметод подобия и связанный с ним метод размерностей. Он состоит в следующем. Из параметров ρ, v, a, η нужно составить величину размерности силы, зависящую от числа Рейнольдса Re . Ее можно представить в видеFс  ρv 2 a 2 f (Re) .Для нахождения конкретного вида функции f (Re) необходимо использовать дополнительную информацию. Из опыта известно, что при малых скоростях Fc ~ v . Это даетf (Re) const, Fс  const  ηav .ReБолее точный расчет дает значение const  6π (формула Стокса).

Характеристики

Список файлов книги